算法学习系列（二十六）：约数

引言

本文主要介绍一下数论当中的约数的概念，最大公约数、约数个数、约数之和概念，并用相应的题目来拿代码实现。

一、约数概念

约数：A mod B = 0，那么B就是A的一个约数

二、最大公约数

用的是辗转相除法，又叫欧几里得算法

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

提一下如果要求最小公倍数，只需$\frac{a?b}{gcd(a,b)}$即可

三、求约数

题目描述：

给定 n 个正整数 ai，对于每个整数 ai，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式
输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个整数 ai 的所有约数。

数据范围
1≤n≤100,1≤ai≤2×109

输入样例：
2
6
8
输出样例：
1 2 3 6 
1 2 4 8 

示例代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> get_divisors(int n)
{
    vector<int> res;
    for(int i = 1; i <= n / i; ++i)  // 还是因为约数是成对出现的，最后再排序就行了
    {
        if(n % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            if(i != n / i) res.push_back(n / i);  // 判断是否为刚好sqrt的情况
        }
    }
    
    sort(res.begin(), res.end());
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    while(n--)
    {
        int t;
        cin >> t;
        auto res = get_divisors(t);
        for(auto x: res) printf("%d ", x);
        puts("");
    }
    
    return 0;
}

四、约数个数

$$N=p_1^{{\alpha }_1}?p_2^{{\alpha }_2}?p_3^{{\alpha }_3}??p_k^{{\alpha }_k}$$$$\text{约数个数：}({\alpha }_1+1)?({\alpha }_2+1)?({\alpha }_3+1)?({\alpha }_k+1)$$

题目描述：

给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 109+7 取模。

输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 109+7 取模。

数据范围
1≤n≤100,1≤ai≤2×109

输入样例：
3
2
6
8
输出样例：
12

示例代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int mod = 1e9+7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    unordered_map<int, int> primes;
    
    while(n--)
    {
        int t;
        cin >> t;
        for(int i = 2; i <= t / i; ++i)
        {
            int s = 0;
            while(t % i == 0)
            {
                primes[i]++;
                t /= i;
            }
        }
        
        if(t > 1) primes[t]++;
    }
    
    LL res = 1;
    for(auto prime: primes) res = res * (prime.second + 1) % mod;
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

五、约数之和

$$\text{约数之和：}(p_1^0+p_1^1+?+p_1^{{\alpha }_1})?(p_k^0+p_k^1+?+p_k^{{\alpha }_k})$$求$p_1^0+p_1^1+?+p_1^{{\alpha }_1}$，可以用t = 1,t = t * p + 1，循环${\alpha }_1$次

题目描述：

给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 109+7 取模。

输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 109+7 取模。

数据范围
1≤n≤100,1≤ai≤2×109

输入样例：
3
2
6
8
输出样例：
252

示例代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int mod = 1e9+7;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    unordered_map<int, int> primes;
    
    while(n--)
    {
        int t;
        cin >> t;
        
        for(int i = 2; i <= t / i; ++i)
        {
            while(t % i == 0)
            {
                primes[i]++;
                t /= i;
            }
        }
        
        if(t > 1) primes[t]++;
    }
    
    LL res = 1;
    for(auto prime: primes)
    {
        int p = prime.first, a = prime.second;
        LL t = 1;
        while(a--) t = (t * p + 1) % mod;
        res = res * t % mod;
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}