**矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩.**由大数定律知,当总体的k阶矩存在时,样本的k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩.例如,可用样本均值X作为总体均值E(X)的估计量.一般地,记
总体k阶矩=总体k阶原点矩
定义1:用相应的样本矩去估计总体矩的方法称为矩估计法.用矩估计法确定的估计量称为矩估计量.相应的估计值称为矩估计值,矩估计量与矩估计值统称为矩估计.
令ˉX=E(X),则
2.
令ˉX=E(X),则ˉX=3-2θ
则矩估计量^θ=(3-ˉX)/2,
矩估计值 ^θ=
先求矩估计量,再求矩估计值。
似然函数L(θ)的值的大小意味着该样本值出现的可能性的大小,在已得到样本值x1,x2,…,xn的情况下,则应该选择使L(θ)达到最大值的那个θ作为θ的估计^θ.这种求点估计的方法称为最大似然估计法.
求最大似然估计值,再求最大似然估计量
定义2:最大似然估计值,最大似然估计量,最大似然估计
(离散型)例4:设X ~b(1,p),X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,试求参数p的最大似然估计.
(连续型)例5:设总体X服从指数分布,其概率密度函数为
定义1设θ为总体分布的未知参数,X1,X2,Xn是取自总体X的一个样本,对给定的数1-
a
a
a(0<
a
a
a<1),若存在统计量
则称随机区间(_θ,ˉθ)为θ的1-
a
a
a双侧置信区间,称1-
a
a
a为置信度(可信度)(也称置信水平),又分别称_θ与ˉθ为θ的双侧置信下限与双侧置信上限.
其中统计量可以计算出
均值μ的1-a的置信区间为
设总体X~N(μ,σ2),其中μ,σ2未知,X1,X2,…,Xn是取自总体X的一个样本.求方差σ2的置信度为1-a的置信区间.σ2的无偏估计为S2
有定理得