完全背包问题简单思路

01背包简单理解

问题描述：
	给你一个体积为10的背包，要求将下列物品中的一个或多个装入背包，使背包能有最大价值（每个物品有无限个）
	物品1：体积2，价值1
	物品2：体积3，价值3
	物品3：体积4，价值5
	物品4：体积7，价值9

且看下面表格理解：

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0		a
2	0
3	0							b
4	0

说明：
	- 编号为0的物品价值也为0，所以第一行全为0
	- 当背包体积为0时，一个物品也装不下，所以第一列全为0
	- a点表示当背包体积为2时，只有物品0和物品1（当前物品）可装入背包，此时背包的最大价值
	- b点表示当背包体积为7时，有物品0、物品1、物品2、物品3（当前物品）可装入背包，此时背包的最大价值

完全背包求最大价值步骤规则：
	- 每一个格子都默认继承该列的上一行的那个格子的值，例如，a点（1，2）的值就默认继承（0，2）的值
	- 判断当前物品（相当于每个格子对应的行，对应的行又代表物品编号，所以也就叫做当前物品了）是否能装入背包中：
		- 若不能装入，就继承
		- 若能装入，比较“继承的值”和“当前物品的价值+背包体积减去当前物品体积所剩余的体积的最大价值”
			- 与01背包不同的是，找剩余背包体积的最大价值时，是去该行寻找（因为完全背包中，每个物品有无限个，
			而01背包中，每个物品有且仅有一个）

下面来一步一步找出每个格子的值

初始化表格（物品编号右边数字分别表示物品的体积和价值）：

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0
2（3，3）	0
3（4，5）	0
4（7，9）	0

判断（1，1）点：

背包体积为1，当前物品体积为2，不能装入，继承（0，1）

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0
2（3，3）	0
3（4，5）	0
4（7，9）	0

判断（1，2）点：

背包体积为2，当前物品体积为2，能装入

装入后背包剩余体积为0，剩余背包体积最大价值应去找（1，0）

比较继承的值和当前物品价值+剩余背包体积最大价值：0 < 1 + 0

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0	1
2（3，3）	0
3（4，5）	0
4（7，9）	0

判断（1，3）点：

背包体积为3，当前物品体积为2，能装入

装入后背包剩余体积为0，剩余背包体积最大价值应去找（1，1）

比较继承的值和当前物品价值+剩余背包体积最大价值：0 < 1 + 0

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0	1	1
2（3，3）	0
3（4，5）	0
4（7，9）	0

判断（1，4）点：

背包体积为4，当前物品体积为2，能装入

装入后背包剩余体积为2，剩余背包体积最大价值应去找（1，2）

比较继承的值和当前物品价值+剩余背包体积最大价值：0 < 1 + 1

此时背包就装了两个物品1了

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0	1	1	2
2（3，3）	0
3（4，5）	0
4（7，9）	0

第一行就按照这样的规则来判断…下面直接给出

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5
2（3，3）	0
3（4，5）	0
4（7，9）	0

判断（2，1）点：

背包体积为1，当前物品体积为3，不能装入，继承（1，1）

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5
2（3，3）	0	0
3（4，5）	0
4（7，9）	0

判断（2，2）点：

背包体积为2，当前物品体积为3，不能装入，继承（1，2）

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5
2（3，3）	0	0	1
3（4，5）	0
4（7，9）	0

判断（2，3）点：

背包体积为3，当前物品体积为3，能装入

装入后背包剩余体积为0，剩余背包体积最大价值应去找（2，0）

比较继承的值和当前物品价值+剩余背包体积最大价值：0 < 3 + 0

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5
2（3，3）	0	0	1	3
3（4，5）	0
4（7，9）	0

判断（2，4）点：

背包体积为4，当前物品体积为3，能装入

装入后背包剩余体积为1，剩余背包体积最大价值应去找（2，1）

比较继承的值和当前物品价值+剩余背包体积最大价值：0 < 3 + 0

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5
2（3，3）	0	0	1	3	3
3（4，5）	0
4（7，9）	0

判断（2，5）点：

背包体积为5，当前物品体积为3，能装入

装入后背包剩余体积为2，剩余背包体积最大价值应去找（2，2）

比较继承的值和当前物品价值+剩余背包体积最大价值：0 < 3 + 1

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5
2（3，3）	0	0	1	3	3	4
3（4，5）	0
4（7，9）	0

判断（2，6）点：

背包体积为6，当前物品体积为3，能装入

装入后背包剩余体积为3，剩余背包体积最大价值应去找（2，3）

比较继承的值和当前物品价值+剩余背包体积最大价值：0 < 3 + 3

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5
2（3，3）	0	0	1	3	3	4	6
3（4，5）	0
4（7，9）	0

就按照这样的规则一直填写…

物品编号\体积	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1（2，1）	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5
2（3，3）	0	0	1	3	3	4	6	6	7	9	9
3（4，5）	0	0	1	3	5	5	6	8	10	10	11
4（7，9）	0	0	1	3	5	5	6	9	10	10	12

代码

# 存储每个物品的体积和价值。objects[0][0]表示物品1的体积，objects[0][1]表示物品1的价值
objects = [[2, 1], [3, 3], [4, 5], [7, 9]]

def CompeleteBag(objects, bagSize):
    # 表格的高度（相当于y轴），加1是因为用了物品0作为假设
    height = len(objects) + 1
    # 表格的宽度（相当于x轴），加1是因为还有背包体积为0作为假设
    width = bagSize + 1

    # 初始化表格，将表格中的每个格子置零，其目的是为了让第一行和第一列的格子置零
    dp = [[0] * width for i in range(0, height)]

    # 这里两个循环都从1开始是跳过第一行和第一列的格子
    # i代表的是物品的标号
    for i in range(1, height):
        # j代表的是背包的体积
        for j in range(1, width):
            # 默认继承该列上一行的格子的值
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]

            # 定义背包剩余体积最大价值
            surplusValue = 0

            # 判断当前物品是否能放入，不能放入自然就继承
            # 若能放入，就比较（继承的值）和（当前物品价值+背包体积减去该物品体积剩余体积的最大价值）
            # 注意：剩余体积最大价值应该在当前物品这一行去找，（01背包是去上一行物品找）

            # 如果当前物品体积小于等于背包体积，也就是此时背包能放下当前物品
            if objects[i - 1][0] <= j:
                # 获取当前物品的价值
                value = objects[i - 1][1]

                # 在当前物品行找到剩余背包体积的最大价值
                surplusValue = dp[i][j - objects[i - 1][0]]

                # 比较继承的值和放入当前物品后背包的最大价值，若大于继承的值，就用value+surplusValue代替
                if dp[i][j] < value + surplusValue:
                    dp[i][j] = value + surplusValue
    return dp