问题 B: 分金块

题目描述

? ? ? ?有一个老板有一袋金块。每个月将有两名雇员会因其优异的表现分别被奖励一个金块。按规矩，排名第一的雇员将得到袋中最重的金块，排名第二的雇员将得到袋中最轻的金块。根据这种方式，除非有新的金块加入袋中，否则第一名雇员所得到的金块总是比第二名雇员所得到的金块重。如果有新的金块周期性的加入袋中，则每个月都必须找出最轻和最重的金块。假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少的比较次数找出最轻和最重的金块。

本题要求用二分算法完成。

输入

? ? ? ?输入数据有多行，第一行为金块个数n(2<=n<=5000000)，接下来n行是n个金块的重量。

输出

? ? ? ?输出最重的金块和最轻的金块，用空格隔开。

样例输入

8
10
8
2
4
5
3
9
1

样例输出

10 1

问题分析

1. 问题分解：

   • 将金块数组分为两半，每一半分别寻找最重和最轻的金块。
   • 如果数组只剩下一个金块，那么这个金块既是最重的也是最轻的。
   • 如果数组剩下两个金块，通过简单比较即可确定哪个更重哪个更轻。

2. 递归处理：

   • 递归地应用同样的过程到每一半的金块上，直到只剩下一个或两个金块为止。
   • 这样的递归调用会持续地将问题规模减半，直至达到可以直接解决的简单情况。

3. 合并结果：

   • 在每个递归级别，将两半金块的结果合并起来。
   • 对于每一对递归调用的结果，比较并确定这两部分中的最重金块和最轻金块。
   • 最终，顶层的递归调用将返回整个数组中的最重金块和最轻金块。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// fz 函数用于找出数组中的最大值和最小值
// 它接收金块数组 a 以及当前搜索的范围 [l, r]
pair<int,int> fz(vector<int>& a, int l, int r) {
    if (l == r) {
        // 如果只剩下一个元素，那么这个元素既是最大值也是最小值
        return {a[l], a[r]};
    } else if (l + 1 == r) {
        // 如果只剩下两个元素，比较这两个元素，分别确定最大值和最小值
        return {max(a[l], a[r]), min(a[l], a[r])};
    }
    // 计算中间位置，将数组分为两部分
    int mid = r + (l - r) / 2;
    // 递归地在左半部分找出最大值和最小值
    pair<int, int> left = fz(a, l, mid);
    // 递归地在右半部分找出最大值和最小值
    pair<int, int> right = fz(a, mid + 1, r);
    // 比较左右两部分找到的最大值和最小值，返回整体的最大值和最小值
    return {max(left.first, right.first), min(left.second, right.second)};
}

int main() {
    int n; // 存储金块的数量
    cin >> n;
    vector<int> a(n); // 使用一个向量来存储金块的重量
    // 读取金块的重量
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    // 调用 fz 函数找出最重和最轻的金块
    pair<int, int> ans = fz(a, 0, n - 1);
    // 输出最重的金块和最轻的金块
    cout << ans.first << " " << ans.second << endl;
}