力扣：474. 一和零（动态规划）（01背包）

题目：

给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。

请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

输入：

strs = [“10”, “0001”, “111001”, “1”, “0”], m = 5, n = 3

输出：

4

解释：

最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {“10”,“0001”,“1”,“0”} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {“0001”,“1”} 和 {“10”,“1”,“0”} 。{“111001”} 不满足题意，因为它含 4个 1 ，大于 n 的值 3 。

示例 2：

输入：

strs = [“10”, “0”, “1”], m = 1, n = 1

输出：

2

解释：

最大的子集是 {“0”, “1”} ，所以答案是 2 。

提示：

• 1 <= strs.length <= 600
• 1 <= strs[i].length <= 100
• strs[i] 仅由 ‘0’ 和’1’ 组成
• 1 <= m, n <= 100

思路：

本题是01背包问题

只不过这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

动态规划五部曲：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

dp[i][j] 可以由前一个strs里的字符串推导出来，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1。

dp[i][j] 就可以是 dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1。

然后我们在遍历的过程中，取dp[i][j]的最大值。

所以递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);

此时大家可以回想一下01背包的递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

对比一下就会发现，字符串的zeroNum和oneNum相当于物品的重量（weight[i]），字符串本身的个数相当于物品的价值（value[i]）。

这就是一个典型的01背包！ 只不过物品的重量有了两个维度而已。

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zero_num][j - one_num] + 1)

3. dp数组如何初始化

01背包的dp数组初始化为0就可以。

因为物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖。

4. 确定遍历顺序

01背包一定是外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！

那么本题也是，物品就是strs里的字符串，背包容量就是题目描述中的m和n。

代码如下：

            # 遍历m到zero_num，更新dp数组
            for i in range(m, zero_num - 1, -1):
                # 遍历n到one_num，更新dp数组
                for j in range(n, one_num - 1, -1):
                    # 更新dp[i][j]的值
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zero_num][j - one_num] + 1)

m 和 n都是物品重量的一个维度，先遍历哪个都可以。

5. 举例推导dp数组
   以输入：[“10”,“0001”,“111001”,“1”,“0”]，m = 3，n = 3为例

最后dp数组的状态如下所示：

代码及详细注释：

class Solution:
    def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:
        # 创建一个二维数组dp，用于记录可以由前i个字符串组成的最大子集的个数
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        # 遍历每个字符串
        for s in strs:
            zero_num = s.count('0')  # 统计0的个数
            one_num = s.count('1')  # 统计1的个数
            # 遍历m到zero_num，更新dp数组
            for i in range(m, zero_num - 1, -1):
                # 遍历n到one_num，更新dp数组
                for j in range(n, one_num - 1, -1):
                    # 更新dp[i][j]的值
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zero_num][j - one_num] + 1)
        # 返回dp[m][n]，表示可以由给定数量的0和1组成的最大子集的个数
        return dp[m][n]

• 时间复杂度: O(kmn)，k 为strs的长度
• 空间复杂度: O(mn)