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??三维空间内的旋转可以由三维旋转向量 n θ \bm n \theta nθ 表示。其中，单位向量 n \bm n n 表示旋转轴， θ \theta θ 表示旋转角度。旋转向量由一个轴和一个角表示，因此又称轴角，它是李代数 s o ( 3 ) \frak {so}(3) so(3) 空间中的向量。
??我们使用 n ∧ \bm n^ \land n∧ 表示向量 n \bm n n 的反对称矩阵，则它的平方
n ∧ 2 = [ 0 ? n 3 n 2 n 3 0 ? n 1 ? n 2 n 1 0 ] [ 0 ? n 3 n 2 n 3 0 ? n 1 ? n 2 n 1 0 ] = [ ? n 2 2 ? n 3 2 n 1 n 2 n 1 n 3 n 1 n 2 ? n 1 2 ? n 3 2 n 2 n 3 n 1 n 3 n 2 n 3 ? n 1 2 ? n 2 2 ] \bm n^ {\land 2} = \begin{bmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -n_3 & n_2 \\ n_3 & 0 & -n_1 \\ -n_2 & n_1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -n_2^2 - n_3^2 & n_1n_2 & n_1n_3 \\ n_1n_2 & -n_1^2 - n_3^2 & n_2n_3 \\ n_1n_3 & n_2n_3 & -n_1^2 - n_2^2 \end{bmatrix} n∧2= ?0n3??n2???n3?0n1??n2??n1?0? ? ?0n3??n2???n3?0n1??n2??n1?0? ?= ??n22??n32?n1?n2?n1?n3??n1?n2??n12??n32?n2?n3??n1?n3?n2?n3??n12??n22?? ?
于是
I + n ∧ 2 = n n T (1) \bm I + \bm n^ {\land 2} = \bm n \bm n^{\rm T} \tag{1} I+n∧2=nnT(1)
??罗德里格斯公式用于根据旋转向量（即，轴角， s o ( 3 ) \frak {so}(3) so(3) 空间中的向量）求旋转矩阵。它有两种等价的表示形式：
R = { I + n ∧ 2 ( 1 ? c o s θ ) + n ∧ s i n θ I c o s θ + n n T ( 1 ? c o s θ ) + n ∧ s i n θ \bm R = \left\{\begin{aligned} & \bm I + \bm n^ {\land 2}(1 - cos\theta) + \bm n^ \land sin\theta \\ & \bm I cos\theta + \bm n \bm n^{\rm T} (1 - cos\theta) + \bm n^ \land sin\theta \end{aligned}\right. R={?I+n∧2(1?cosθ)+n∧sinθIcosθ+nnT(1?cosθ)+n∧sinθ?
使用公式 (1) 可以证明这两种形式等价。
??右雅可比矩阵也有两种等价的形式：
J r = { I + n ∧ 2 ( 1 ? s i n θ θ ) ? n ∧ 1 ? c o s θ θ I s i n θ θ + n n T ( 1 ? s i n θ θ ) ? n ∧ 1 ? c o s θ θ \bm J_r = \left\{\begin{aligned} & \bm I + \bm n^ {\land 2} (1 - \frac{sin\theta}{\theta}) - \bm n^ \land \frac{1 - cos\theta}{\theta} \\ & \bm I \frac{sin\theta}{\theta} + \bm n \bm n^{\rm T} (1 - \frac{sin\theta}{\theta}) - \bm n^ \land \frac{1 - cos\theta}{\theta} \end{aligned}\right. Jr?=? ? ???I+n∧2(1?θsinθ?)?n∧θ1?cosθ?Iθsinθ?+nnT(1?θsinθ?)?n∧θ1?cosθ??
使用公式 (1) 可以证明这两种形式等价。以 ? θ -\theta ?θ 替换 θ \theta θ 即可得到左雅可比矩阵。