二.几何基础_直线

发布时间:2024年01月18日

O以下皆为公理推导的定理,有公理组成的新的定义

一.角

1.由线所组成的新的定义

角: 一点出发由两个不同方向的射线组成的图像(注:构成角的边是无界线的)

  • 顶点: 两射线交汇处,如图 可称顶点为 ∠ A 或 ∠ C A B , ∠ B A C ∠A或∠CAB,∠BAC ACAB,BAC
  • 边: 构成角的射线,如图 AC确定的射线,和AB确定的射线

2.角衍生定理

全等角: 将一角放置另一角能完全重合,例如∠CAD和∠BAD

  • 邻角 有公共顶点,有一条公共边,并且在公共边俩侧的构成的两个角例如∠CAD和∠BAD
    • 公共边: 如图AD所构成的射线
  • 角平分线: 将角分割为相等的平分线,例如线AD

倍角: 一个角等于n个相同大小已知角组成的角,则称为角和已知角的关系是n倍角的关系
对顶角: 组成角的射线经顶点延长后形成的射线所组成的角,例如 ∠ B A C 和 ∠ B 1 A C 1 ∠BAC和∠B_1AC_1 BACB1?AC1?

3.角与圆弧的对应

圆心角: 组成角的顶点变为圆心,角的边于圆周相交仅1点。

  • 相等圆弧所对的圆心角相同
    • 推导: 构成角的射线与圆心组成的弧角圆周于同一点 B ∈ O B , C ∈ O C , 于 B 和 C 形成 ∠ B O C , 弧 C B 若同半径的弧相等组成的圆心角也相等 B∈OB,C∈OC,于B和C形成∠BOC,弧CB若同半径的弧相等组成的圆心角也相等 BOB,COC,BC形成BOC,CB若同半径的弧相等组成的圆心角也相等
  • 同圆上的弧的大小之比等于圆心角之比
    • 推导: 基于定理相等圆弧所对的圆心角相同可推
  • 相等圆弧之和所对应的角度之和相等
    • 推导: 基于定理相等圆弧所对的圆心角相同可推

二.垂直线

垂直线: 两直线交点o所组成的角的邻角相等。如图所示线 C C 1 ⊥ B B 1 CC_1⊥BB_1 CC1?BB1?(ps:在角以知定理情况下的特殊定义)

  • 垂直线与圆所组成圆弧为圆周的 1 4 \frac{1}{4} 41?
  • 1 4 \frac{1}{4} 41?圆弧所对的角为直角
  • 过圆心以若干直线,所组成的弧的和是圆周,对应角的和是4个直角和

三.度量

锐角: 小于直角的角
钝角: 大于直角的角
余角: 两角和为直角
补角: 两角和为2倍直角
度量数: 一个量对选定作为单位的同类量的比,用画图的知识来说就是尺度和单位。(ps:单位是可以设置定义的,同量不同单位之间可以换算单位,即单位的比值)

  • 比: 同种类两量之比,a比b就是 a b \frac{a}{b} ba?
  • 度量数: 量 单位量 \frac{量}{单位量} 单位量?
  • 同度量数之比等于商之比: 量 1 单位量 : 量 2 单位量 = 量 1 量 2 \frac{量1}{单位量}:\frac{量2}{单位量}=\frac{量1}{量2} 单位量1?:单位量2?=21?

1.度

①360=1圆周
习惯上分圆周为360份,每份称为度。1度=60分=3600秒,度的符号用°来表示。

  • 直角的度是 360 ° 4 = 90 ° \frac{360°}{4}=90° 4360°?=90°

②400=1圆周
可以分圆周为400份(事实上你可以划分为任何份),那么直角就是100

四.定理

①过直线外一点只可引一条与该线垂直的线

  • 推导: 两个线所形成的角只有一个位置会是直角。而这个位置上的线就是垂线

②对称点: 直线上有两点关于一点的距离相等,则两点为对称点

  • 推导: 射线上有一点 O O O,绕射线起点旋转180°,此时射线上的点为 O 1 O^1 O1。则点O与 O 1 O^1 O1是对称点,二者距离射线起点的距离相同

五.例题

1.设M为线段AB的中点,证明①若点C在线段AB上,CM的距离是CA和CB的差的一半②若点C在线段的延迟线外,CM的距离是CA和CB之和的一半

  • ①证明若点C在线段AB上,CM的距离是CA和CB的差的一半:
    在这里插入图片描述

    假设C点在M与B的线段上
    ∵ M 为 A B 中点 , 点 C 在 A B 线段上 ∵ M为AB中点,点C在AB线段上 MAB中点,CAB线段上
    ∴ A M = M B = L , C M = l , A C + C B = A B = 2 L ∴ AM=MB=L,CM=l,AC+CB=AB=2L AM=MB=L,CM=l,AC+CB=AB=2L
    ∴ A C = L + l , C B = L ? l ∴ AC=L+l,CB=L-l AC=L+l,CB=L?l
    ∴ C M = A C ? C B 2 ∴ CM=\frac{AC-CB}{2} CM=2AC?CB?
    ∵ 由于对称点的定理看推导 C 在线段 A M 上时结论一致 ∵ 由于对称点的定理看推导C在线段AM上时结论一致 由于对称点的定理看推导C在线段AM上时结论一致
    ∴ C M = A C ? C B 2 ∴ CM=\frac{AC-CB}{2} CM=2AC?CB?

  • ②证明若点C在线段的延迟线外,CM的距离是CA和CB之和的一半:
    在这里插入图片描述

    假设延迟线是沿着MB的
    ∵ M 为 A B 中点 ∵ M为AB中点 MAB中点
    ∴ A M = M B = L , C B = l , A B = 2 L ∴ AM=MB=L,CB=l,AB=2L AM=MB=L,CB=l,AB=2L
    ∴ A C + B C = A B + B C + B C = 2 L + 2 l ∴ AC+BC=AB+BC+BC=2L+2l AC+BC=AB+BC+BC=2L+2l
    ∵ C M = M B + B C = L + l ∵ CM=MB+BC=L+l CM=MB+BC=L+l
    ∵ C M = A C + B C 2 ∵ CM=\frac{AC+BC}{2} CM=2AC+BC?

2.设OM为∠AOB的平分线,证明①若射线OC在∠AOB内,则∠COM=∠COA与∠COB之差的一半。②若射线OC在∠AOB的对顶角 ∠ A 1 O B 1 ∠A^1OB^1 A1OB1内,则∠COM等于前两个角差一半的补角③若射线OC在两条直线形成的 ∠ B O A 1 或 ∠ A O M 1 ∠BOA^1或∠AOM^1 BOA1AOM1内部,则 ∠ C O M ∠COM COM等于∠COA,∠COB之和的一半

  • ①证明若射线OC在∠AOB内,则∠COM=∠COA与∠COB之差的一半:
    在这里插入图片描述

    先假设OC在MOB内
    ∵ O M 为 ∠ A O B 的平分线 ∵ OM为∠AOB的平分线 OMAOB的平分线
    ∴ ∠ A O M = ∠ B O M = ∠ 1 ∴ ∠AOM=∠BOM=∠1 AOM=BOM=∠1
    ∵ O C 在 ∠ A O B 内 ∵ OC在∠AOB内 OCAOB
    ∴ ∠ A O C + ∠ C O B = ∠ A O B = 2 ∠ 1 ∴ ∠AOC+∠COB=∠AOB=2∠1 AOC+COB=AOB=2∠1
    ∴ ∠ C O A ? ∠ C O B ∴ ∠COA-∠COB COA?COB
    ??? = ∠ 1 + ∠ C O M ? ( ∠ 1 ? ∠ C O M ) ~~~=∠1+∠COM-(∠1-∠COM) ???=∠1+COM?(∠1?COM)
    ??? = 2 ∠ C O M ~~~=2∠COM ???=2∠COM
    ∴ ∠ C O A ? ∠ C O B = 2 ∠ C O M ∴ ∠COA-∠COB=2∠COM COA?COB=2∠COM
    根据对称原理可推导OC在∠AOM内的结果一致

    • 奇思妙想: 值得注意的是这里面的推导的结果和题目1里面的①类似。倍数关系是一致的。所以可以把该角的问题转换为曲线AMCB上,或者是AMCB投影到一条线段上即题目1里面的①
  • ②证明若射线OC在∠AOB的对顶角 ∠ A 1 O B 1 ∠A^1OB^1 A1OB1内,则∠COM等于前两个角差一半的补角:
    在这里插入图片描述

    假设OC在 ∠ B 1 O M 1 ∠B_1OM_1 B1?OM1?
    ∵ 根据对顶角原理做延长的边 O B 1 . O M 1 , O A 1 , O C 1 ∵ 根据对顶角原理做延长的边OB_1.OM_1,OA_1,OC_1 根据对顶角原理做延长的边OB1?.OM1?,OA1?,OC1?
    ∴ ∠ C O M 1 = ∠ C 1 O M ∴ ∠COM_1=∠C_1OM COM1?=C1?OM
    ∵ ①中所推 ∵①中所推 中所推
    ∴ ∠ C O A ? ∠ C O B = 2 ∠ C 1 O M ∴∠COA-∠COB=2∠C_1OM COA?COB=2∠C1?OM
    ∵ ∠ C O M ∵∠COM COM
    ??? = ∠ C O C 1 ? ∠ C 1 O M ~~~=∠COC_1-∠C_1OM ???=COC1??C1?OM
    ??? = 180 ° ? ( ∠ C O A ? ∠ C O B ) ~~~=180°-(∠COA-∠COB) ???=180°?(COA?COB)
    ∴ ∠ C O M = 180 ° ? ( ∠ C O A ? ∠ C O B ) ∴∠COM=180°-(∠COA-∠COB) COM=180°?(COA?COB)
    根据对称原理可推导OC在 ∠ A 1 O M 1 ∠A_1OM_1 A1?OM1?内的结果一致

    • 奇思妙想: 这里面要巧用对顶角对应延长边为平角,当遇到复制问题时,可以根据对称原理先解决简单问题,再返回处理复制问题
  • ③若射线OC在两条直线形成的 ∠ B O A 1 或 ∠ A O M 1 ∠BOA^1或∠AOM^1 BOA1AOM1内部,则 ∠ C O M ∠COM COM等于∠COA,∠COB之和的一半
    在这里插入图片描述

    假设OC在 ∠ B O A 1 ∠BOA^1 BOA1
    ∵ O M 为 ∠ A O B 的平分线 ∵ OM为∠AOB的平分线 OMAOB的平分线
    ∴ ∠ A O M = ∠ B O M = ∠ 1 ∴ ∠AOM=∠BOM=∠1 AOM=BOM=∠1
    设 ∠ C O B = ∠ 2 设∠COB=∠2 COB=∠2
    ∴ ∠ C O A = 2 ∠ 1 + ∠ 2 ∴∠COA=2∠1+∠2 COA=2∠1+∠2
    ∵ ∠ C O M = ∠ A O M + ∠ B O M + ∠ B O C ∵∠COM=∠AOM+∠BOM+∠BOC COM=AOM+BOM+BOC
    ??? = ∠ 1 + ∠ 2 ~~~=∠1+∠2 ???=∠1+∠2
    ??? = ∠ C O A + ∠ C O B 2 ~~~=\frac{∠COA+∠COB}{2} ???=2COA+COB?
    ??? = 2 ∠ 1 + 2 ∠ 2 2 ~~~=\frac{2∠1+2∠2}{2} ???=22∠1+2∠2?
    ∴ ∠ C O M = ∠ C O A + ∠ C O B 2 ∴∠COM=\frac{∠COA+∠COB}{2} COM=2COA+COB?
    根据对称原理可推导OC在 ∠ A O M 1 ∠AOM^1 AOM1内的结果一致

    • 奇思妙想: 值得注意的是这里面的推导的结果和题目1里面的②类似,其倍数关系是一致的。所以可以把该角的问题转换为曲线AMBC上,或者是AMBC投影到一条线段上即题目1里面的②

3.从点O依次引四条半直线,OA,OB,OC,OD,且∠AOB=∠COD,∠BOC=∠DOA,证明OA和OC互为延长线,OB和OD也是一样

在这里插入图片描述

∵ ∠ A O B + ∠ B O C = ∠ A O C , ∠ C O D + ∠ D O A = ∠ C O A ∵∠AOB+∠BOC=∠AOC,∠COD+∠DOA=∠COA AOB+BOC=AOC,COD+DOA=COA
∴ ∠ A O B + ∠ B O C = ∠ C O D + ∠ D O A ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠DOA AOB+BOC=COD+DOA
∵ ∠ A O B + ∠ B O C + ∠ C O D + ∠ D O A = 2 π ∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=2\pi AOB+BOC+COD+DOA=2π
∴ ∠ A O B + ∠ B O C = ∠ C O D + ∠ D O A = π ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠DOA=\pi AOB+BOC=COD+DOA=π
所以可知点A点C在同一条直线上
同理 ∠ D O A + ∠ A O B = ∠ B O C + ∠ C O D ∠DOA+∠AOB=∠BOC+∠COD DOA+AOB=BOC+COD=>点B,D在同一条直线上

4.设OA,OB,OC,OD是依次顺序的半直线,满足条件∠AOB和∠COD的平分线形成一条直线。∠BOC和∠AOD平分线形成一条直线。证明四条半直线互为延长线

设 ∠ A O B 的平分线为 O M , ∠ C O D 的平分线为 O M 1 , ∠ B O C 的平分线为 O N , ∠ A O D 的角平分线为 O N 1 设∠AOB的平分线为OM,∠COD的平分线为OM^1,∠BOC的平分线为ON,∠AOD的角平分线为ON^1 AOB的平分线为OM,COD的平分线为OM1,BOC的平分线为ON,AOD的角平分线为ON1
∵ M M 1 , N N 1 为一条直线 ∵MM^1,NN^1为一条直线 MM1,NN1为一条直线
∴ { ∠ A O M = ∠ M O B = ∠ A O B 2 ∠ C O M 1 = ∠ M 1 O D = π ? ∠ C O M = π ? ∠ M O D = ∠ C O D 2 ∠ B O N = ∠ N O C = ∠ B O C 2 ∠ A O N 1 = ∠ N 1 O D = π ? ∠ A O N 1 = π ? ∠ N 1 O D = 6 ∠ A O D 2 ∴\begin{cases} ∠AOM=∠MOB=\frac{∠AOB}{2} \\∠COM^1=∠M^1OD=\pi-∠COM=\pi-∠MOD=\frac{∠COD}{2} \\∠BON=∠NOC=\frac{∠BOC}{2} \\∠AON^1=∠N^1OD=\pi-∠AON^1=\pi-∠N^1OD=6\frac{∠AOD}{2} \end{cases} ? ? ??AOM=MOB=2AOB?COM1=M1OD=π?COM=π?MOD=2COD?BON=NOC=2BOC?AON1=N1OD=π?AON1=π?N1OD=62AOD??
∵ { ∠ A O M + ∠ C O M 1 = ∠ M O B + ∠ M 1 O D ∠ A O M + ∠ M 1 O D = ∠ M O B + ∠ C O M 1 ∠ B O N + ∠ A O N 1 = ∠ B O N + ∠ N 1 O D ∠ B O N + ∠ N 1 O D = ∠ B O N + ∠ A O N 1 ∵\begin{cases} ∠AOM+∠COM^1=∠MOB+∠M^1OD \\∠AOM+∠M^1OD=∠MOB+∠COM^1 \\∠BON+∠AON^1=∠BON+∠N^1OD \\∠BON+∠N^1OD=∠BON+∠AON^1 \end{cases} ? ? ??AOM+COM1=MOB+M1ODAOM+M1OD=MOB+COM1BON+AON1=BON+N1ODBON+N1OD=BON+AON1?
∵ { ∠ A O M + ∠ C O M = ∠ M O B + ∠ M O D ∠ A O M + ∠ M O D = ∠ M O B + ∠ C O M ∠ B O N + ∠ A O N = ∠ B O N + ∠ N O D ∠ B O N + ∠ N O D = ∠ B O N + ∠ A O N ∵\begin{cases} ∠AOM+∠COM=∠MOB+∠MOD \\∠AOM+∠MOD=∠MOB+∠COM \\∠BON+∠AON=∠BON+∠NOD \\∠BON+∠NOD=∠BON+∠AON \end{cases} ? ? ??AOM+COM=MOB+MODAOM+MOD=MOB+COMBON+AON=BON+NODBON+NOD=BON+AON?
∵ { ∠ A O C = ∠ B O D ∠ A O D = ∠ C O B ∠ A O B = ∠ B O D ∠ B O D = ∠ A O B ∵\begin{cases} ∠AOC=∠BOD \\∠AOD=∠COB \\∠AOB=∠BOD \\∠BOD=∠AOB \end{cases} ? ? ??AOC=BODAOD=COBAOB=BODBOD=AOB?
∴ ∠ A O B = ∠ A O C = ∠ B O D = ∠ A O D ∴∠AOB=∠AOC=∠BOD=∠AOD AOB=AOC=BOD=AOD
∵ ∠ A O B + ∠ A O C + ∠ B O D + ∠ A O D = 2 π ∵∠AOB+∠AOC+∠BOD+∠AOD=2\pi AOB+AOC+BOD+AOD=2π
∴ ∠ A O B = ∠ A O C = ∠ B O D = ∠ A O D = π 2 ∴∠AOB=∠AOC=∠BOD=∠AOD=\frac{\pi}{2} AOB=AOC=BOD=AOD=2π?
故四条半直线互为延长线

文章来源:https://blog.csdn.net/tyh751734196/article/details/135684180
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