层次分析法（数模）

例题

当遇到多个要素，很难一次性地客观地完成一整个权重表格，故使用两两对比来完成权重表格

层次分析法的思想

可能出现的问题

标准的矩阵（一致矩阵）

一致性检验

步骤（重要）

权重的计算

一致矩阵

• 计算方法：挑选一列（例如苏杭）（在一致矩阵中，每一列计算结果都一样），要素之间所成的真正比例就是列中的比例（1、1/2、1/4），所以权重如上计算。
• 注意归一化

判断矩阵

方法1（算数平均法）

• 文字描述：
  
• 数学公式：
  

几何平均法

特征值法求权重（重要）

求权重，即求特征向量

如果判断矩阵可以通过一致性检验，那么就可以用相同的算法（特征值法）计算权重

汇总

利用Excel计算（F4可以锁定单元格）

论文体现

• 图例
  
• 案例
  

局限性

当有实际数据时，应该选用其他方法

三种方法都使用

代码实现

计算之前先通过一致性检验（Max_eig最大特征值的求解在特征值求权重部分）

clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end

算术平均法

• 对于某个准则层的表格（例如花费）disp('请输入判断矩阵A： ') % A = input('判断矩阵A=') A =[1 1 4 1/3 3; 1 1 4 1/3 3; 1/4 1/4 1 1/3 1/2; 3 3 3 1 3; 1/3 1/3 2 1/3 1]
• 对列求和，然后求出权重（归一化）：

% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)

[n,n] = size(A)  % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下：
    SUM_A = [];
    for i = 1:n   %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次
        SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
    end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可

• 对每个元素（方案层）（苏州）（每行）的各列进行求和，再除以元素的数量（列数）

sum(Stand_A,2)

% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)

几何平均法

% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加  dim = 2 维度是行

% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方

% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

特征值求权重

• 求出最大特征值

% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~

• 找到最大特征值所在的位置（列）：

% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。

• 归一化求权重（先求含有最大特征值的列）

% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。

代码优化

• 是否为方阵：
• disp('请输入判断矩阵A') A=input('A='); ERROR = 0; [r,c]=size(A); if r ~= c || r <= 1 ERROR = 1; end
• 是否为正互反矩阵：

1. 是否为正：

if ERROR == 0
    [n,n] = size(A);
    %对矩阵进行一次sum函数会返回一个行列式，对行列式进行一次sum函数会返回一个数字
    if sum(sum(A <= 0)) > 0
        ERROR = 2;
    end
end

2. 是否a[i][j] == 1/a[j][i]:

if ERROR == 0
    if sum(sum(A' .* A ~=  ones(n))) > 0
        ERROR = 4;
    end
end

• n值是否过大超出一致性检验的范围
• n是否<=2，此时不必进行一致性检验：

 RI=[0 0.00001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
    % 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数

对于n<=2的问题，也许也可以添加条件判断语句？