【八】【C语言\动态规划】1567. 乘积为正数的最长子数组长度、413. 等差数列划分、978. 最长湍流子数组，三道题目深度解析

动态规划

动态规划就像是解决问题的一种策略，它可以帮助我们更高效地找到问题的解决方案。这个策略的核心思想就是将问题分解为一系列的小问题，并将每个小问题的解保存起来。这样，当我们需要解决原始问题的时候，我们就可以直接利用已经计算好的小问题的解，而不需要重复计算。

动态规划与数学归纳法思想上十分相似。

数学归纳法：

1. 基础步骤（base case）：首先证明命题在最小的基础情况下成立。通常这是一个较简单的情况，可以直接验证命题是否成立。

2. 归纳步骤（inductive step）：假设命题在某个情况下成立，然后证明在下一个情况下也成立。这个证明可以通过推理推断出结论或使用一些已知的规律来得到。

通过反复迭代归纳步骤，我们可以推导出命题在所有情况下成立的结论。

动态规划：

1. 状态表示：

2. 状态转移方程：

3. 初始化：

4. 填表顺序：

5. 返回值：

数学归纳法的基础步骤相当于动态规划中初始化步骤。

数学归纳法的归纳步骤相当于动态规划中推导状态转移方程。

动态规划的思想和数学归纳法思想类似。

在动态规划中，首先得到状态在最小的基础情况下的值，然后通过状态转移方程，得到下一个状态的值，反复迭代，最终得到我们期望的状态下的值。

接下来我们通过三道例题，深入理解动态规划思想，以及实现动态规划的具体步骤。

1567. 乘积为正数的最长子数组长度

题目解析

状态表示

状态表示一般通过经验+题目得到。

经验一般指以某个位置为结尾或者以某个位置为开始。

我们很容易可以定义这样一个dp状态表示，dp[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，乘积为正数的最长子数组长度。

我们可以尝试推导一下该状态表示的状态转移方程。

dp[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，乘积为正数的最长子数组长度。

我们关注所有以下标i为结尾的子数组，可以分为两种情况，第一种情况是子数组只有下标i一个元素，第二种情况是子数组不止下标i一个元素。

第一种情况，如果nums[i]>0，dp[i]=1,否则dp[i]=0。

第二种情况，我们可以将i下标元素单独分开，看成两部分。

如果nums[i]>0，dp[i]=dp[i-1]+1。

如果nums[i]=0，dp[i]=0。

如果nums[i]<0，dp[i]=（在第一部分所有子数组中，乘积为负数的最长子数组长度）+1。

我们发现还需要一个状态才能填写dp状态。所以我们应该添加一个状态，表示以下标i为结尾的所有子数组中，乘积为负数的最长子数组长度。

因此我们可以重新定义状态表示，

f[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，乘积为正数的最长子数组长度。

g[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，乘积为负数的最长子数组长度。

状态转移方程

根据上面的分析，可以分一下这些情况

1. 如果只考虑i一个元素，

   • nums[i]>0时，f[i]=1,g[i]=0

   • nums[i]<0时，f[i]=0,g[i]=1

   • nums[i]=0时，f[i]=0,g[i]=0

2. 如果不止考虑i一个元素，

   1. nums[i]>0时，考虑两种情况

      1. 第一种情况，f[i-1]=0，此时f[i]=0，因为我们考虑不止一个元素，所以最少是两个元素，子数组乘积一定是零，所以长度为0。 g[i-1]=0，此时g[i]=0，同理。

      2. 第二种情况，f[i-1]!=0,此时f[i]=f[i-1]+1,g[i]=g[i-1]+1。第一部分乘积为正数的最长子数组，后面添加nums[i]这个元素，乘积是正数乘以正数，是正数，所以f[i]=f[i-1]+1。 第一部分乘积为负数的最长子数组，后面添加nums[i]这个元素，乘积是负数乘以正数，是负数，所以g[i]=g[i-1]+1。

   2. nums[i]<0时，同样考虑两种情况

      1. 第一种情况，f[i-1]=0，此时f[i]=0，因为我们考虑不止一个元素，所以最少是两个元素，子数组乘积一定是零，所以长度为0。 g[i-1]=0，此时g[i]=0，同理。

      2. 第二种情况，f[i-1]!=0,此时f[i]=g[i-1]+1,g[i]=f[i-1]+1。第一部分乘积为负数的最长子数组，后面添加nums[i]这个元素，乘积是负数乘以负数，是正数，所以f[i]=g[i-1]+1。 第一部分乘积为正数的最长子数组，后面添加nums[i]这个元素，乘积是正数乘以负数，是负数，所以g[i]=f[i-1]+1。

   3. nums[i]=0时，f[i]=0,g[i]=0

我们可以整理一下上述情况，看看哪些情况是可以合并在一起的。

f[i]=max(如果只考虑i一个元素，如果不止考虑i一个元素)

g[i]=max(如果只考虑i一个元素，如果不止考虑i一个元素)

最终我们可以合并成这样，

        if(nums[i]==0) f[i]=g[i]=0;
        else if(nums[i]>0){
            f[i]=f[i-1]+1;
            g[i]=g[i-1]==0?0:g[i-1]+1;
        }else{
            f[i]=g[i-1]==0?0:g[i-1]+1;
            g[i]=f[i-1]+1;

        }

上述即状态转移方程。

初始化

根据状态转移方程我们知道，想要推导出i位置的状态，需要用到i-1位置的状态，所以我们需要初始化第一个状态，即f[0]、g[0]

    f[0]=nums[0]>0?1:0;
    g[0]=nums[0]<0?1:0;

填表顺序

根据状态转移方程我们知道，想要推导出i位置的状态，需要用到i-1位置的状态，所以我们应该从左往右填写，保证推导i位置状态时，i-1位置状态已经得到。

从左往右填写。

返回值

f[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，乘积为正数的最长子数组长度。

g[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，乘积为负数的最长子数组长度。

结合题目意思，我们应该遍历f数组中所有元素，记录最大的状态值，然后返回。

代码实现

int getMaxLen(int* nums, int numsSize){
    int n=numsSize;

    int f[n],g[n];
    f[0]=nums[0]>0?1:0;
    g[0]=nums[0]<0?1:0;

    int ret=nums[0]>0?1:0;
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(nums[i]==0) f[i]=g[i]=0;
        else if(nums[i]>0){
            f[i]=f[i-1]+1;
            g[i]=g[i-1]==0?0:g[i-1]+1;
        }else{
            f[i]=g[i-1]==0?0:g[i-1]+1;
            g[i]=f[i-1]+1;

        }

        ret=fmax(ret,f[i]);

    }
    return ret;
}

413. 等差数列划分

题目解析

状态表示

状态表示一般由经验+题目得到

经验一般是，以某个位置为结尾，或者以某个位置为开始。

我们很容易可以定义这样一个dp状态表示，dp[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，是等差数组的子数组个数。

状态转移方程

dp[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，是等差数组的子数组个数。

对于 dp[i] 位置的元素 nums[i] ，会与前面的两个元素有下面两种情况：

1. nums[i - 2], nums[i - 1], nums[i] 三个元素不能构成等差数列：那么以nums[i] 为结尾的等差数列就不存在，此时 dp[i] = 0 ；

2. nums[i - 2], nums[i - 1], nums[i] 三个元素可以构成等差数列：那么以nums[i - 1] 为结尾的所有等差数列后面填上一个 nums[i] 也是一个等差数列，此时dp[i] = dp[i - 1] 。但是，因为nums[i - 2], nums[i - 1], nums[i] 三者又能构成一个新的等差数列，因此要在之前的基础上再添上一个等差数列，于是dp[i] = dp[i - 1] + 1 。

综上所述：状态转移方程为：

当： nums[i - 2] + nums[i] != 2 * nums[i - 1] 时， dp[i] = 0

当： nums[i - 2] + nums[i] == 2 * nums[i - 1] 时， dp[i] = 1 + dp[i - 1]

初始化

根据状态转移方程，我们知道，想要推导出i位置的状态，需要用到i-1，i-2位置的状态，所以我们需要初始化前两个位置的状态。

根据状态表示，dp[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，是等差数组的子数组个数。

很容易得到，

dp[0]=0

dp[1]=0

因为等差数组最少要有三个元素。

填表顺序

根据状态转移方程，我们知道，想要推导出i位置的状态，需要用到i-1，i-2位置的状态，所以我们推导i位置的状态时，i-1和i-2位置的状态应该已经得出。

所以填表顺序应该为，

从左往右。

返回值

根据状态表示，dp[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，是等差数组的子数组个数。

结合题目意思，我们应该遍历dp数组，统计以每个元素为结尾的等差子数组的个数。

代码实现

int numberOfArithmeticSlices(int* nums, int numsSize){
    int n=numsSize;
    if(n==1||n==2) return 0;
    int dp[n];
    dp[0]=0;
    dp[1]=0;
    int count=0;
    for(int i=2;i<n;i++){
        if(nums[i - 2] + nums[i] != 2 * nums[i - 1]) dp[i] = 0 ;
        else dp[i] = 1 + dp[i - 1];
        count+=dp[i];
    }

    return count;
}

978. 最长湍流子数组

题目解析

所谓湍流子数组，就是子数组中，每相邻的两个数呈现一上一下状态，交替出现。

状态表示

状态表示一般由经验+题目得到

经验一般是，以某个位置为结尾，或者以某个位置为开始。

子数组的求解，我们一般都可以以某个位置为结尾解决状态表示。

我们很容易可以定义这样一个dp状态表示，dp[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，最长湍流子数组的长度。

我们可以尝试推导一下该状态表示的状态转移方程。

dp[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，最长湍流子数组的长度。

我们想要通过dp[i-1]推导出dp[i]，首先需要判断nums[i]和nums[i-1]的大小以及dp[i-1]表示的最长湍流子数组中，nums[i-1]处于“上升”状态还是“下降”状态。因此我们应该存储i元素处于“上升”还是“下降”状态。

我们可以重新定义状态表示，

f[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，i元素处于“上升”状态时，湍流子数组最长的长度。

g[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，i元素处于“下降”状态时，湍流子数组最长的长度。

状态转移方程

1. 如果只考虑i唯一一个元素，f[i]=g[i]=1，最小的湍流子数组长度就是1。

2. 如果不止考虑i一个元素，

   1. 如果nums[i]>nums[i-1]，f[i]=g[i-1]+1,g[i]=1

   2. 如果nums[i]<nums[i-1]，f[i]=1,g[i]=f[i-1]+1

   3. 如果nums[i]=nums[i-1]，f[i]=g[i]=1

有很多情况，f[i],g[i]的值是1，我们可以初始化，把所有的数据初始化为1，把这些情况放到初始化里面解决。

所有我们只需要考虑剩下的情况，

得到状态转移方程为，

        if(arr[i]>arr[i-1]) f[i]=g[i-1]+1;
        else if(arr[i]<arr[i-1])g[i]=f[i-1]+1;

初始化

根据状态转移方程，我们知道，想要推导出i位置的状态，需要用到i-1位置的状态，

所以我们需要初始化第一个位置的状态。

同时在状态转移方程推导时，我们将许多情况放到初始化阶段来解决，所以我们同时应该初始化所有数据为1。

如果只考虑第一个位置，我发现f[0]=g[0]=1。

所以我们只需要把所有数据初始化为1即可。

填表顺序

根据状态转移方程，我们知道，想要推导出i位置的状态，需要用到i-1位置的状态，

所以我们在推导i位置的状态时，应该已经得到i-1位置的状态。

所以我们应该从左往右填写，一次填写两个表。

返回值

f[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，i元素处于“上升”状态时，湍流子数组最长的长度。

g[i]表示以下标i为结尾的所有子数组中，i元素处于“下降”状态时，湍流子数组最长的长度。

结合题意，我们应该遍历f数组，记录最大的湍流子数组长度。

代码实现

int maxTurbulenceSize(int* arr, int arrSize) {
    int n=arrSize;

    int f[n],g[n];
    for(int i=0;i<n;i++){
        f[i]=1;
        g[i]=1;
    }

    int ret=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        if(arr[i]>arr[i-1]) f[i]=g[i-1]+1;
        else if(arr[i]<arr[i-1])g[i]=f[i-1]+1;

        ret=fmax(ret,fmax(f[i],g[i]));
    }
    return ret;
}

结尾

今天我们学习了动态规划的思想，动态规划思想和数学归纳法思想有一些类似，动态规划在模拟数学归纳法的过程，已知一个最简单的基础解，通过得到前项与后项的推导关系，由这个最简单的基础解，我们可以一步一步推导出我们希望得到的那个解，把我们得到的解依次存放在dp数组中，dp数组中对应的状态，就像是数列里面的每一项。最后感谢您阅读我的文章，对于动态规划系列，我会一直更新，如果您觉得内容有帮助，可以点赞加关注，以快速阅读最新文章。

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