电磁波在均匀、线性、各向同性的空间中沿着
z
z
z轴传播，可用分离变量法将时间轴、
z
z
z轴与
x
,
y
x,y
x,y轴分离，电磁波的形式可表示为：
E
?
=
E
?
(
x
,
y
)
e
?
γ
z
e
j
ω
t
H
?
=
H
?
(
x
,
y
)
e
?
γ
z
e
j
ω
t
\begin{align} \vec E&=\vec E(x,y) \textrm e^{-\gamma z} \textrm e^{j\omega t}\\ \vec H&=\vec H(x,y) \textrm e^{-\gamma z} \textrm e^{j\omega t}\\ \end{align}
EH?=E(x,y)e?γzejωt=H(x,y)e?γzejωt??
对于这种波的求解，可以先求出电场、磁场在 z z z轴的分量，然后根据，然后再根据麦克斯韦方程组求出电磁场在 x , y x,y x,y, 由导行电磁波的数学表达式(1), (2)可知， ? ? z H x = ? γ H x \frac{\partial}{\partial z}H_x=-\gamma H_x ?z??Hx?=?γHx?, ? ? z H y = ? γ H y \frac{\partial}{\partial z}H_y=-\gamma H_y ?z??Hy?=?γHy?, ? ? z E x = ? γ E x \frac{\partial}{\partial z}E_x=-\gamma E_x ?z??Ex?=?γEx?, ? ? z E y = ? γ E y \frac{\partial}{\partial z}E_y=-\gamma E_y ?z??Ey?=?γEy?.
麦克斯韦方程组可表示如下：
?
×
H
?
=
?
D
?
?
t
+
J
?
?
×
E
?
=
?
?
B
?
?
t
?
?
D
?
=
ρ
?
?
B
?
=
0
\begin{align} \nabla \times \vec H &= \frac{\partial \vec D}{\partial t}+\vec J\\ \nabla \times \vec E &= - \frac{\partial \vec B}{\partial t}\\ \nabla \cdotp \vec D &= \rho\\ \nabla \cdotp \vec B &= 0 \end{align}
?×H?×E??D??B?=?t?D?+J=??t?B?=ρ=0??
如果已知
H
z
,
E
z
H_z, E_z
Hz?,Ez?并且知道导行电磁波的形式如公式（1）和（2）所示，并认为传播空间中不存在电荷与电流，
J
?
=
0
,
ρ
=
0
\vec J=0, \rho=0
J=0,ρ=0，方程式（3）-（4）可表示为：
?
×
H
?
=
[
i
j
k
?
?
x
?
?
y
?
?
z
H
x
H
y
H
z
]
=
j
ω
ε
E
?
?
×
E
?
=
[
i
j
k
?
?
x
?
?
y
?
?
z
E
x
E
y
E
z
]
=
?
j
ω
μ
H
?
\begin{align} \nabla \times \vec H &=\begin{bmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ H_x &H_y&H_z \end{bmatrix} = j\omega \varepsilon \vec E\\ \nabla \times \vec E &= \begin{bmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ E_x &E_y&E_z \end{bmatrix} =- j\omega \mu \vec H\\ \end{align}
?×H?×E?=
?i?x??Hx??j?y??Hy??k?z??Hz??
?=jωεE=
?i?x??Ex??j?y??Ey??k?z??Ez??
?=?jωμH??
将（7）式
x
x
x 分量展开得到（9），将（8）式
y
y
y 分量展开得到（10）
?
?
y
H
z
+
γ
H
y
=
j
ω
ε
E
x
?
?
x
E
z
+
γ
E
x
=
j
ω
μ
H
y
\begin{align} \frac{\partial}{\partial y}H_z+\gamma H_y &=j\omega \varepsilon E_x\\ \frac{\partial}{\partial x}E_z+\gamma E_x &=j\omega \mu H_y\\ \end{align}
?y??Hz?+γHy??x??Ez?+γEx??=jωεEx?=jωμHy???
根据（9）和（10），得到用
H
z
,
E
z
H_z, E_z
Hz?,Ez?表示的
H
y
,
E
x
H_y, E_x
Hy?,Ex?：
[ E x H y ] = ? 1 k c 2 [ γ j ω μ j ω ε γ ] [ ? ? x 0 0 ? ? y ] [ E z H z ] \begin{align} \begin{bmatrix} E_x \\ H_y \end{bmatrix} &= -\frac{1}{k_c^2} \begin{bmatrix} \gamma & j\omega\mu \\ j\omega\varepsilon & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & 0 \\ 0 & \frac{\partial}{\partial y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_z \\ H_z \end{bmatrix} \\ \end{align} [Ex?Hy??]?=?kc2?1?[γjωε?jωμγ?][?x??0?0?y???][Ez?Hz??]??
将（7）式
y
y
y 分量展开得到（12），将（8）式
x
x
x 分量展开得到（13）
?
?
?
x
H
z
?
γ
H
x
=
j
ω
ε
E
y
?
?
y
E
z
+
γ
E
x
=
j
ω
μ
H
x
\begin{align} -\frac{\partial}{\partial x}H_z-\gamma H_x &=j\omega \varepsilon E_y\\ \frac{\partial}{\partial y}E_z+\gamma E_x &=j\omega \mu H_x\\ \end{align}
??x??Hz??γHx??y??Ez?+γEx??=jωεEy?=jωμHx???
根据（12）和（13），得到用
H
z
,
E
z
H_z, E_z
Hz?,Ez?表示的
H
x
,
E
y
H_x, E_y
Hx?,Ey?：
[ E y H x ] = ? 1 k c 2 [ γ ? j ω μ ? j ω ε γ ] [ ? ? y 0 0 ? ? x ] [ E z H z ] \begin{align} \begin{bmatrix} E_y \\ H_x \end{bmatrix} &= -\frac{1}{k_c^2} \begin{bmatrix} \gamma & -j\omega\mu \\ -j\omega\varepsilon & \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial}{\partial y} & 0 \\ 0 & \frac{\partial}{\partial x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_z \\ H_z \end{bmatrix} \\ \end{align} [Ey?Hx??]?=?kc2?1?[γ?jωε??jωμγ?][?y??0?0?x???][Ez?Hz??]??