【算法】最优贸易（反向建图）

题目

C 国有?n?个大城市和?m?条道路，每条道路连接这?n?个城市中的某两个城市。

任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。

这?m?条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为?1?条。

C?国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。

但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到?C?国旅游。

当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚一点旅费。

设?C?国?n?个城市的标号从?1～n，阿龙决定从?1?号城市出发，并最终在?n?号城市结束自己的旅行。

在旅游的过程中，任何城市可以被重复经过多次，但不要求经过所有?n?个城市。

阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。

因为阿龙主要是来?C?国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

现在给出?n?个城市的水晶球价格，m?条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。

请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

注意：本题数据有加强。

输入格式

第一行包含?2?个正整数?n?和?m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行?n?个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这?n?个城市的商品价格。

接下来?m?行，每行有?3?个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。

如果?z=1，表示这条道路是城市?x?到城市?y?之间的单向道路；如果?z=2，表示这条道路为城市?x?和城市?y?之间的双向道路。

输出格式

一个整数，表示答案。

数据范围

1 ≤ n ≤ 1e5
1 ≤ m ≤ 5e5
1≤各城市水晶球价格≤100

输入样例：

5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2

输出样例：

5

思路?

? i 的取值范围：1 <= i <= n

如上图所示，从点 1 出发 经过点 i 最终到达点 n ,正向建图寻找点1到点 i 之间的价值最小的物品，?然后从点 n 出发寻找点 n 到点 i 的最大价值的物品。

然后如下图：

?从点 1 开始保留点最大值输出。

代码?

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 100010, M = 2000010;

int n, m;
int dist1[N], dist2[N];

// 正反建图，传入头数组指针
int h1[N], h2[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int *h, int a, int b, int c = 0) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
// 每个节点的价值
int v[N];

void dijkstra1() {
    memset(dist1, 0x3f, sizeof dist1);
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
    dist1[1] = v[1];
    q.push({dist1[1], 1});

    while (q.size()) {
        int u = q.top().second;
        q.pop();

        for (int i = h1[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist1[j] > min(dist1[u], v[j])) {
                dist1[j] = min(dist1[u], v[j]);
                q.push({dist1[j], j});
            }
        }
    }
}

void dijkstra2() {
    memset(dist2, -0x3f, sizeof dist2);
    priority_queue<PII> q;
    dist2[n] = v[n];
    q.push({dist2[n], n});

    while (q.size()) {
        int u = q.top().second;
        q.pop();
        for (int i = h2[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist2[j] < max(dist2[u], v[j])) {
                dist2[j] = max(dist2[u], v[j]);
                q.push({dist2[j], j});
            }
        }
    }
}

int main() {
    // 正反两张图
    //  Q:为什么要反着建图，用正着的图不行吗？
    //  A:不行啊，因为从n向其它地方走，原来的有向图无法向对面走啊，反着建图就行了
    memset(h1, -1, sizeof h1);
    memset(h2, -1, sizeof h2);

    scanf("%d %d", &n, &m);                          // n个节点，m条边
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &v[i]); // 每个节点购买水晶球的金额

    while (m--) {
        int a, b, c;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
        // 不管是单向边，还是双向边，第一条a->b的边肯定跑不了吧

        if (c == 1) { // 单向边
            // 正向图保存单向边
            add(h1, a, b);
            // 反向图保存单向边
            add(h2, b, a);
            // 注意：这可不是在一个图中创建两条来回的边，而是在两个图中创建两个相反的边。
            // 权值呢？没有，为什么呢？因为我们不关心边权，而是关心此节点中水晶球的价格v[i]，这并不是边权,可以理解为点权
        } else { // 双向边
            // 正向图保存双向边
            add(h1, a, b), add(h1, b, a);
            // 反向图保存双向边
            add(h2, a, b), add(h2, b, a);
        }
    }
    // 正向图跑一遍dijkstra
    dijkstra1();
    // 反向图跑一遍dijkstra
    dijkstra2();

    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans = max(dist2[i] - dist1[i], ans);

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

?

难度：中等

时/空限制：1s / 64MB

总通过数：9946

总尝试数：19663

来源：《算法竞赛进阶指南》, NOIP2009提高组

算法标签 图论? SPFA

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