行列式的性质

目录

一. 行列式的线性关系

1.1 行向量相加

1.2 行向量标量相乘

二. 行向量相等的矩阵

三. 基础行变换

四. 含有零向量的矩阵

五. 三角矩阵的行列式

六. 可逆矩阵的行列式

七. 小结

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一. 行列式的线性关系

假如有三个矩阵A，B，C，它们第一行之间呈现线性关系，第二行及以下行都是一样的，那么行列式也满足线性关系，形式化表达为：

detA is the same combination of detB and detC

我们知道所谓的线性变化包括两种：向量相加和标量相乘。

1.1 行向量相加

先看第一个例子，如下：

很明显左边和右边的行列式是相等的，都为：

需要注意的是以下行列式是错误的：

det(B+C)=detB+detC

也就是只能一行相加，不能所有行向量均相加。形式化表达为：

The determinant depends linearly on the row vector

1.2 行向量标量相乘

如果把二阶方阵的第一行乘以标量t，则行列式也乘以t，如下：

注意tA矩阵代表把每行都乘以t，所以其结论为：

其中，n为矩阵的阶数

如果把行列式看成箱子的体积则很好理解，比如箱子的边长都扩大4倍，那么总体积也就扩大了倍。如果只是把一条边扩大了4倍，则总体积扩大了4倍，也就是行列式扩大了4倍。

可以把本性质进行推广。

二. 行向量相等的矩阵

先看一个二阶方阵的例子：

如果第一行跟第二行相等的话，那么其行列式为0.

交换该矩阵的行向量位置，其行列式是不变的，布尔代数理论（Boolean algebra）告诉我们是是要改变符号的，能满足该性质的数也只有0了。

综上，将该性质总结为：

If two rows of A are equal, then detA = 0
?

三. 基础行变换

性质2证明了：

再结合性质1，可得：

也就是行变换（不能交换位置） 不改变行列式的大小，形式化表达为：

Subtracting a multiple of one row from another row leaves the same determinant

四. 含有零向量的矩阵

来看一个二阶方阵的例子，如下：

也就是如果矩阵A中包含0向量的话，那么其行列式也为0，形式化表达如下：

If A has a row of zeros, then detA = 0

五. 三角矩阵的行列式

先看两个简单的二阶方阵的例子：

推广到n阶方阵下，不妨先假设所有对角线处的元素均非0，利用高斯消元可以把非对角线处的元素均变成0，此过程是不改变行列式的。比如A为下三角矩阵（lower triangular）时，不断往下消元。如果A为上三角矩阵（upper triangular）时，首先把最后一列全部消元，仅保留。由此便可以得到对角阵了，如下：

综上，三角矩阵的行列式为对角线处元素相乘，也就是：

如果对角线元素均为1时，那么该矩阵的行列式也为1

可以想到，如果对角线处的元素出现了0，那么也就出现了0行向量，那么该矩阵的行列式即为0，也就是所有的奇异矩阵（singular matrices）的行列式均为0

六. 可逆矩阵的行列式

我们知道奇异矩阵是无法求逆，其行列式为0，以二阶方阵为例子，如下：

如果A为奇异矩阵，我们利用基础行变换将其转变为新的矩阵U，该矩阵一定有一行向量为0，也就是：

detA=detU=0

如果A不是奇异矩阵的话，那么我们也可以利用基础行变换，将其转变为三角矩阵，这个时候矩阵对角线处的元素叫做主元(pivots），可以记作：

那么此时的行列式即为对角线处元素的乘积，一定要注意行变换可能会改变符号。如果是奇数次行变换那么就为负数，如果偶数次行变换那么就为正数，如下总结：

该结论在网络安全等领域非常有用，形式化表达如下：

If A is singular, then detA = 0. If A is invertible, then detA not?0.

七. 小结

给定 n 阶行列式 det A，要计算出它的值，如果采用原始的行列式表达式，就必须先计算它的 n! 个项然后相加，才能得到行列式的值．由数学分析中著名的 Stirling 公式，随着行列式阶数 n 的增加，行列式表达式中项数 n! 将以指数形式增加．

因此，当阶数 n 很大时，计算量相当大．所以，在计算行列式的值时，往往不用行列式的表达式．而是针对所给的具体行列式的特点，利用行列式的基本性质，将行列式的值求出来．

在计算行列式时，把高阶行列式化为低阶行列式，是经常采用的途径．把高阶行列式化为低阶行列式的一个基本方法是对行列式实施行或列的初等变换．所谓对行列式实施行（列）的初等变换是指：

(1) 对换行列式的某两行（列），其它的行（列）保持不动；

(2) 行列式的某一行（列）的元素遍乘以某个非零的数再加到另一行（列）；

(3) 行列式的某一行（列）的元素遍乘以某个非零的数．

对行列式实施行或列的初等变换的目的是把行列式化成特殊形式的行列式，使之便于计算．

推荐书籍：

[1] 居余马 等 编著, 线性代数 (第 2 版). 清华?学出版社, 2002

[2] 居余马 林翠琴 编著, 线性代数学习指南. 清华?学出版社, 2003

[3] 同济?学数学系 编, 线性代数 (第六版). ?等教育出版社, 2014

[4] 同济?学数学系 编, 线性代数附册学习辅导与习题全解. ?等教育出版社,2014

[5] David C. Lay 著, 刘深泉 等 译, 线性代数及其应用. 机械?业出版社, 2005

[6] Steven J. Leon 著, 张?博 张丽静 译, 线性代数. 机械?业出版社, 2010

[7] 陈志杰 主编, ?等代数与解析?何 (第?版), 上下册. ?等教育出版社,200