力扣 | 509. Fibonacci

509. 斐波那契数

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。
该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给你 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：
输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：
输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：
输入：4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
 
提示：
0 <= n <= 30

最原始的递归解法：Fibonacci1

   public int fib(int n) {//用这道题目去理解动态规划
        return dfs(n);
    }
    // 时间复杂度：O(2^n)
    private int dfs(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;

        int leftFib = dfs(n - 1);
        int rightFib = dfs(n - 2);

        return leftFib + rightFib;
    }
}

利用Map存下已经计算出来的值，消除重复计算。Fibonacci2

public class Fibonacci2 {
    private Map<Integer, Integer> map;
    public int fib(int n) {
        map = new HashMap<>();
        return dfs(n);
    }
    // 时间复杂度：O(n)
    private int dfs(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;
        // 先从 Map 中检索子问题的解
        // 如果已经计算，则直接返回即可
        if (map.containsKey(n)) {
            return map.get(n);
        }
        int leftFib = dfs(n - 1);
        int rightFib = dfs(n - 2);
        // 将计算好的结果放入到 Map 中，编译后续检索
        map.put(n, leftFib + rightFib);

        return leftFib + rightFib;
    }
}

如果对空间复杂度要求更高，就可以用数组。Fibonacci3

public class Fibonacci3 {
    public int fib(int n) {
        int[] memo = new int[n + 1];//上一个代码的key不会超过n,所以考虑数组方式，因为是求的dfs(n) ,索引为n就是数组长度为 n + 1
        /*
        * 数组比map要好一些，map的空间复杂度要比数组更大，而且会有hash冲突。对空间要求高就用数组
        */
        Arrays.fill(memo, -1);
        return dfs(n, memo);
    }
    // 时间复杂度：O(n)
    private int dfs(int n, int[] memo) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;

        if (memo[n] != -1) {
            return memo[n];
        }
        int leftFib = dfs(n - 1, memo);
        int rightFib = dfs(n - 2, memo);

        memo[n] = leftFib + rightFib;

        return leftFib + rightFib;
    }
}

状态转移：Fibonacci4

//动态规划包含这四个步骤
public class Fibonacci4 {
    public int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        // 1. 定义数组，arr[i] 表示的是数字 i 的斐波那契数
        int[] arr = new int[n + 1];

        // 2. 初始化数组元素
        arr[0] = 0;
        arr[1] = 1;

        // 3. 计算数组的元素
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
        }

        // 4. 返回最终结果
        return arr[n];
    }

}

引出动态规划：Fibonacci5

public class Fibonacci5 {
    // 动态规划的四个步骤
    public int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        // 1. 定义状态数组，dp[i] 表示的是数字 i 的斐波那契数
        int[] dp = new int[n + 1];

        // 2. 状态初始化
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;

        // 3. 状态转移
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }

        // 4. 返回最终需要的状态值
        return dp[n];
    }

}

状态空间压缩：Fibonacci6

public class Fibonacci6 {  //最终面试官想要的答案  空间复杂度O(1) 时间复杂度O(n)
    // 状态数组空间压缩
    public int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        // 只存储前两个状态
        int prev = 0;
        int curr = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int sum = prev + curr;
            prev = curr;
            curr = sum;
        }
        return curr;
    }

}