【算法基础 & 数学】欧拉函数

题目描述

给定 $n$ 个正整数 $a_i$，请你求出每个数的欧拉函数。

输入格式

第一行包含整数 $n$ 。

接下来 $n$ 行，每行包含一个正整数 $a_i$。

输出格式

输出共$n$行，每行输出一个正整数$a_i$ 的欧拉函数。

数据范围

$1\le n\le 100$,
$1\le a_i\le 2\times 10^9$

样例

输入样例：

3
3
6
8

输出样例：

2
2
4

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定义

$\phi (n)$: $1$~$n$中与$n$互质的数的个数

求法

若一个数$N$可以分解质因子$N=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}...p_m^{{\alpha }_m}$
则$\phi (N)=N\times \frac{p_1?1}{p_1}\times \frac{p_2?1}{p_2}\times ...\times \frac{p_m?1}{p_m}$

推导过程（利用容斥原理）

利用分解后的质因子

1. 从1~n中去掉$p_1,p_2，...，p_k$的所有的倍数

$res=N?\frac{N}{p_1}?\frac{N}{p_2}?...$

2. 加上所有$p_i\times p_j$的倍数（公共的倍数在前面被减了两次）

$res+=\frac{N}{p_1{p}_2}+\frac{N}{p_1{p}_3}...$

3. 减去所有$p_i\times p_j\times p_k$的倍数

$res?=\frac{N}{p_1{p}_2{p}_3}?...$

显然，将上面的公式展开后就是容斥原理的式子

时间复杂度

每个数的判断复杂度为$O(\sqrt{n})$
一共100个数据，最坏情况下达到$10^6$

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代码

#include<iostream>
using namespace std;

int phi(int x){
    int res = x;
    for(int i = 2; i <= x / i; i++){
        if(x % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while(x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if(x > 1) res = res / x * (x - 1);
    
    return res;
}

int main(){
    int n;
    cin >> n;
    while(n--){
        int x;
        cin >> x;
        cout << phi(x) << endl;
    }
    
    return 0;
}