D42&&D43&&D44|买卖股票的最佳时机

121.买卖股票的最佳时机

初始思路：

暴力解法，两个for循环。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        for(int i = 0;i<prices.length;i++){
            for(int j = i+1;j<prices.length;j++){
                res = Math.max(res,prices[j]-prices[i]);
            }
        }
        return res<0?0:res;
    }
}

会超出时间限制。

题解复盘：

好吧想不出来dp数组该怎么定义。

动态规划五部曲：

1）确定dp数组（dp table）以及下标的含义：

? ? ? ? dp[i][0]表示第i天持有股票所得最多现金

? ? ? ? dp[i][1]表示第i天不持有股票所得最多现金

2）确定递推公式：

????????如果第i天持有股票即dp[i][0]，可以是第i天买了股票也可以是第i天没买但第i-天就持有股票。

? ? ? ? dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);

?????????如果第i天不持有股票即dp[i][1]，可能是我第i天卖出了，也可能是我第i-1天就不持有。

????????dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

3）初始化：

dp[0][0] -= prices[0];

dp[0][1] = 0;

4）遍历顺序：

从前往后

5）举例推导

以示例1，输入：[7,1,5,3,6,4]为例，dp数组状态如下：

dp[5][1]就是最终结果。

为什么不是dp[5][0]呢？

因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[][]dp = new int[prices.length][2];
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1;i<prices.length;i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],-prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][0]+prices[i],dp[i-1][1]);
        }
        return dp[prices.length-1][1];
    }
}

这里我纳闷了一下为什么?dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],-prices[i]);而不是

dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

主要是因为本题只可以买一次，所以第一次购入的时候的现金一定是- prices[i]， dp[i - 1][1] - prices[i]也就涉及了多次买卖。

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122.买卖股票的最佳时机II

由上面的结果修改一下直接得到第二道题目的答案。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            System.out.println(dp[i][0]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
            System.out.println(dp[i][1]);
        }
        return dp[prices.length - 1][1];
    }
}

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123.买卖股票的最佳时机III

相比于上一题不限制次数的交易，本题的重点在于我最多只能交易两次。

初始思路&&题解复盘

1. 确定dp数组以及下标的含义

????????一天一共就有五个状态，

1. 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
2. 第一次持有股票
3. 第一次不持有股票
4. 第二次持有股票
5. 第二次不持有股票

????????dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

?????2.确定递推公式

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

????????3.dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int[][] dp = new int[prices.length][5];
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for(int i = 1;i<prices.length;i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][0]-prices[i],dp[i-1][1]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][1]+prices[i],dp[i-1][2]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][2]-prices[i],dp[i-1][3]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][3]+prices[i],dp[i-1][4]);
        }
        for(int i = 0;i<5;i++){
            res = Math.max(res, dp[prices.length-1][i]);
        }
        return res;
    }
}

第一次解答的时候第2次买入的时候初始化为0导致计算错误，接下来书写的时候需要注意，只要买入就是-prices[0];

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188.买卖股票的最佳时机IV?

初始思路&&题解复盘：

在上一题目的基础之上，总结了规律的感觉。

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
    //买卖k次的话是2k+1种情况；
    int[][] dp = new int[prices.length][2*k+1];
    for(int i = 1;i<2*k+1;i = i+2){
        
        dp[0][i] = -prices[0];
        
    }
    for(int i = 1;i<prices.length;i++){
      for(int j= 1;j<2*k+1;j++){
        if(j%2!=0){
            dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j-1]-prices[i],dp[i-1][j]);
        }else{
            dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j-1]+prices[i],dp[i-1][j]);  
        }
    }
    }
    return dp[prices.length-1][2*k];
    }
}

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length == 0) return 0;

        // [天数][股票状态]
        // 股票状态: 奇数表示第 k 次交易持有/买入, 偶数表示第 k 次交易不持有/卖出, 0 表示没有操作
        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][k*2 + 1];
        
        // dp数组的初始化, 与版本一同理
        for (int i = 1; i < k*2; i += 2) {
            dp[0][i] = -prices[0];
        }

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
                dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[len - 1][k*2];
    }
}

?题解计算量更小

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309.买卖股票的最佳时机含冷冻期

初始思路：

? ? ? ? 由上面的题目可以发现这部分重点依旧在于分析状态，从而得到dp数组的定义和递推公式

在此我认为拥有三种状态，

? ? ? ? 当前未拥有股票，但不是当天卖出的，下一阶段可在此状态下购入；

? ? ? ? 当前未拥有股票，但是是当天卖出的，下一阶段不可在该状态下购入。

? ? ? ? 当前拥有股票，可能是上一阶段购入的，也可能是在第一状态下购入的。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices.length==1){return 0;}
        int[][] dp = new int[prices.length][3];
        dp[0][1] = -prices[0];
        for(int i = 1;i<prices.length;i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][2]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]-prices[i]);
            dp[i][2] = dp[i-1][1]+prices[i];
        }
        return Math.max(dp[prices.length-1][0],dp[prices.length-1][2]);
    }
}

题解复盘：?

分为了四个状态，更加清晰：

具体可以区分出如下四个状态：

• 状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
• 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
  • 状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
  • 状态三：今天卖出股票
• 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

j的状态为：

• 0：状态一
• 1：状态二
• 2：状态三
• 3：状态四

注意这里的每一个状态，例如状态一，是持有股票股票状态并不是说今天一定就买入股票，而是说保持买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态。

1. 确定递推公式

达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
• 操作二：今天买入了，有两种情况
  • 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
  • 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]

那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]);

达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是状态二
• 操作二：前一天是冷冻期（状态四）

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出

即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

昨天卖出了股票（状态三）

dp[i][3] = dp[i - 1][2];

综上分析，递推代码如下：

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];

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714.买卖股票的最佳时机含手续费?

初始思路：

? ? ? ? 由上面的题目可以发现这部分重点依旧在于分析状态，从而得到dp数组的定义和递推公式。但其实就是在122的基础上增加了手续费。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int[][] dp = new int[prices.length][2];
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i]-fee, dp[i - 1][1]);
        }
        return dp[prices.length - 1][1];
    }
}