供应链 | 顶刊OR论文精读：供应链网络的中断与重连

Disruption and Rerouting in Supply Chain Networks

原文作者信息

John R. Birge, Agostino Capponi, Peng-Chu Chen (2022) Disruption and Rerouting in Supply Chain Networks. Operations Research 71(2):750-767. https://doi.org/10.1287/opre.2022.2409

原文摘要总结如下：

供应链网络中的企业是通过采购订单相互连接的，当企业受到成本或需求影响时，可能会导致违约产生负面影响，而这些负面影响又会通过供应链网络进行扩散，形成供应链网络的系统风险。当企业面对违约风险时，应采取什么样的应对措施来减轻负面影响则成为本文的研究重点。
（1）从供应链网络视角而言，即使买方多元化和供应商多元化都很低，但只要企业拥有大量的初始资本缓冲，那么网络脆弱性就会很低。
（2）从面临违约风险的企业角度而言，只有当企业供应商的违约概率很低时，单一采购策略才对企业有利。否则，对于一个公司来说，多源采购的策略在受到冲击的情况下更具成本效益。

关键词：供应链网络、中断风险、应急重连、二级市场、系统风险

1 问题背景

当供应链网络中的企业遇到成本或需求冲击时，会主动寻求应急方法来减轻冲击影响，避免违约；但当冲击影响覆盖面变大时，网络中受到违约威胁的企业会通过自救使整体局面逐渐达到特殊的均衡状态，本文通过算法的设计来计算这种均衡。接着从链中企业角度出发，分析买方和供应商多元化对分层供应链网络中系统性风险的影响，用弹性和脆弱性来衡量供应链网络的事前绩效（即发生冲击前的供应链网络）。最后基于弹性和脆弱性，又从企业角度比较了企业单一采购策略与多源采购策略的合理性，以从微观视角对面临违约风险的企业应急决策提供理论支持。

2 问题建模

使用供应链网络来描述同一行业中企业之间的相互关联的市场，该网络由五元组进行定义：$(O,p,w,\Theta ,\Lambda )$

2.1 成本和需求冲击与企业的反应

根据结构性违约模型，当企业i的净资产e(i)<0时，则企业i违约。这种情况下企业i向下游企业j交付商品m的数量称为实际交货量，公式表示如下：
$$q_{ij}^m:=\{\begin{array}{l}{o}_{ij}^{m}if{e}_j\ge 0\\ 0otherwise\end{array}$$
由于企业i实际交货量与其未违约前的应交订单量之间存在差值，故将该差值称为未交付订单数，公式表达如下：
$${\gamma }_{ij}^m:=o_{ij}^m?q_{ij}^{m}form\in M,i,j\in N$$
则企业i的未交付订单数总量为：
$${\bar{r}}_i^m=\sum _{j\in N}{\gamma }_{ij}^m$$
由于未交付订单会减少企业收入，为降低这一损失影响，企业i需重新寻找替代买家来分配商品m的供应。如果在重连之后，初始资本加收入仍然低于这些供应商的成本，则他们依然会违约，且进一步对自己的供应商和买家产生负面影响。因此，当企业i的上游供应商企业j违约时，企业i应寻找替代供应商来交付新的订单，以减少可能造成的缺货损失。由于安全库存是为防止有可能引发违约情况的各种意外因素而准备的缓冲库存，能大大降低企业违约风险，因此对该问题分情况考虑：
（1）在不考虑安全库存的前提下，企业i在上游供应商企业j违约情况下的商品m订单量为：
$${\delta }_{ji}^m:=\{\begin{array}{l}0if{e}_j\ge 0\\ o_{ji}^{m}otherwise\end{array}$$
（2）在考虑安全库存的前提下，企业i在上游供应商企业j违约情况下的商品m订单量为：
$${\bar{\sigma }}_i^m:=(\sum _{j\in N}{\delta }_{ji}^m?{\theta }_i^m{)}^{+}=\{\begin{array}{l}0if{\sum }_{j\in N}{\delta }_{ji}^m=0\\ {\sum }_{j\in N}{\delta }_{ji}^m?{\theta }_i^{m}otherwise\end{array}$$
【注】假设2.1提出企业i所拥有商品m的安全库存量小于企业i生产的商品m的最小订单量，即企业i的安全库存只能缓解违约损失而不能避免违约发生。

2.2 二级市场与采购市场

（1）二级市场

二级市场是指企业出售由于随机需求变动、牛鞭效应以及预测模型不准确而产生过剩库存的市场。假设企业i需要重新安排商品m的未交付订单，$\pi$为重新安排的商品价格， R m : = { i ∈ N ∣ r ˉ i m > 0 } R_m:=\{i∈N|\bar{r}^m_i>0\} Rm?:={i∈N∣rˉim?>0}为存在未交付订单的企业集，$d_m(\pi )$为需求函数。

假设2.2 提出$d_m(\pi )$是连续两次可微的凹函数，对于所有$\pi$严格递减，且函数值均大于0；此外，对于所有$\pi \ge p^m$且$d_m(0)\ge \sum _{i\in N}\sum _{j\in N}{o}_{ij}^m$的情况，函数值为0。

接下来定义2.1用有效转换供应的概念来对二级市场中商品m总需求的分配机制进行解释。买方在二级市场优先选择提供低价的企业，若需求量超过了该企业的供给能力，则企业优先选择为高估值的买方提供服务。若多家企业价格相同，则未交付订单数量更多（现有库存量更大）的企业会占优势。

定义2.1 对于给定的未交付订单总数 { r ˉ i m } i ∈ R m \{\bar{r}^m_i\}_{i\in{R_m}} {rˉim?}i∈Rm??和价格 { π i m } i ∈ R m \{{\pi}^m_i\}_{i\in{R_m}} {πim?}i∈Rm??，定义
χ : = { { x i } i ∈ R m ∣ x i x j = r ˉ i m r ˉ j m 对于任意 i , j ∈ R m 使得 π i m = π j m } \chi:=\Big\{\{x_i\}_{i∈R_m}|\frac{x_i}{x_j}=\frac{\bar{r}^m_i}{\bar{r}^m_j} 对于任意i,j∈R_m使得\pi^m_i=\pi^m_j\Big\} χ:={{xi?}i∈Rm??∣xj?xi??=rˉjm?rˉim??对于任意i,j∈Rm?使得πim?=πjm?}
其中 { r i m } i ∈ R m \{r^m_i\}_{i∈R_m} {rim?}i∈Rm??是有效转换供应的利润，且
{ r i m } i ∈ R m ∈ ? a r g m a x x i ∈ [ 0 , r ˉ i m ] ? i ∈ R m ( ∫ 0 ∑ i ∈ R m x i d m ? 1 ( x ) d x ? ∑ i ∈ R m π i m x i ) ∩ χ \{r^m_i\}_{i∈R_m}∈\underset{x_i∈[0,\bar{r}^m_i]\forall{i∈R_m}}{\ argmax}\Bigg(\int^{\sum_{i∈R_m}x_i}_0d^{-1}_m(x)dx-\sum_{i∈R_m}\pi^m_ix_i\Bigg)\cap\chi {rim?}i∈Rm??∈xi?∈[0,rˉim?]?i∈Rm??argmax?(∫0∑i∈Rm??xi??dm?1?(x)dx?i∈Rm?∑?πim?xi?)∩χ

（2）采购市场

采购市场是指企业寻找替代供应商的市场，其行为与前文提到的二级市场对称。假设企业i需要重新寻找商品m的上游替代供应商，k为其转换成本，令 S m : = { i ∈ N ∣ σ ˉ i m > 0 } S_m:=\{i∈N|\bar{\sigma}^m_i>0\} Sm?:={i∈N∣σˉim?>0}为需要重新安排商品m未来订单的企业集，$S_m(k)$为准换成本为$k\in \mathbb{R}$时的总供给量。

假设2.3 提出$S_m(k)$是连续两次可微的凹函数，对于所有k>0严格递增，且函数值均大于0。

接下来，定义2.2用有效转换需求的概念对采购市场中未来订单的重新安排机制进行解释。供应商在采购市场会优先选择准换成本较高的企业进行服务，若市场供应能力超过企业未来订单需求，则企业优先选择转换成本较低的供应商进行合作。若多家企业产生相同的转换成本，则让供应商以与公司的总未满足需求成比例的概率为每个公司服务来打破这一局面。

定义2.2 对于给定的未服务总需求 { σ ˉ i m } i ∈ S m \{\bar{\sigma}^m_i\}_{i∈S_m} {σˉim?}i∈Sm??和成本 { k i m } i ∈ S m \{k^m_i\}_{i∈S_m} {kim?}i∈Sm??，定义
χ : = { { x i } i ∈ S m ∣ x i x j = σ ˉ i m σ ˉ j m 对于任意 i , j ∈ S m 使得 k i m = k j m } \chi:=\Big\{\{x_i\}_{i∈S_m}|\frac{x_i}{x_j}=\frac{\bar{\sigma}^m_i}{\bar{\sigma}^m_j} 对于任意i,j∈S_m使得k^m_i=k^m_j\Big\} χ:={{xi?}i∈Sm??∣xj?xi??=σˉjm?σˉim??对于任意i,j∈Sm?使得kim?=kjm?}
其中 { σ i m } i ∈ S m \{\sigma^m_i\}_{i∈S_m} {σim?}i∈Sm??是有效转换需求的利润，且
{ σ i m } i ∈ S m ∈ ? a r g m a x x i ∈ [ 0 , σ ˉ i m ] ? i ∈ S m ( ∑ i ∈ s m k i m x i ? ∫ 0 ∑ i ∈ s m x i s m ? 1 ( x ) d x ) ∩ χ \{\sigma^m_i\}_{i∈S_m}∈\underset{x_i∈[0,\bar{\sigma}^m_i]\forall{i∈S_m}}{\ argmax}\Bigg(\sum_{i∈s_m}k^m_ix_i-\int^{\sum_{i∈s_m}x_i}_0s^{-1}_m(x)dx\Bigg)\cap\chi {σim?}i∈Sm??∈xi?∈[0,σˉim?]?i∈Sm??argmax?(i∈sm?∑?kim?xi??∫0∑i∈sm??xi??sm?1?(x)dx)∩χ
二级市场中，企业售出多余商品m变现；而采购市场仅安排未来订单，仅在交付商品时付款，因此二级市场与采购市场时两个独立的市场。

2.3 企业事后净资产

一家企业的事后净资产由其初始权益加上完成订单收益和重新安排未交付订单收益减去安全库存成本、延期供应成本及转换供应商成本组成。当e(i)<0时，则企业i违约。
$$e_i=w_i+\underset{完成订单所获利润}{\underbrace{\sum _{m\in M}{p}^m(\sum _{j\in N}{o}_{ij}^m?{\bar{r}}_i^m)?c_i}}?\underset{安全库存持有成本}{\underbrace{\sum _{m\in M}{\theta }_i^m{\lambda }_i^m}}+\underset{重新路由供应所获利润}{\underbrace{\sum _{m\in M}({\pi }_i^m{r}_i^m?{\iota }_i^m{r}_i^m)}}?\underset{没有转换需求时的延期交货成本}{\underbrace{\sum _{m\in M}{b}_i^m{\sigma }_i^m}}+\underset{延期交货成本的净减少}{\underbrace{\sum _{m\in M}(b_i^m{\sigma }_i^m?k_i^m{\sigma }_i^m)}}$$

3 供应链网络均衡

3.1 部分均衡

（1）二级市场

将二级市场建模为具有产能约束的伯特兰寡头垄断市场（指某种产品的由少数几家寡头企业控制的市场，每家企业可以根据市场自主定价，价格越低所占市场份额越大）。将未交付订单量视为固定的情况下，需要寻找替代买家的各企业同时选择重新供应商品m的价格（即最大化其自身期望利润）。
m a x π i m ? e i ( π i m ; π ? i m , { r ˉ i m } i ∈ R m ) \underset{\pi^m_i}{max}\ {e_i(\pi^m_i;\pi^m_{-i},\{\bar{r}^m_i\}_{i∈R_m})} πim?max??ei?(πim?;π?im?,{rˉim?}i∈Rm??)
其中，${\pi }_{?i}^m$表示商品m的价格分布。

二级市场下的不分均衡定义如下：

定义3.1 对于给定的商品m的未交付订单 { r ˉ i m } i ∈ R m \{\bar{r}^m_i\}_{i∈R_m} {rˉim?}i∈Rm??,若其相应的转换供应 { r i m } i ∈ R m \{{r}^m_i\}_{i∈R_m} {rim?}i∈Rm??是有效的，且对于所有$i\in R_m$在任意$\pi >0$时，有
e i ( π i m ; π ? i m , { r ˉ i m } i ∈ R m ) ≥ e i ( π ; π ? i m , { r ˉ i m } i ∈ R m ) {e_i(\pi^m_i;\pi^m_{-i},\{\bar{r}^m_i\}_{i∈R_m})}≥{e_i(\pi;\pi^m_{-i},\{\bar{r}^m_i\}_{i∈R_m})} ei?(πim?;π?im?,{rˉim?}i∈Rm??)≥ei?(π;π?im?,{rˉim?}i∈Rm??)

（2）采购市场

将采购市场建模为买方寡头垄断市场，将为满足的商品m的需求视为固定的情况下，需要寻找替代供应商的各企业均会产生转换成本，各企业严格控制准换成本以期实现最大化事后净资产。
m a x k i m ? e i ( k i m ; k ? i m , { σ ˉ i m } i ∈ S m ) \underset{k^m_i}{max}\ {e_i(k^m_i;k^m_{-i},\{\bar{\sigma}^m_i\}_{i∈S_m})} kim?max??ei?(kim?;k?im?,{σˉim?}i∈Sm??)
其中，$k_{?i}^m$表示商品m的成本分布。

采购市场下的部分均衡定义如下：

定义3.2 对于给定的商品m的未服务需求 { σ ˉ i m } i ∈ S m \{\bar{\sigma}^m_i\}_{i∈S_m} {σˉim?}i∈Sm??，若其相应的转换需求 { σ i m } i ∈ S m \{{\sigma}^m_i\}_{i∈S_m} {σim?}i∈Sm??是有效的，且对于所有$i\in S_m$在所有k≥0时，有
e i ( k i m ; k ? i m , { σ ˉ i m } i ∈ S m ) ≥ e i ( k ; k ? i m , { σ ˉ i m } i ∈ S m ) {e_i(k^m_i;k^m_{-i},\{\bar{\sigma}^m_i\}_{i∈S_m})}≥{e_i(k;k^m_{-i},\{\bar{\sigma}^m_i\}_{i∈S_m})} ei?(kim?;k?im?,{σˉim?}i∈Sm??)≥ei?(k;k?im?,{σˉim?}i∈Sm??)

3.2 级联失效与一般均衡

企业中断的负面影响可能会顺着供应链网络向上下游传播，引发级联失效，这种情况一直持续到网络中没有企业再发生中断为止。此时没有企业再进入二级市场和采购市场，未交付订单与未满足需求总量不再增加，称这种状态为市场稳定状态：

定义3.3 令 Γ : = { γ i j m } m ∈ M , i , j ∈ N \Gamma:=\{\gamma^m_{ij}\}_{m∈M,i,j∈N} Γ:={γijm?}m∈M,i,j∈N?, Δ : = { δ i j m } m ∈ M , i , j ∈ N \Delta:=\{\delta^m_{ij}\}_{m∈M,i,j∈N} Δ:={δijm?}m∈M,i,j∈N?，定义一系列未交付订单和未服务需求的集合为$({\Gamma }^{(n)},{\Delta }^{(n)}),n=0,1,...$按${\Gamma }^{(n)}:=0^{N\times N\times M}$$,$${\Delta }^{(n)}:=0^{N\times N\times M}$,${\Gamma }^{(n+1)}:=\Phi ({\Gamma }^{(n)},{\Delta }^{(n)})$,${\Delta }^{(n+1)}:=\Psi ({\Gamma }^{(n)},{\Delta }^{(n)})$的方式递归。

其中，函数$\Phi$和$\Psi$是一一对应的自变量与因变量。供应链网络$(O,p,w,\Theta ,\Lambda )$中的市场稳定状态是未交付订单与未服务需求集合$(\Gamma ,\Delta )$的函数，即有

$(\Gamma ,\Delta )={\lim }_{x\to \infty }({\Gamma }^{(n)},{\Delta }^{(n)})$和$(\Gamma ,\Delta )=(\Phi (\Gamma ,\Delta ),\Psi (\Gamma ,\Delta ))$

达到一般供应链网络均衡的条件：

（1）没有新的企业违约；

（2）过剩商品被最优地重新安排；

（3）所有供应商转换决策均已做出。

因此，在一般的供应链网络均衡中，未交付订单、未满足需求和价格是同时决定的，并且要考虑不同商品的二级市场和采购市场之间的相互作用。

定义3.4 一般网络均衡包括替代供应价格函数 Π : = { π i m } m ∈ M , i ∈ N \Pi:=\{\pi^m_i\}_{m∈M,i∈N} Π:={πim?}m∈M,i∈N?，转换需求成本函数 K : = { k i m } m ∈ M , i ∈ N K:=\{k^m_i\}_{m\in M,i\in N} K:={kim?}m∈M,i∈N?，未交付订单 Γ : = { γ i j m } m ∈ M , i , j ∈ N \Gamma:=\{\gamma^m_{ij}\}_{m\in M,i,j\in N} Γ:={γijm?}m∈M,i,j∈N?，和未服务需求 Δ : = { δ i j m } m ∈ M , i , j ∈ N \Delta:=\{\delta^m_{ij}\}_{m\in M,i,j\in N} Δ:={δijm?}m∈M,i,j∈N?，使得（i）每个二级市场和采购市场中的部分均衡与（ii）供应链网络中的市场稳定状态同时达到。

在原文第4节中分别描述了二级市场与采购市场部分均衡的特征，并陈列了其部分均衡存在且唯一的条件，基于此推出存在唯一的供应链网络一般均衡。可以参考附录中A.5部分的算法（GEA）来构建这个一般均衡，该算法模拟了传染性违约在供应链网络中的传播方式。

一般均衡算法（GEA）:

构建如下一系列矩阵${\Gamma }^{(0)}$,${\Delta }^{(0)}$,${\Pi }^{(0)}$和$K^{(0)}$:

(i) 令 n=0,${\Gamma }^{(0)}:=0^{N\times N\times M}$，${\Delta }^{(0)}:=0^{N\times N\times M}$

(ii) 根据等式${\pi }_i^{m,(n)}:=d_m^{?1}\left({\sum }_{j\in R_m}{\bar{r}}_j^{m,(n)}\right)$，$k_i^{m,(n)}:=s_m^{?1}\left({\sum }_{j\in S_m}{\bar{\sigma }}_j^{m,(n)}\right)$计算${\Pi }^{(n)}$和$K^{(n)}$。对于每个企业i，计算$e_i^{(n)}:=e_i^{?}({\Gamma }^{(n)}，{\Delta }^{(n)})$。

(iii) 令$D_n:=\{i\in N|e_i^{(n)}<0\}$是违约企业集合。

(iv) 若$D_n=D_{n?1}$，则算法结束。

(v) 否则，构建${\Gamma }^{(n+1)}$和$K^{(n+1)}$如下：对所有的$i\in N，m\in M$，令
$${\gamma }_{ij}^{m,(n+1)}:=\{\begin{array}{l}0forj\in N?D_n，\\ o_{ij}^{m}forj\in D_n\end{array}$$
$${\delta }_{ji}^{m,(n+1)}:=\{\begin{array}{l}0forj\in N?D_n，\\ o_{ji}^{m}forj\in D_n\end{array}$$
(vi) 令 n:=n+1 并返回步骤（ii）

4 供应链网络性能分析

4.1 从弹性和脆弱性两个角度量化供应链网络的绩效

（1）弹性指标

弹性通过安全库存对减少缺货风险的水平来衡量（缺货风险指由于中断情况下寻找替代供应商而造成的损失）。设$\theta$是任意企业中每种商品的安全库存持有量，$D_0(\theta )$是违约企业合集，${\sigma }_i^m(\chi ,y)$表示违约企业$\chi$和企业i拥有安全库存y情况下企业i中商品m的有效转换需求。
$$D_o(\theta ):=\{i\in N|w_i+\sum _{m\in M}(p^m\sum _{j\in N}{o}_{ij}^m?\theta {\lambda }_i^m)?c_i<0\}$$
对任意$i\in N$，有：
$${\zeta }_i(\theta ):=\sum _{m\in M}[\underset{安全库存持有成本}{\underbrace{\theta {\lambda }_i^m}}+\underset{转换需求总量}{\underbrace{{\sigma }_i^m(D_0(\theta ),\theta )}}\times \underset{转换供应商的单位成本}{\underbrace{s_m^{?1}\left(\sum _{j\in N}{\sigma }_j^m\right(D_0(\theta ),\theta )}}]$$
企业i的安全库存量$\theta$带来的缺货风险减少量为：${\xi }_i(0)?{\xi }_i(\theta )$，设供应链网络中缺货风险减少总量比例为：
$$\zeta (\theta ):=\frac{{\sum }_{i\in N}{\zeta }_i(0)?{\zeta }_i(\theta )}{{\sum }_{i\in N}{\zeta }_i(0)}$$
$\zeta (\theta )$值越大，则表明供应链网络弹性越大。

（2）脆弱性指标

脆弱性通过供应链网络的系统损失来衡量。系统损失指未违约下所有公司总净值与违约下达到一般均衡时所有公司总净值的差值，用公式表达如下：
$$?:=\sum _{i\in N}\mathbb{E}\left[{\underline{e}}_i\right|\underset{没有公司从根本上违约的事件}{\underbrace{w_i+\sum _{m\in M}(p^m\sum _{j\in N}{o}_{ij}^m?{\theta }_i^m{\lambda }_i^m)?c_i\ge 0对任意i\in N}}]?\sum _{i\in N}\mathbb{E}[e_i]$$
其中，系统损失值越大，则供应链网络越脆弱。

4.2 买方和供应商的多样化如何影响网络的性能

（1）多样化对供应链网络弹性的影响

假设存在两个分层供应链网络A与B（关于分层供应链网络的定义详见原文5.2）。定义5.3指出两个网络中总订单量相同的情况下，拥有更多供应商与买方的供应链网络更加多样化。定理5.1则指出，更加多样化的供应链网络也更具弹性，也可以解释为低弹性为供应链网络带来了更大的缺货风险。

定义5.3 假设有两个分层供应链网络$A:=(O^A,p,w,\Theta ,\Lambda )$和$B:=(O^B,p,w,\Theta ,\Lambda )$，若网络B同时具有更多元的买方和供应商，则B比A更多样化，对于$i\in N$，有：

i. ${\sum }_{j\in {\mathcal{U}}_i^A}{o}_{ji}^{A,m_i}={\sum }_{j\in {\mathcal{U}}_i^B}{o}_{ji}^{B,m_i}$且${\sum }_{j\in {\mathcal{L}}_i^A}{o}_{ij}^{A,m_i}={\sum }_{j\in {\mathcal{L}}_i^B}{o}_{ij}^{B,m_i}$

ii. ${\mathcal{U}}_i^A?{\mathcal{U}}_i^B$且${\mathcal{L}}_i^A?{\mathcal{L}}_i^B$

iii. { m i n j ∈ U i A { o j i A , m i ≥ m a x j ∈ U i B { o j i B , m i } i f U i A ? U i B o j i A , m i = o j i B , m i f o r j ∈ U i A i f U i A = U i B \begin{cases}\underset{j\in \mathcal U^A_i}{min}\{o^{A,m_i}_{ji}\geq \underset{j\in \mathcal U^B_i}{max}\{o^{B,m_i}_{ji}\} if \mathcal U^A_i\subset\mathcal U^B_i\\o^{A,m_i}_{ji}=o^{B,m_i}_{ji} for j\in\mathcal U^A_i if \mathcal U^A_i=\mathcal U^B_i\end{cases} ? ? ??j∈UiA?min?{ojiA,mi??≥j∈UiB?max?{ojiB,mi??}ifUiA??UiB?ojiA,mi??=ojiB,mi??forj∈UiA?ifUiA?=UiB??和
{ m i n j ∈ L i A { o i j A , m i ≥ m a x j ∈ L i B { o i j B , m i } i f L i A ? L i B o i j A , m i = o i j B , m i f o r j ∈ L i A i f L i A = L i B \begin{cases}\underset{j\in \mathcal L^A_i}{min}\{o^{A,m_i}_{ij}\geq \underset{j\in \mathcal L^B_i}{max}\{o^{B,m_i}_{ij}\} if \mathcal L^A_i\subset\mathcal L^B_i\\o^{A,m_i}_{ij}=o^{B,m_i}_{ij} for j\in\mathcal L^A_i if \mathcal L^A_i=\mathcal L^B_i\end{cases} ? ? ??j∈LiA?min?{oijA,mi??≥j∈LiB?max?{oijB,mi??}ifLiA??LiB?oijA,mi??=oijB,mi??forj∈LiA?ifLiA?=LiB??

（2）多样化对供应链网络脆弱性的影响

假设企业i在分层供应链网络中违约，其违约原因有可能是受到来自上游供应商违约的负面影响，也有可能是受到下游买家违约的负面影响。假设根本违约企业集为$D_0$，企业$i\in {\mathcal{V}}_{D_0}$保持偿付能力所需要的最小初始资本表示如下：（其中${\mathcal{V}}_{D_0}$表示由$D_0$引发的违约企业合集，包括由于被传染而违约的企业）
$$v_i:=c_i?p^{m_i}\sum _{k\in {\mathcal{L}}_i}{o}_{ik}^{m_i}+{\theta }_i^{m_i?1}{\lambda }_i^{m_i?1}+\underset{由于最脆弱群体中所有公司的违约而导致供应重连所产生的损失}{\underbrace{\sum _{k\in {\mathcal{V}}_{D_0}}{o}_{ik}^{m_i}\times (p^{m_i}+{\iota }^{m_i}?d_{m_i}^{?1}(\sum _{j\in {\mathcal{F}}_{m_i}}\sum _{k\in {\mathcal{V}}_{D_0}}{o}_{jk}^{m_i}\left)\right)}}+\underset{由于最脆弱群体中所有公司的违约而导致需求转换所产生的损失}{\underbrace{{\sigma }_i^{m_i?1}({\mathcal{V}}_{D_0},{\theta }_i^{m_i?1})\times s_{m_i?1}^{?1}\left(\sum _{j\in {\mathcal{F}}_{m_i}}{o}_j^{m_i}\right({\mathcal{V}}_{D_0},{\theta }_j^{m_i?1}\left)\right)}}$$
假设存在两个分层供应链网络A与B，每个企业安全库存均为0。定理5.2指出，在企业i属于被传染违约时：

i）若两个网络中$v_i$值均较低，则多样化程度低的网络比较脆弱；

ii）若两个网络中$v_i$值均较高，则多样化程度高的网络比较脆弱；

4.3 从单个企业角度比较单一采购策略与多源采购策略的成本效益

通过比较采取单一采购策略与多源采购策略企业的净值来判断供应多样化对单个企业的影响。假设企业i选择单一采购策略，企业j选择多源采购策略。

【事件A】企业i的（唯一）供应商k违约，此时选择多源采购策略的企业j净资产更高；

【事件B】企业j的供应商k保持偿付能力，其他供应商有至少一个违约；

【事件$A^C\cap B$】企业i的（唯一）供应商k未违约且企业j的供应商至少有一个违约，此时选择单源采购策略的企业i净资产更高。

定理5.3 表示，若企业对供应商没有足够的信任，则应选择多源采购策略；在分层供应链网络$(O,p,w,\Theta ,\Lambda )$中，假设i和j是同一层级的两个相同的企业，区别在于企业i的供应商只有k，而企业j则有包括k在内的多个供应商，即：对于任意$\eta \in {\mathcal{L}}_i$,$w_i=w_j$,

${\theta }_i^{m_i?1}={\theta }_j^{m_i?1}$,${\lambda }_i^{m_i?1}={\lambda }_j^{m_i?1}$有 U i = { k } ? U j \mathcal U_i=\{k\}\subset\mathcal U_j Ui?={k}?Uj?,${\mathcal{L}}_i={\mathcal{L}}_j$,$o_{ki}^{m_i?1}={\sum }_{\eta \in {\mathcal{U}}_j}{o}_{\eta j}^{m_i?1}$,$o_{i\eta }^{m_i?1}=o_{j\eta }^{m_i?1}$，且$c_i$和$c_j$服从相同的概率分布，存在$\beta >0$，使得：

i. 若$\mathbb{P}[A]\ge \beta \times \mathbb{P}[A^C\cap B]$，则有$\mathbb{E}[{\underline{e}}_j]\ge \mathbb{E}[{\underline{e}}_i]$

ii. 若$\mathbb{P}[A]<\beta \times \mathbb{P}[A^C\cap B]$，则有$\mathbb{E}[{\underline{e}}_j]<\mathbb{E}[{\underline{e}}_i]$

5 研究不足与展望

本研究的模型假设企业完全理性，致力于最大化其事后净值。然而，在现实情况中，企业可能遇到各种约束，限制它们自由选择行动以实现最高的净值。这些市场摩擦，尤其是在危机时期，不仅引入了对未交付订单和未满足需求描述的不连续性，也可能导致多重均衡的出现，打破了唯一性。例如，当企业无法重新分配供应或转换需求时，这些摩擦会变得更加严重。我们预测，即使在这种极端摩擦的情况下，本文的结论仍然适用。此外，减少缓解策略会加剧违约的传染效应，从而降低所有公司的事后净资产，这进一步强化了我们的主要观点。未来的研究可以考虑将包含有限理性约束的模型以及允许大量市场摩擦的框架纳入研究范畴。

参考文献

John R. Birge, Agostino Capponi, Peng-Chu Chen (2023) Disruption and Rerouting in Supply Chain Networks. Operations Research 71(2):750-767. https://doi.org/10.1287/opre.2022.2409