P1020 [NOIP1999 提高组] 导弹拦截

题目描述

某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

输入导弹依次飞来的高度，计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式

一行，若干个整数，中间由空格隔开。

输出格式

两行，每行一个整数，第一个数字表示这套系统最多能拦截多少导弹，第二个数字表示如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入输出样例

输入 #1复制

389 207 155 300 299 170 158 65

输出 #1复制

6
2

说明/提示

对于前?50%?数据（NOIP 原题数据），满足导弹的个数不超过?104104?个。该部分数据总分共?100?分。可使用O(n2)?做法通过。
对于后?50%?的数据，满足导弹的个数不超过?105?个。该部分数据总分也为?100?分。请使用?O(nlogn)?做法通过。

对于全部数据，满足导弹的高度为正整数，且不超过?5×104。

此外本题开启 spj，每点两问，按问给分。

NOIP1999 提高组 第一题

upd?2022.8.24：新增加一组 Hack 数据。

解析：

1.由题意可以得，每次选择只能选取比当前系统小的一个数值。

这时我们需要记录其每套系统 的 最小那个值，还有系统 的 个数。

第一问 ：我们这里用 f[i] 记录系统 可以拦截多少个导弹

第二问：f[i]记录需要开有多少个系统。

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 100;
int a[N];
int t = 0, d[N], f[N];
void sloved() {
	int ans = 1;
	int  n = 0;
	while (scanf("%d", &a[++n]) != EOF);
	n--;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		f[i] = 1;
		//记录每套系统的个数和它的最小的那个值，进行比较
		for (int j = t; j > 0; j--) {
			if (a[d[j]] >= a[i]) {
				f[i] = f[d[j]] + 1;
				break;
			}
		}
		t = max(t, f[i]);
		d[f[i]] = i;
		ans = max(f[i], ans);
	}
	cout << ans << endl;
	ans = 1;
	t = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
	    // 每次只需要更新每套系统的最小值的那个值即可 
	// 比如 18 16 当 90来时
	//第一套系统 记录了 16
	//这时不满住 
	//开启第二套系统  
	// d[i] = 2; 
		f[i] = 1;
		for (int j = t; j > 0; j--) {
			if (a[d[j]] < a[i]) {
				f[i] = f[d[j]] + 1;
				break;
			}
		}
		t = max(t, f[i]);
		d[f[i]] = i;
		ans = max(f[i], ans);
	}
	cout << ans << endl;
}
int main() {
	sloved();
	return 0;
}

? 时间复杂度为：O（t*n）,t为需要系统的个数。

解法2：

1.第一问可以用 最长递增子序列进行求解。只需要将数组翻转过来

2.第二问将原数据找递增子序列，子序列的长度刚好就是需要多少个系统。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,ans,a[N],f[N];//这里把f数组与len数组合并了
int main()
{
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);//必须加速优化
	int x;
	while(cin>>x)a[++n]=x;
	memset(f,0x3F,sizeof(f));//初始化为极大值
	reverse(a+1,a+n+1);//反转
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int l=1,r=i;
		while(l<r)//左查
		{
			int mid=(l+r)/2;
			if(f[mid]>a[i])r=mid;
			else l=mid+1;	
		}
		f[l]=min(f[l],a[i]);
		ans=max(ans,l);
	}
	cout<<ans<<endl;
	memset(f,0x3F,sizeof(f));
	reverse(a+1,a+n+1);//反转回来
	ans=0;//注意
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int l=1,r=i;
		while(l<r)
		{
			int mid=(l+r)/2;
			if(f[mid]>=a[i])r=mid;
			else l=mid+1;	
		}
		f[l]=min(f[l],a[i]);
		ans=max(ans,l);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}