【十六】【动态规划】97. 交错字符串、712. 两个字符串的最小ASCII删除和、718. 最长重复子数组，三道题目深度解析

发布时间：2024年01月06日

动态规划

动态规划就像是解决问题的一种策略，它可以帮助我们更高效地找到问题的解决方案。这个策略的核心思想就是将问题分解为一系列的小问题，并将每个小问题的解保存起来。这样，当我们需要解决原始问题的时候，我们就可以直接利用已经计算好的小问题的解，而不需要重复计算。

动态规划与数学归纳法思想上十分相似。

数学归纳法：

基础步骤（base case）：首先证明命题在最小的基础情况下成立。通常这是一个较简单的情况，可以直接验证命题是否成立。
归纳步骤（inductive step）：假设命题在某个情况下成立，然后证明在下一个情况下也成立。这个证明可以通过推理推断出结论或使用一些已知的规律来得到。

通过反复迭代归纳步骤，我们可以推导出命题在所有情况下成立的结论。

动态规划：

状态表示：
状态转移方程：
初始化：
填表顺序：
返回值：

数学归纳法的基础步骤相当于动态规划中初始化步骤。

数学归纳法的归纳步骤相当于动态规划中推导状态转移方程。

动态规划的思想和数学归纳法思想类似。

在动态规划中，首先得到状态在最小的基础情况下的值，然后通过状态转移方程，得到下一个状态的值，反复迭代，最终得到我们期望的状态下的值。

接下来我们通过三道例题，深入理解动态规划思想，以及实现动态规划的具体步骤。

97. 交错字符串 - 力扣（LeetCode）

题目解析

状态表示

对于两个字符串之间的dp问题，我们的一般的思考方式如下：

选取第一个字符串的[0,i]区间以及第二个字符串的[0,j]区间当成研究对象，结合题目要求来定义状态表示。
然后根据两个区间上最后一个位置的状况进行分类讨论，从而确定状态转移方程。

由于这段题目里面空串是研究意义的，因此我们先预处理一下原字符串，前面统一加上一个占位符：s1=s1+“ ”，s2=s2+” “，s3=s3+” “；

根据上述思路，我们很容易可以定义这样一个状态表示，

定义dp[i][j]表示字符串s1中[1,i]区间内的字符串以及s2中[1,j]区间内的字符串能否拼接成s3中[1,i+j]区间内的字符串。

状态转移方程

如果s3[i+j]==s1[i]，此时s3[i+j]与s1[i]匹配，如果s1[1,i-1]和s2[1,j]可以拼成s3[1,i+j-1]说明s1[1,i]和s2[1,j]可以拼成s3[1,i+j]，此时dp[i][j]=dp[i-1][j]；
如果s3[i+j]==s2[j], 此时s3[i+j]与s2[i]匹配，如果s1[1,i]和s2[1,j-1]可以拼成s3[1,i+j-1]说明s1[1,i]和s2[1,j]可以拼成s3[1,i+j]，此时dp[i][j]=dp[i][j-1]；
如果s3[i+j]！=s1[i]&&s3[i+j]!=s2[j]，此时dp[i][j]=false；

综上所述，将false设置为初始值，得到状态转移方程为

    dp[i][j] = (s1[i] == s3[i + j] && dp[i - 1][j]) ||
               (s2[j] == s3[i + j] && dp[i][j - 1]);

初始化

根据状态转移方程，我们知道，想要推到（i，j）位置的状态，我们需要用到（i-1，j）（i，j-1）位置的状态。

所以我们需要初始化第一行和第一列。

初始化第一行，第一行表示s1是空串，此时s2[1,j]必须和s3[1,i+j]对应相等，dp[i][j]才为true。
初始化第一列，第一列表示s2是空串，此时s1[1,j]必须和s3[1,i+j]对应相等，dp[i]j]才为true。

故初始化为，

    for (int j = 1; j <= n; j++) 
        if (s2[j] == s3[j])
            dp[0][j] = true;
        else
            break;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        if (s1[i] == s3[i])
            dp[i][0] = true;
        else
            break;

填表顺序

根据状态转移方程，我们知道，想要推到（i，j）位置的状态，我们需要用到（i-1，j）（i，j-1）位置的状态。

固定i，改变j， i的变化需要从小到大，由于需要用到（i，j-1）位置的状态，所以j的变化也需要从小到大。
固定j，改变i， j的变化需要从小到大，由于需要用到（i-1，j）位置的状态，所以i的变化也需要从小到大。

返回值

定义dp[i][j]表示字符串s1中[1,i]区间内的字符串以及s2中[1,j]区间内的字符串能否拼接成s3中[1,i+j]区间内的字符串。

结合题目意思，我们需要判断字符串s1中[1,m]区间内的字符串以及s2中[1,n]区间内的字符串能否拼接成s3中[1,m+n]区间内的字符串。

故返回dp[m][n]；

代码实现

class Solution {
public:
    bool isInterleave(string s1, string s2, string s3) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回值
        int m = s1.size(), n = s2.size();
        if (m + n != s3.size())
            return false;
        s1 = " " + s1, s2 = " " + s2, s3 = " " + s3;

        vector<vector<bool>> dp(m + 1, vector<bool>(n + 1));
        dp[0][0] = true;
        for (int j = 1; j <= n; j++) 
            if (s2[j] == s3[j])
                dp[0][j] = true;
            else
                break;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            if (s1[i] == s3[i])
                dp[i][0] = true;
            else
                break;

        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                dp[i][j] = (s1[i] == s3[i + j] && dp[i - 1][j]) ||
                           (s2[j] == s3[i + j] && dp[i][j - 1]);
        return dp[m][n];
    }
};

712. 两个字符串的最小ASCII删除和 - 力扣（LeetCode）

题目解析

状态表示

对于两个字符串之间的dp问题，我们的一般的思考方式如下：

选取第一个字符串的[0,i]区间以及第二个字符串的[0,j]区间当成研究对象，结合题目要求来定义状态表示。
然后根据两个区间上最后一个位置的状况进行分类讨论，从而确定状态转移方程。

根据上述思路，我们很容易可以定义这样一个状态表示，

定义dp[i][j]表示s1[0,i]和s2[0,j]区间中所有公共子序列ASCII的最大和。

状态转移方程

如果公共子序列包括s1[i]和s2[j]，此时s1[i]==s2[j]，此时dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+s1[i]；或者dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+s2[j]；
如果公共子序列包括s1[i]但是不包括s2[j]，因为要使得公共子序列ASCII尽可能大，所以此时s1[i]!=s2[j], 此时dp[i][j]=dp[i][j-1];
如果公共子序列包括s2[j]但是不包括s1[i]，因为要使得公共子序列ASCII尽可能大，所以此时s1[i]!=s2[j], 此时dp[i][j]=dp[i-1][j];
如果公共子序列不包括s1[i]也不包括s2[j]，因为要使得公共子序列ASCII尽可能大，所以此时s1[i]!=s2[j], 此时dp[i][j]=dp[i-1][j-1];

将上述情况进行合并和简化，得到状态转移方程，

    dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
    if (s1[i] == s2[j])
        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + s1[i]);

初始化

根据状态转移方程，我们知道在推导（i，j）位置的状态时需要用到（i，j-1）（i-1，j）（i-1，j-1）以及s1（i-1）和s2（j-1）的值。

所以蓝色部分会发生越界情况，此时推导这些位置的状态没有前驱值，所以我们需要将这些位置的状态进行初始化。

我们可以正常对这些位置进行初始化，也可以添加虚拟结点代替这些位置的虚拟化。

添加虚拟节点，即多添加一行和一列，代替原先需要初始化的位置，现在只需要初始化绿色位置的值，即可。这样做的好处是绿色位置的初始化过程可能很简单，而蓝色位置的初始化过程可能稍微复杂。

我们添加虚拟节点后，状态表示、状态转移方程会发生改变，即定义dp[i][j]表示s1[0,i-1]和s2[0,j-1]区间中所有公共子序列ASCII的最大和。

    dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
    if (s1[i - 1] == s2[j - 1])
        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + s1[i - 1]);

添加虚拟结点之后有两点注意事项，

初始化虚拟节点，必须保证推导后续位置的状态的正确性。
下标的映射关系。

初始化虚拟节点：

我们根据状态表示，定义dp[i][j]表示s1[0,i-1]和s2[0,j-1]区间中所有公共子序列ASCII的最大和，可以将第一行和第一列虚拟节点位置表示为空串的意义，统一状态表示。

接下来初始化绿色位置的状态。

初始化第一行，此时i=0，表示s1为空串，公共子序列不存在，所以对应ASCII值应该为0。将第一行全部初始化为0。
初始化第一列，此时j=0，表示s2为空串，公共子序列不存在，所以对应ASCII值应该为0。将第一列全部初始化为0。

下标映射关系：

此时，定义dp[i][j]表示s1[0,i-1]和s2[0,j-1]区间中所有公共子序列ASCII的最大和。 dp中i对应s1的i-1位置，dp中j对应s2的j-1位置。
如果在s1，s2前面添加一个占位符，就可以使得dp中i，j继续映射s1，s2中i，j。

我们这里选择第一种解决办法。

填表顺序

根据状态转移方程，

    dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
    if (s1[i - 1] == s2[j - 1])
        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + s1[i - 1]);

我们知道在推导（i，j）位置的状态时，需要用到（i，j-1）（i-1，j）（i-1，j-1）以及s1（i-1）和s2（j-1）的值。

固定i改变j， i的变化需要从小到大，由于需要用到（i，j-1）位置的状态，所以j的变化需要从小到大。
固定j改变i， j的变化需要从小到大，由于需要用到（i-1，j）位置的状态，所以j的变化需要从小到大。

返回值

根据状态表示，定义dp[i][j]表示s1[0,i-1]和s2[0,j-1]区间中所有公共子序列ASCII的最大和。

结合题目要求，我们需要找到s1[0,m-1]和s2[0,n-1]区间中所有公共子序列ASCII的最大和。然后返回”s1，s2中ASCII和“ - 2*dp[m][n]；

代码实现

class Solution {
public:
    int minimumDeleteSum(string s1, string s2) {
        // 1. 创建 dp 表
        // 2. 初始化
        // 3. 填表
        // 4. 返回值
        int m = s1.size(), n = s2.size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
                if (s1[i - 1] == s2[j - 1])
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + s1[i - 1]);
            }

        int sum = 0; // 统计元素和
        for (auto s : s1)
            sum += s;
        for (auto s : s2)
            sum += s;
        return sum - dp[m][n] - dp[m][n];
    }
};

718. 最长重复子数组 - 力扣（LeetCode）

题目解析

状态表示

对于两个字符串之间的dp问题，我们的一般的思考方式如下：

选取第一个字符串的[0,i]区间以及第二个字符串的[0,j]区间当成研究对象，结合题目要求来定义状态表示。
然后根据两个区间上最后一个位置的状况进行分类讨论，从而确定状态转移方程。

根据上述思路，我们很容易可以定义这样一个状态表示，

dp[i][j]表示以nums1中i位置元素结尾、nums2中j位置元素结尾的所有公共子数组中，最长的公共子数组长度值。

状态转移方程

如果nums1[i]==nums2[j]，因为是子数组，所以，如果以nums1[i]、nums2[j]为结尾的公共子数组长度大于等于2，此时一定包括nums1[i-1]、nums[j-1]元素。此时dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1。
如果nums1[i]==nums2[j]，此时不存在以nums1[i]、nums2[j]为结尾的公共子数组，所以长度为0。

故状态转移方程为，

if (nums1[i] == nums2[j]) 
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1, ret = max(ret, dp[i][j]);

初始化

根据状态转移方程，我们知道在推导（i，j）位置的状态时可能需要用到（i-1，j-1）位置的状态。

所以蓝色位置的状态会发生越界，此时推导（i，j）位置的状态时没有前驱值，所以我们需要初始化这些位置的状态。

或者我们可以添加虚拟节点，即多添加一行和一列，使这些虚拟节点成为蓝色位置的前驱，这样就不用初始化蓝色位置的值，而变为初始化虚拟节点即可。

这样做的好处是，虚拟结点的初始化可能比蓝色部分位置状态的初始化要简便许多。

添加虚拟结点后，状态表示和状态转移方程会发生改变，即，

dp[i][j]表示以nums1中i-1位置元素结尾、nums2中j-1位置元素结尾的所有公共子数组中，最长的公共子数组长度值。

if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) 
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1, ret = max(ret, dp[i][j]);

添加虚拟节点后，有两点注意事项，

初始化虚拟节点，必须保证推导后续位置的状态的正确性。
下标的映射关系。

初始化虚拟节点：

我们根据状态表示，dp[i][j]表示以nums1中i-1位置元素结尾、nums2中j-1位置元素结尾的所有公共子数组中，最长的公共子数组长度值，可以将第一行和第一列虚拟节点位置表示为空串的意义，统一状态表示。

接下来初始化绿色位置的状态。

初始化第一行，此时i=0，表示nums1为空串，公共子数组不存在，所以对应长度值应该为0。将第一行全部初始化为0。
初始化第一列，此时j=0，表示nums2为空串，公共子数组不存在，所以对应长度值应该为0。将第一列全部初始化为0。

下标映射关系：

此时，定义dp[i][j]表示nums1[0,i-1]和nums2[0,j-1]区间中所有公共子序列ASCII的最大和。 dp中i对应nums1的i-1位置，dp中j对应nums2的j-1位置。
如果在nums1，nums2前面添加一个占位符，就可以使得dp中i，j继续映射nums1，nums2中i，j。

我们这里选择第一种解决办法。

填表顺序

根据状态转移方程，我们知道在推导（i，j）位置的状态时可能需要用到（i-1，j-1）位置的状态。

固定i改变j，此时i的变化需要从小到大，j的变化可以从小到大也可以从大到小。
固定j改变i，此时j的变化需要从小到大，i的变化可以从小到大也可以从大到小。

返回值

dp[i][j]表示以nums1中i-1位置元素结尾、nums2中j-1位置元素结尾的所有公共子数组中，最长的公共子数组长度值。

结合题目意思，我们需要返回所有情况下最长的公共子数组的长度值，所以我们需要遍历dp表找到最大的值然后返回。

代码实现

class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size(), n = nums2.size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        int ret = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) 
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1, ret = max(ret, dp[i][j]);
        return ret;
    }
};

结尾

今天我们学习了动态规划的思想，动态规划思想和数学归纳法思想有一些类似，动态规划在模拟数学归纳法的过程，已知一个最简单的基础解，通过得到前项与后项的推导关系，由这个最简单的基础解，我们可以一步一步推导出我们希望得到的那个解，把我们得到的解依次存放在dp数组中，dp数组中对应的状态，就像是数列里面的每一项。最后感谢您阅读我的文章，对于动态规划系列，我会一直更新，如果您觉得内容有帮助，可以点赞加关注，以快速阅读最新文章。

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