深入理解傅里叶变换

1. 什么是傅里叶变换

高等数学中一般是从周期函数的傅里叶级数开始介绍的，这里也不例外。

简单的说，从高中我们就学过一个理想的波可以用三角函数来描述，但是实际上的波可以是各种奇形怪状的。

首先我们来看具有固定周期的波，下图中展示了4种常见的周期波。傅里叶级数告诉我们，这些周期信号都可以分解为有限或无限个正弦波或余弦波的叠加，且这些波的频率都是原始信号频率$f_0$的整数倍。

这个公式是傅里叶级数的表示形式，它用于将周期性信号分解为一系列简单的正弦波和余弦波的叠加。让我们来一步步解读它：

• $s(t)$ 是时间 $t$ 的函数，表示原始信号。
• $A_0/2$ 是直流分量（也就是信号的平均值或基线水平）。
• $\sum$ 符号代表求和，表示将所有的正弦波叠加起来。
• $n$ 是和的索引，用于表示不同的频率成分。
• $A_n$ 是第$n$个正弦波的振幅，它决定了这个分量的强度。
• $sin(2\pi n{f}_{0}t+{?}_n)$ 是正弦波函数，其中：
  • $2\pi n{f}_0$ 表示角频率，$n$ 倍的基频 $f_0$，这里 $f_0$ 是信号的基础频率。
  • $t$ 是时间变量。
  • ${?}_n$ 是相位偏移，决定了正弦波的起始点。

总结一下，这个公式告诉我们，任何周期性的信号都可以看作是一系列不同频率、振幅和相位的正弦波的叠加。这是分析和处理信号时非常有用的一种方式。

2. 为什么要分解为正弦波的叠加

分解为正弦波的叠加是很有用的，因为正弦波是最基本的振动形式，而且有一些很好的性质：

1. 简单性：正弦波是周期函数的基础，它们简单且形式统一，这使得分析和理解复杂信号变得容易。

2. 正交性：不同频率的正弦波彼此正交，意味着它们可以独立分析和处理。在数学上，这意味着它们可以相互独立地相加或相减，不会相互干扰。

3. 分析工具：在物理和工程问题中，许多系统对正弦波的响应特别容易分析。例如，在电子学中，通过分析系统对正弦波的响应，可以推断出系统对更复杂信号的响应。

4. 信号处理：在信号处理中，将信号分解为正弦波使我们能够过滤、放大或衰减特定的频率成分，从而改善信号的质量或提取有用信息。

5. 信息表示：在通信系统中，信息常常被编码在正弦波的不同属性（如振幅、频率、相位）中，分解信号为正弦波有助于解码这些信息。

因此，傅里叶分析通过将复杂信号分解为正弦波，提供了一种强大的方式来理解和处理这些信号。

参考资料

[1] https://tracholar.github.io/math/2017/03/12/fourier-transform.html；