【42页动态规划学习笔记分享】动态规划核心原理详解及27道LeetCode相关经典题目汇总

# 正向遍历

int[][] dp = new int[m][n];

for (int i = 0; i < m; i++)?? ? ? ?

????for?(int j = 0; j < n; j++)

????????//?计算 dp[i][j]

# 反向遍历

for (int i = m - 1; i >= 0; i--)

????for?(int j = n - 1; j >= 0; j--)

????????//?计算 dp[i][j]

# 斜向遍历

for (int l = 2; l <= n; l++)

????for?(int i = 0; i <= n - l; i++)

????????int?j = l + i - 1;

????????//?计算 dp[i][j]

def?fib(n):

????if?n?<=?2:

????????return?1

????return?fib(n-1)?+?fib(n-2)

def?fib(n):

????def?helper(n):

????????if?n?<=?2:

????????????return?1

????????if?n?in?memo:

????????????return?memo[n]

????????memo[n]?=?fib(n-1)?+?fib(n-2)

????????return?memo[n]

????memo?=?{} # 记录已经计算过的值，防止重复计算

????return?helper(n)

def?fib(n):

????dp?=?[0?for?_?in?range(n+1)]?? ? ? ?

????dp[1]?=?dp[2]?=?1

????for?i?in?range(3, n?+?1):

????????dp[i]?=?dp[i-1]?+?dp[i-2]

????return?dp[n]

def?fib(n):

????if?n?<=?2:

????????return?1

????prev?=?1

????curr?=?1

????for?i?in?range(3,n+1):

????????prev,?curr?=?curr, prev?+?curr

????return?curr

# 伪码框架

def coinChange(coins: List[int], amount: int):?? ? ? ?

????#?定义：要凑出金额 n，至少要 dp(n) 个硬币

????def?dp(n):

????????#?做选择，选择需要硬币最少的那个结果

????????for?coin in coins:

????????????res?= min(res, 1 + dp(n - coin))

????????return?res

????#?我们要求的问题是 dp(amount)

????return?dp(amount)

def?coinChange(coins, amount):

????def?dp(n):

????????# 函数定义为目标金额为n时，所需的最少硬币数量

????????# base case

????????# 目标金额为 0 时，所需硬币数量为 0；当目标金额小于 0 时，无解，返回 -1

????????if?n?==?0:?return?0

????????if?n?<?0:?return?-1

????????# 求最小值，所以初始化结果为正无穷

????????res?=?float('inf')

????????for?coin?in?coins:

????????????subpro?=?dp(n-coin)

????????????if?subpro?==?-1:

????????????????# 子问题无解，跳过

????????????????continue

????????????res?=?min(res,?1?+?subpro)

????????return?res?if?res?!=?float('inf')?else?-1

????return?dp(amount)

def?coinChange(coins, amount):?? ? ? ?

????def?dp(n):

????????# 函数定义为目标金额为n时，所需的最少硬币数量

????????# base case

????????# 目标金额为 0 时，所需硬币数量为 0；当目标金额小于 0 时，无解，返回 -1

????????if?n?==?0:?return?0

????????if?n?<?0:?return?-1

????????if?n?in?memo:

????????????return?memo[n]

????????# 求最小值，所以初始化结果为正无穷

????????res?=?float('inf')

????????for?coin?in?coins:

????????????subpro?=?dp(n-coin)

????????????if?subpro?==?-1:

????????????????# 子问题无解，跳过

????????????????continue

????????????res?=?min(res,?1?+?subpro)

????????memo[n]?=?res?if?res?!=?float('inf')?else?-1

????????return?memo[n]

????memo?=?{}

????return?dp(amount)

def?coinChange(coins, amount):

# 数组大小为 amount + 1，初始值也为 amount + 1

# 因为总的零钱个数不会超过amount,所以初始化amount + 1即可

????dp?=?[amount?+?1?for?_?in?(amount?+?1)]

????dp[0]?=?0

????for?i?in?range(len(dp)):

????????#??内层 for循环，求解的是所有子问题 + 1 的最小值

????????for?coin?in?coins:

????????????# 子问题无解，跳过

????????????if?i?-?coin?<?0:

????????????????continue

????????????dp[i]?=?min(dp[i],1+dp[i-coin])?? ? ? ?

????if?dp[amount]?==?amount?+?1:

????????return??-1

????else:

????????return?dp[amount]

class?Solution:

????def?change(self, amount:?int, coins:?List[int])?->?int:?? ? ? ?

????????# 子问题:对于硬币从0到k，我们必须使用第k个硬币的时候，当前金额的组合数

????????# 状态数组DP[i]表示对于第k个硬币能凑的组合数

????????# 转移方程DP[i] = DP[i] + DP[i-k]

????????dp?=?[0]?*?(amount?+?1)

????????dp[0]?=?1

????????for?coin?in?coins:

????????????for?x?in?range(1,?amount?+?1):

?????????????????if?x < coin: continue???#?coin不能大于amount

????????????????dp[x]?+=?dp[x?-?coin]

????????return?dp[amount]

class?Solution:

????def?combinationSum4(self, nums:?List[int],?target:?int)?->?int:

????????dp?=?[0]?*?(target?+?1)?? ? ? ?

????????dp[0]?=?1

????????for?x?in?range(1, target?+?1):

????????????for?num?in?nums:

????????????????if?x?<?num:continue

????????????????dp[x]?+=?dp[x?-?num]

????????return?dp[target]

def?change(coins,amount):

????# 求的是组合数

????dp?=?[0?for?_?in?range(amount+1)]

????dp[0]?=?1

????for?coin?in?coins:??# 枚举硬币

????????for?i?in?range(amount?+?1):??# 枚举金额

????????????if?i?<?coin:?continue?#coin不能大于amount

????????????dp[i]?=?dp[i]?+?dp[i?-?coin]

????return?dp[amount]

def?change(coins,amount):

????# 求的是排列数

????dp?=?[0?for?_?in?range(amount+1)]

????dp[0]?=?1?? ? ? ?

????for?i?in?range(amount?+?1):??# 枚举金额

????????for?coin?in?coins:??#枚举硬币

????????????if?i?<?coin:?continue?#coin不能大于amount

????????????dp[i]?=?dp[i]?+?dp[i?-?coin]

????return?dp[amount]

def?climbStairs(n):

????# 爬台阶问题通用模板

????dp?=?[0?for?_?in?range(n?+?1)]

????dp[0]?=?1

????steps?=?[1,2,4,5]

????for?i?in?range(n+1):

????????for?j?in?range(len(steps)):

????????????if?i?<?steps[j]:?continue?# 台阶少于跨越的步数

????????????dp[i]?=?dp[i]?+?dp[i-steps[j]]

????return?dp[n]

# 动态规划

# 用 P(i,j)P(i,j) 表示字符串 s的第 i 到 j 个字母组成的串（下文表示成 s[i:j]）是否为回文串

class?Solution:

????def?longestPalindrome(self, s:?str)?->?str:

????????n?=?len(s)

????????dp?=?[[False]?*?n?for?_?in?range(n)]

????????ans?=?""

????????# 枚举子串的长度 l+1

????????for?l?in?range(n):

????????????# 枚举子串的起始位置 i，这样可以通过 j=i+l 得到子串的结束位置

????????????for?i?in?range(n-l):

????????????????j?=?i?+?l

????????????????if?l?==?0:

????????????????????dp[i][j]?=?True?? ? ? ?

????????????????elif?l?==?1:

????????????????????dp[i][j]?=?(s[i]?==?s[j])

????????????????else:

????????????????????dp[i][j]?=?(dp[i?+?1][j?-?1]?and?s[i]?==?s[j])

????????????????if?dp[i][j]?and?l?+?1?>?len(ans):

????????????????????ans?=?s[i:j+1]

????????return?ans

? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ??

# 中心扩展法

class?Solution:

????def?expandAroundCenter(self, s, left, right):

????????while?left?>=?0?and?right?<?len(s)?and?s[left]?==?s[right]:

????????????left?-=?1

????????????right?+=?1

????????return?left?+?1, right?-?1

? ? ? ? ? ? ? ? ??

????def?longestPalindrome(self, s:?str)?->?str:

????????# 中心扩展法，每个字符从中心往两边扩展，分奇偶

????????start,?end?=?0,?0

????????for?i?in?range(len(s)):

????????????left1,?right1?=?self.expandAroundCenter(s, i, i)?# 以当前字符为中心

????????????left2,?right2?=?self.expandAroundCenter(s, i, i?+?1)?# 以当前字符与后面一个字符为中心

????????????if?right1?-?left1?>?end?-?start:

????????????????start,?end?=?left1, right1

????????????if?right2?-?left2?>?end?-?start:

????????????????start,?end?=?left2, right2

????????return?s[start:?end?+?1]

class?Solution:

????def?longestValidParentheses(self, s:?str)?->?int:

????????# 动态规划

????????# dp[i] 表示以i结尾的最长有效括号长度，‘（’对应的一定是0

????????n?=?len(s)

????????if?n?==?0:

????????????return?0

????????dp?=?[0]?*?n

????????for?i?in?range(1,n):

????????????#?i- dp[i-1] -1是与当前')'对称的位置

????????????# dp[i-dp[i-1]-2] 表示与当前')'对称的位置前面的有效括号长度，需加上

????????????if?s[i]==')'?and?i?-?dp[i-1]?-?1>=0?and?s[i?-?dp[i-1]?-?1]?==?'(':

????????????????dp[i]?=?dp[i-1]?+?dp[i-dp[i-1]-2]?+?2

????????return?max(dp)

class?Solution:

????def?longestValidParentheses(self, s:?str)?->?int:

????????# 栈来实现

????????stack?=?[-1]

????????length?=?0

????????max_length?=?0?? ? ? ?

????????for?i?in?range(len(s)):

????????????if?s[i]?==?'(':

????????????????stack.append(i)

????????????else:

????????????????stack.pop()

????????????????if?not?stack:

????????????????# 栈为空，则添加当前右括号的索引入栈，为分割标识

????????????????????stack.append(i)

????????????????else:

????????????????????length?=?i?-?stack[-1]

????????????????????max_length?=?max(max_length, length)

????????return?max_length

class?Solution:

????def?numDistinct(self, s:?str, t:?str)?->?int:

????????# S中T出现的个数

????????# dp[i][j]表示t的前i个字符串可以由s的前j个字符串组成多少个

????????n?=?len(s)?# 列

????????m?=?len(t)?# 行

????????dp?=?[[0]?*?(n+1)?for?_?in?range(m+1)]

????????for?j?in?range(n+1):

????????????dp[0][j]?=?1

????????for?i?in?range(1,m?+?1):

????????????for?j?in?range(1, n?+?1):

????????????????if?t[i-1]?==?s[j-1]:

# 对应于两种情况，s选择当前字母和不选择当前字母

# s选择当前字母dp[i-1][j-1]

# s不选择当前字母 dp[i][j-1]

????????????????????dp[i][j]?=?dp[i-1][j-1]?+?dp[i][j-1]

????????????????else:

????????????????????dp[i][j]?=?dp[i][j-1]

????????return?dp[-1][-1]

# 动态规划

class?Solution:

????def?longestCommonSubsequence(self, text1:?str, text2:?str)?->?int:

????????m?=?len(text1)

????????n?=?len(text2)

????????dp?=?[[0]?*?(n?+?1)?for?_?in?range(m?+?1)]

????????for?i?in?range(1, m+1):

????????????for?j?in?range(1, n+1):

????????????????if?text1[i-1]?==?text2[j-1]:

????????????????????dp[i][j]?=?dp[i-1][j-1]?+?1

????????????????else:

????????????????????dp[i][j]?=?max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])

????????return?dp[-1][-1]

? ? ? ? ? ? ? ? ??

# 递归

class?Solution:

????def?longestCommonSubsequence(self, text1:?str, text2:?str)?->?int:

????????# 递归

????????memo?=?{}?#备忘录

????????def?dp(i, j):

????????????if?i?==?-1?or?j?==?-1:

????????????????return?0

????????????if?(i,j)?in?memo:

????????????????return?memo[(i,j)]

????????????if?text1[i]?==?text2[j]:

????????????????memo[(i,j)]?=?dp(i-1, j-1)?+?1

????????????else:

????????????????memo[(i,j)]?=?max(dp(i-1, j),?dp(i,j-1))

????????????return?memo[(i,j)]

????????return?dp(len(text1)-1,len(text2)-1)

def?LCS(s1,s2):

????#dp[i][j]表示以s1的i及s2的j结尾的最长公共子串长度

????#如果s1[i-1] ！= s2[j-1] 则，dp[i][j] = 0

????m?=?len(s1)

????n?=?len(s2)

????dp?=?[[0]?*(n+1)?for?_?in?range(m?+?1)]

????maxLen?=?0

????end?=?0

????for?i?in?range(1,m+1):

????????for?j?in?range(1,n+1):

????????????if?s1[i-1]?==?s2[j-1]:

????????????????dp[i][j]?=?dp[i-1][j-1]?+?1

????????????else:

????????????????dp[i][j]?=?0

????????????if?dp[i][j]?>?maxLen:

????????????????maxLen?=?dp[i][j]

????????????????end?=?j-1

????if?maxLen?==?0:

????????return?''

????else:

????????return?s2[end?-?maxLen?+?1:end?+?1]

class?Solution:

????def?lengthOfLIS(self, nums:?List[int])?->?int:

????????if?not?nums:

????????????return?0

????????# dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列长度

????????n?=?len(nums)

????????dp?=?[1?for?_?in?range(n)]

????????for?i?in?range(n):

????????????for?j?in?range(i):

????????????????if?nums[i]?>?nums[j]:

????????????????????dp[i]?=?max(dp[i],dp[j]?+?1)

????????return?max(dp)

class?Solution:

????def?minDistance(self, word1:?str, word2:?str)?->?int:

????????# DP递推方程?? ? ? ?

????????#?存储 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离

????????m?=?len(word1)

????????n?=?len(word2)

????????dp?=?[[0]*(n+1)?for?i?in?range(m+1)]

????????for?i?in?range(m+1):

????????????dp[i][0]?=?i

????????for?j?in?range(n+1):

????????????dp[0][j]?=?j

????????for?i?in?range(1, m+1):

????????????for?j?in?range(1,n+1):

????????????????if?word1[i-1]?==?word2[j-1]:

????????????????????dp[i][j]?=?dp[i-1][j-1]

????????????????else:

????????????????????dp[i][j]?=?min(dp[i-1][j]+1,

????????????????????dp[i][j-1]+1,

????????????????????dp[i-1][j-1]+1)

????????return?dp[m][n]

# 递归写法

class?Solution:

????def?minDistance(self, word1:?str, word2:?str)?->?int:

? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????def?dp(i,j):

????????????if?i?==?-1:

????????????????return?j?+?1

????????????if?j?==?-1:

????????????????return?i?+?1

????????????if?(i,j)?in?memo:

????????????????return?memo[(i,j)]

????????????if?word1[i]?==?word2[j]:

????????????????memo[(i,j)]?=?dp(i-1,j-1)

????????????else:

????????????????memo[(i,j)]?=?min(dp(i-1,j)+?1,

????????????????dp(i,j-1)?+?1,

????????????????dp(i-1,j-1)?+?1)

????????????return?memo[(i,j)]

????????memo?=?{}

????????res?=?dp(len(word1)-1,len(word2)-1)

????????return?res

class?Solution:

????def?findLength(self, A:?List[int],?B:?List[int])?->?int:

????????# p[i][j] 表示 A[i:] 和 B[j:] 的最长公共前缀，那么答案即为所有 dp[i][j] 中的最大值。

????????# 如果 A[i] == B[j]，那么 dp[i][j] = dp[i + 1][j + 1] + 1，否则 dp[i][j] = 0。

????????# 考虑到这里 dp[i][j] 的值从 dp[i + 1][j + 1] 转移得到，所以我们需要倒过来，首先计算 dp[len(A) - 1][len(B) - 1]，最后计算 dp[0][0]

????????n,?m?=?len(A),?len(B)

????????dp?=?[[0]?*?(m?+?1)?for?_?in?range(n?+?1)]

????????ans?=?0

????????for?i?in?range(n?-?1,?-1,?-1):

????????????for?j?in?range(m?-?1,?-1,?-1):?? ? ? ?

????????????????dp[i][j]?=?dp[i?+?1][j?+?1]?+?1?if?A[i]?==?B[j]?else?0

????????????????ans?=?max(ans, dp[i][j])

????????return?ans

class?Solution:

????def?numSquares(self, n:?int)?->?int:

????????dp?=?[0]?*?(n?+?1)

????????for?i?in?range(1, n?+?1):

????????????dp[i]?=?i??#最坏的情况就是全是1

????????????j?=?1

????????????while?i?-?j*j?>=?0:

????????????????dp[i]?=?min(dp[i],?dp[i?-?j?*?j]?+?1)

????????????????j?+=?1

????????return?dp[n]

class?Solution:

????def?uniquePaths(self, m:?int, n:?int)?->?int:

????????dp?=?[[0?for?i?in?range(n)]?for?_?in?range(m)]

????????for?i?in?range(m):

????????????dp[i][0]?=?1

????????for?j?in?range(n):

????????????dp[0][j]?=?1

????????for?i?in?range(1,m):

????????????for?j?in?range(1,n):

????????????????dp[i][j]?=?dp[i-1][j]?+?dp[i][j-1]

????????return?dp[-1][-1]

class?Solution:

????def?uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid:?List[List[int]])?->?int:

????????m?=?len(obstacleGrid)

????????n?=?len(obstacleGrid[0])

????????zero_loc?=?{(i,j)?for?i?in?range(m)?for?j?in?range(n)?if?obstacleGrid[i][j]?==?1}

????????dp?=?[[0]?*?n?for?i?in?range(m)]

????????for?i?in?range(m):

????????????# 初始化第一列，只要碰到一个1，那么后边都无法走到

????????????if?obstacleGrid[i][0]?==?1:

????????????????break

????????????dp[i][0]?=?1

????????for?j?in?range(n):

????????????#初始化第一行，只要碰到一个1，那么后边都无法走到

????????????if?obstacleGrid[0][j]?==?1:

????????????????break

????????????dp[0][j]?=?1

????????for?i?in?range(1,m):

????????????for?j?in?range(1,n):

????????????????if?(i,j)?in?zero_loc:?? ? ? ?

????????????????????dp[i][j]?=?0

????????????????else:

????????????????????dp[i][j]?=?dp[i-1][j]?+?dp[i][j-1]

????????return?dp[-1][-1]

? ? ? ? ? ? ? ? ??

class?Solution:

????def?uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid:?List[List[int]])?->?int:

????????m?=?len(obstacleGrid)

????????n?=len(obstacleGrid[0])

????????if?obstacleGrid[0][0]?==?1?or?obstacleGrid[-1][-1]?==?1:

????????????return?0

????????dp?=?[[0]?*?n?for?_?in?range(m)]

????????for?i?in?range(m):

????????????if?obstacleGrid[i][0]?==?0:

????????????????dp[i][0]?=?1

????????????else:

????????????????break

????????for?j?in?range(n):

????????????if?obstacleGrid[0][j]?==?0:

????????????????dp[0][j]?=?1

????????????else:

????????????????break

????????for?i?in?range(1,m):

????????????for?j?in?range(1,n):?? ? ? ?

????????????????if?obstacleGrid[i][j]?==?1:

????????????????????dp[i][j]?=?0

????????????????????continue

????????????????dp[i][j]?=?dp[i-1][j]?+?dp[i][j-1]

????????return?dp[-1][-1]

class?Solution:

????def?uniquePathsIII(self, grid:?List[List[int]])?->?int:

????????# 注意每一个无障碍的格子都需要通过一次

????????start_x?=?0?? ? ? ?

????????start_y?=?0

????????steps?=?1

????????m?=?len(grid)

????????n?=?len(grid[0])

????????# 遍历获取起始位置和统计总步数

????????for?i?in?range(m):

????????????for?j?in?range(n):

????????????????if?grid[i][j]?==?1:

????????????????????start_x?=?i

????????????????????start_y?=?j

????????????????????continue

????????????????if?grid[i][j]?==?0:

????????????????????steps?+=?1

????????def?DFS(x,y,cur_step, grid):

????????????# 排除越界的情况和遇到障碍的情况

????????????if?x?<?0?or?x?>=?m?or?y?<?0?or?y?>=?n?or?grid[x][y]?==?-1:

????????????????return?0

????????????if?grid[x][y]?==?2:

????????????????# 走到2的位置，且步数为0，表示经过了所有的无障碍格子，是一种方案

????????????????return?1?if?cur_step?==?0?else?0

????????????grid[x][y]?=?-1?# 将已经走过的标记为障碍

????????????res?=?DFS(x?-?1, y, cur_step?-?1, grid)?+?DFS(x?+?1, y, cur_step?-?1, grid)?\

???????????????????+?DFS(x, y?-?1, cur_step?-?1, grid)?\

???????????????????+?DFS(x, y?+?1, cur_step?-?1, grid)

????????????# 回溯

????????????grid[x][y]?=?0

????????????return?res

????????return?DFS(start_x,start_y,steps,grid)

class?Solution:

????def?coinChange(self, coins:?List[int],?amount:?int)?->?int:

????????#dp[i] = x 表示金额i最少需要x个金币

????????dp?=?[amount?+?1?for?i?in?range(amount?+?1)]

????????dp[0]?=?0

????????for?i?in?range(amount+1):

????????????for?coin?in?coins:

????????????????if?i?-?coin?<?0:

????????????????????continue

????????????????dp[i]?=?min(dp[i],dp[i-coin]?+?1)

????????if?dp[amount]?==?amount?+?1:

????????????return?-1

????????else:

????????????return?dp[amount]

class?Solution:

????def?change(self, amount:?int, coins:?List[int])?->?int:

????????# 子问题:对于硬币从0到k，我们必须使用第k个硬币的时候，当前金额的组合数

????????# 状态数组DP[i]表示对于第k个硬币能凑的组合数

????????# 转移方程DP[i] = DP[i] + DP[i-k]

????????dp?=?[0]?*?(amount?+?1)

????????dp[0]?=?1

????????for?coin?in?coins:

????????????for?x?in?range(coin, amount?+?1):

????????????????dp[x]?+=?dp[x?-?coin]

????????return?dp[amount]

class?Solution:

????def?maximalSquare(self, matrix:?List[List[str]])?->?int:

????????# 用 dp(i, j) 表示以 (i, j)为右下角，且只包含 1的正方形的边长最大值

????????if?len(matrix)?==?0?or?len(matrix[0])?==?0:

????????????return?0

????????maxSide?=?0

????????rows,?columns?=?len(matrix),?len(matrix[0])

????????dp?=?[[0]?*?columns?for?_?in?range(rows)]

????????for?i?in?range(rows):

????????????for?j?in?range(columns):

????????????????if?matrix[i][j]?==?'1':

????????????????????if?i?==?0?or?j?==?0:

????????????????????????dp[i][j]?=?1

????????????????????else:

????????????????????????dp[i][j]?=?min(dp[i?-?1][j],?dp[i][j?-?1],?dp[i?-?1][j?-?1])?+?1

????????????????????maxSide?=?max(maxSide, dp[i][j])

????????maxSquare?=?maxSide?*?maxSide

????????return?maxSquare

class?Solution:

????def?maximalRectangle(self, matrix:?List[List[str]])?->?int:

????????#时间复杂度 : O(NM)。每次对于N的迭代我们会对M迭代常数次

????????if?not?matrix:?return?0

????????m?=?len(matrix)

????????n?=?len(matrix[0])

? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????left?=?[0]?*?n?# initialize left as the leftmost boundary possible

????????right?=?[n]?*?n?# initialize right as the rightmost boundary possible

????????height?=?[0]?*?n

????????maxarea?=?0

????????for?i?in?range(m):

????????????cur_left,?cur_right?=?0, n

????????????# update height

????????????for?j?in?range(n):

????????????????if?matrix[i][j]?==?'1':?height[j]?+=?1

????????????????else:?height[j]?=?0

????????????# update left?? ? ? ?

????????????for?j?in?range(n):

????????????????if?matrix[i][j]?==?'1':?left[j]?=?max(left[j],?cur_left)

????????????????else:

????????????????????left[j]?=?0

????????????????????cur_left?=?j?+?1

????????????# update right

????????????for?j?in?range(n-1,?-1,?-1):

????????????????if?matrix[i][j]?==?'1':?right[j]?=?min(right[j],?cur_right)

????????????????else:

????????????????????right[j]?=?n

????????????????????cur_right?=?j

????????????# update the area

????????????for?j?in?range(n):

????????????????maxarea?=?max(maxarea, height[j]?*?(right[j]?-?left[j]))

? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????return?maxarea

class?Solution:

????def?maxSubArray(self, nums:?List[int])?->?int:

????????# dp[i] 表示以小标i为结尾的最大连续子序列的和dp[j] = max(nums[j],dp[j-1] + nums[j])

????????if?len(nums)?==?0:

????????????return?0

????????if?len(nums)?==?1:

????????????return?nums[0]

????????n?=?len(nums)?? ? ? ?

????????dp?=?[float('-inf')]?*?n

????????dp[0]?=?nums[0]

????????for?j?in?range(1,n):

????????????dp[j]?=?max(nums[j],dp[j-1]?+?nums[j])

????????return?max(dp)

#法一

class?Solution:

????def?minimumTotal(self, triangle:?List[List[int]])?->?int:

????????n?=?len(triangle)

????????f?=?[[0]?*?n?for?_?in?range(n)]

????????f[0][0]?=?triangle[0][0]

? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????for?i?in?range(1, n):?? ? ? ?

????????????f[i][0]?=?f[i?-?1][0]?+?triangle[i][0]

????????????for?j?in?range(1, i):

????????????????f[i][j]?=?min(f[i?-?1][j?-?1],?f[i?-?1][j])?+?triangle[i][j]

????????????f[i][i]?=?f[i?-?1][i?-?1]?+?triangle[i][i]?????

????????return?min(f[n?-?1])

? ? ? ? ? ? ? ? ??

#法二

class?Solution:

????def?minimumTotal(self, triangle:?List[List[int]])?->?int:

????????n?=?len(triangle)

????????f?=?[0]?*?n

????????f[0]?=?triangle[0][0]

? ? ? ? ? ? ? ? ??

????????for?i?in?range(1, n):

????????????f[i]?=?f[i?-?1]?+?triangle[i][i]

????????????for?j?in?range(i?-?1,?0,?-1):

????????????????f[j]?=?min(f[j?-?1],?f[j])?+?triangle[i][j]

????????????f[0]?+=?triangle[i][0]

????????return?min(f)

class?Solution:

????def?maxProduct(self,?nums:?List[int])?->?int:

????????n?=?len(nums)

????????if?n?==?0:

????????????return?0

????????dpMax?=?[float('-inf')]?*?n??#?存储以i结尾的最大连续子数组乘积

????????dpMax[0]?=?nums[0]

????????dpMin?=?[float('inf')]?*?n?#?存储以i结尾的最小连续子数组乘积，存在负负得正的情况

????????dpMin[0]?=?nums[0]

????????for?i?in?range(1,n):

????????????dpMax[i]?=?max(dpMin[i?-?1]?*?nums[i],?dpMax[i?-?1]?*?nums[i],?nums[i])

????????????dpMin[i]?=?min(dpMin[i?-?1]?*?nums[i],?dpMax[i?-?1]?*?nums[i],?nums[i])

????????return?max(dpMax)

class?Solution:

????def?rob(self, nums:?List[int])?->?int:

????????#dp[i] 表示前 i间房屋能偷窃到的最高总金额

????????#dp[i]?=?max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i])?

????????n?=?len(nums)

????????if?n==0:

????????????return?0

????????if?n==1:

????????????return?nums[0]

????????dp?=?[0]*?n

????????dp[0]?=?nums[0]

????????dp[1]?=?max(nums[0],nums[1])

????????for?i?in?range(2,n):

????????????dp[i]?=?max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i])

????????return?dp[n-1]

class?Solution:

def?minPathSum(self, grid:?List[List[int]])?->?int:

????#?dp[i][j]表示达到i,j点的最小路径和

????????m?=?len(grid)

????????n?=?len(grid[0])

????????dp?=?[[0]*n?for?_?in?range(m)]

????????dp[0][0]?=?grid[0][0]

????????for?i?in?range(1, m):

????????????dp[i][0]?=?dp[i-1][0]?+?grid[i][0]

????????for?i?in?range(1, n):

????????????dp[0][i]?=?dp[0][i-1]?+?grid[0][i]

????????for?i?in?range(1, m):

????????????for?j?in?range(1, n):

????????????????dp[i][j]?=?min(dp[i][j-1],?dp[i-1][j])?+?grid[i][j]

????????return?dp[-1][-1]

# 动态规划

?class?Solution:

????def?maxProfit(self, prices:?List[int])?->?int:

????????# 动态规划dp[i] 表示前 i 天的最大利润

????????n?=?len(prices)

????????if?n?==?0:?return?0?# 边界条件

????????dp?=?[0]?*?n

????????minprice?=?prices[0]

????????for?i?in?range(1, n):

????????????minprice?=?min(minprice, prices[i])

????????????dp[i]?=?max(dp[i?-?1],?prices[i]?-?minprice)

????????return?dp[-1]

? ? ? ? ? ? ? ? ??

# 方法二

def?maxProfit(self, prices:?List[int])?->?int:

????minprice?=?float('inf')?# 正无穷??负无穷 float("-inf")

????maxprofit?=?0

????for?p?in?prices:

????????minprice?=?min(minprice, p)

????????maxprofit?=?max(maxprofit, p-minprice)

????return?maxprofit

def?maxProfit(self, prices:?List[int])?->?int:

????#在第二次买的时候，价格其实是考虑用了第一次赚的钱去补贴一部分的

????buy_1?=?buy_2?=?float('inf')?# 第一二次买之前的最低价

????pro_1?=?pro_2?=?0

???

????for?p?in?prices:

????????buy_1?=?min(buy_1, p)

????????pro_1?=?max(pro_1, p?-?buy_1)

????????buy_2?=?min(buy_2, p?-?pro_1)?# p - pro_1 是用第一次的钱抵消了一部分第二次买的钱

????????pro_2?=?max(pro_2, p?-?buy_2)

????return?pro_2

? ? ? ? ? ? ? ? ??

class?Solution:

????def?minCostClimbingStairs(self, cost:?List[int])?->?int:

????????# 踏上第i级台阶的最小花费，用dp[i]表示

????????# 初始条件：

????????# 最后一步踏上第0级台阶，最小花费dp[0] = cost[0]。

????????# 最后一步踏上第1级台阶有两个选择：

????????# 可以分别踏上第0级与第1级台阶，花费cost[0] + cost[1]；

????????# 也可以从地面开始迈两步直接踏上第1级台阶，花费cost[1]。

????????n?=?len(cost)

????????dp?=?[0]?*?n

????????dp[0],?dp[1]?=?cost[0],?cost[1]

????????for?i?in?range(2, n):

????????????dp[i]?=?min(dp[i?-?2],?dp[i?-?1])?+?cost[i]

????????return?min(dp[-2],?dp[-1])

class?Solution:

????def?numDecodings(self, s:?str)?->?int:

????????if?s[0]?==?'0':

????????????return?0

????????n?=?len(s)

????????dp?=?[0]?*?(n?+?1)

????????dp[0]?=?1

????????dp[-1]?=?1

????????for?i?in?range(1,n):

????????????# '0'只有10和20才有对应字母，不然 返回 0?? ? ? ?

????????????if?s[i]?==?'0':

????????????????if?s[i-1]=='1'?or?s[i-1]=='2':

????????????????????dp[i]?=?dp[i-2]

????????????????else:

????????????????????return?0

????????????else:

????????????????if?s[i-1]?==?'1'?or?(s[i-1]?=='2'?and?s[i]?<?'7'):

????????????????????# i-1与i 可以结合或者分开

????????????????????dp[i]?=?dp[i-1]?+?dp[i-2]

????????????????else:

????????????????????# i-1与i 必须分开

????????????????????dp[i]?=?dp[i-1]

????????return?dp[-2]

# 动态规划 DP

class?Solution(object):

????def?racecar(self, target):

????????# dp[x] 表示到达位置 x 的最短指令长度

????????dp?=?[0,?1]?+?[float('inf')]?*?target

????????for?t?in?range(2, target?+?1):

????????????k?=?t.bit_length()

????????????if?t?==?2**k?-?1:

????????????????dp[t]?=?k

????????????????continue

????????????for?j?in?range(k?-?1):

????????????????# t - (2**(k-1)-2**j) 为剩余距离，dp[t - 2**(k - 1) + 2**j]表示这个剩余距离需要使用的最少命令数,加上已经使用的 k - 1 + j + 2

????????????????# 由于返回使用的j不确定，因此需要通过遍历【0，k-2】确定dp[t]的最小值?? ? ? ?

????????????????dp[t]?=?min(dp[t],?dp[t?-?2**(k?-?1)?+?2**j]?+?k?-?1?+?j?+?2)

????????????# 2**k - 1 - t 表示剩余需要按返回的距离，dp[2**k - 1 - t]表示走剩余距离需要要使用的最少命令数，加上已经使用的k+1

????????????dp[t]?=?min(dp[t],?dp[2**k?-?1?-?t]?+?k?+?1)

????????return?dp[target]

? ? ? ? ? ? ? ? ??

# 递归写法

class?Solution:

????dp?=?{0:?0}

????def?racecar(self, target:?int)?->?int:

????????t?=?target

????????if?t?in?self.dp:

????????????return?self.dp[t]

????????n?=?t.bit_length()

????????if?2**n?-?1?==?t:

????????????self.dp[t]?=?n

????????else:

????????????self.dp[t]?=?self.racecar(2**n?-?1?-?t)?+?n?+?1

????????????for?m?in?range(n?-?1):

????????????????self.dp[t]?=?min(self.dp[t],?self.racecar(t?-?2**(n?-?1)?+?2**m)?+?n?+?m?+?1)

????????return?self.dp[t]

class?Solution:

????def?numMusicPlaylists(self, N:?int, L:?int, K:?int)?->?int:

????????mod?=?10?**?9?+?7

????????# dp[i][j] 表示用j首不同的歌填充长度为i的歌单数目

????????dp?=?[[0]?*?(N?+?1)?for?_?in?range(L?+?1)]

????????dp[0][0]?=?1

????????for?i?in?range(1, L?+?1):

????????????for?j?in?range(1, N?+?1):

????????????????# 分成两种情况，我们可以播放没有播放过的歌也可以是播放过的

????????????????# 如果当前的歌和前面的都不一样，歌单前i-1首歌只包括了j-1首不同的歌曲，

????????????????# 那么当前的选择有dp[i-1][j-1] * (N-j+1)

????????????????# 如果不是，那么就是选择之前的一首歌，之前最近的K首是不能选的，只能选择j-K前面的歌曲，（j 首歌，最近的 K 首不可以播放）

????????????????# 所以选择就是dp[i-1][j] * max(0, j-K)?? ? ? ?

????????????????dp[i][j]?=?(dp[i-1][j-1]?*?(N?-?j?+?1)?+?dp[i-1][j]?*?max(0, j?-?K))?%?mod

????????return?dp[-1][-1]