代码随想录算法训练DAY21|二叉树7

算法训练DAY21|二叉树7

530.二叉搜索树的最小绝对差

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给你一棵所有节点为非负值的二叉搜索树，请你计算树中任意两节点的差的绝对值的最小值。

示例：

提示：树中至少有 2 个节点。

思路

题目中要求在二叉搜索树上任意两节点的差的绝对值的最小值。

注意是二叉搜索树，二叉搜索树可是有序的。

遇到在二叉搜索树上求什么最值啊，差值之类的，就把它想成在一个有序数组上求最值，求差值，这样就简单多了。

#递归

那么二叉搜索树采用中序遍历，其实就是一个有序数组。

在一个有序数组上求两个数最小差值，这是不是就是一道送分题了。

最直观的想法，就是把二叉搜索树转换成有序数组，然后遍历一遍数组，就统计出来最小差值了。

代码如下：

class Solution {
private:
vector<int> vec;
void traversal(TreeNode* root) {
 ? ?if (root == NULL) return;
 ? ?traversal(root->left);
 ? ?vec.push_back(root->val); // 将二叉搜索树转换为有序数组
 ? ?traversal(root->right);
}
public:
 ? ?int getMinimumDifference(TreeNode* root) {
 ? ? ? ?vec.clear();
 ? ? ? ?traversal(root);
 ? ? ? ?if (vec.size() < 2) return 0;
 ? ? ? ?int result = INT_MAX;
 ? ? ? ?for (int i = 1; i < vec.size(); i++) { // 统计有序数组的最小差值
 ? ? ? ? ? ?result = min(result, vec[i] - vec[i-1]);
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?return result;
 ?  }
};

以上代码是把二叉搜索树转化为有序数组了，其实在二叉搜素树中序遍历的过程中，我们就可以直接计算了。

需要用一个pre节点记录一下cur节点的前一个节点。

如图：

一些同学不知道在递归中如何记录前一个节点的指针，其实实现起来是很简单的，大家只要看过一次，写过一次，就掌握了。

代码如下：

class Solution {
private:
int result = INT_MAX;
TreeNode* pre = NULL;
void traversal(TreeNode* cur) {
 ? ?if (cur == NULL) return;
 ? ?traversal(cur->left); ? // 左
 ? ?if (pre != NULL){ ? ? ? // 中
 ? ? ? ?result = min(result, cur->val - pre->val);
 ?  }
 ? ?pre = cur; // 记录前一个
 ? ?traversal(cur->right); ?// 右
}
public:
 ? ?int getMinimumDifference(TreeNode* root) {
 ? ? ? ?traversal(root);
 ? ? ? ?return result;
 ?  }
};

#迭代

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501.二叉搜索树中的众数

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给定一个有相同值的二叉搜索树（BST），找出 BST 中的所有众数（出现频率最高的元素）。

假定 BST 有如下定义：

• 结点左子树中所含结点的值小于等于当前结点的值

• 结点右子树中所含结点的值大于等于当前结点的值

• 左子树和右子树都是二叉搜索树

例如：

给定 BST [1,null,2,2],

返回[2].

提示：如果众数超过1个，不需考虑输出顺序

进阶：你可以不使用额外的空间吗？（假设由递归产生的隐式调用栈的开销不被计算在内）

思路

这道题目呢，递归法我从两个维度来讲。

首先如果不是二叉搜索树的话，应该怎么解题，是二叉搜索树，又应该如何解题，两种方式做一个比较，可以加深大家对二叉树的理解。

#递归法

#如果不是二叉搜索树

如果不是二叉搜索树，最直观的方法一定是把这个树都遍历了，用map统计频率，把频率排个序，最后取前面高频的元素的集合。

具体步骤如下：

1. 这个树都遍历了，用map统计频率

至于用前中后序哪种遍历也不重要，因为就是要全遍历一遍，怎么个遍历法都行，层序遍历都没毛病！

这里采用前序遍历，代码如下：

// map<int, int> key:元素，value:出现频率
void searchBST(TreeNode* cur, unordered_map<int, int>& map) { // 前序遍历
 ? ?if (cur == NULL) return ;
 ? ?map[cur->val]++; // 统计元素频率
 ? ?searchBST(cur->left, map);
 ? ?searchBST(cur->right, map);
 ? ?return ;
}

1. 把统计的出来的出现频率（即map中的value）排个序

有的同学可能可以想直接对map中的value排序，还真做不到，C++中如果使用std::map或者std::multimap可以对key排序，但不能对value排序。

所以要把map转化数组即vector，再进行排序，当然vector里面放的也是pair<int, int>类型的数据，第一个int为元素，第二个int为出现频率。

代码如下：

bool static cmp (const pair<int, int>& a, const pair<int, int>& b) {
 ? ?return a.second > b.second; // 按照频率从大到小排序
}
?
vector<pair<int, int>> vec(map.begin(), map.end());
sort(vec.begin(), vec.end(), cmp); // 给频率排个序

1. 取前面高频的元素

此时数组vector中已经是存放着按照频率排好序的pair，那么把前面高频的元素取出来就可以了。

代码如下：

result.push_back(vec[0].first);
for (int i = 1; i < vec.size(); i++) {
 ? ?// 取最高的放到result数组中
 ? ?if (vec[i].second == vec[0].second) result.push_back(vec[i].first);
 ? ?else break;
}
return result;

整体C++代码如下：

class Solution {
private:
?
void searchBST(TreeNode* cur, unordered_map<int, int>& map) { // 前序遍历
 ? ?if (cur == NULL) return ;
 ? ?map[cur->val]++; // 统计元素频率
 ? ?searchBST(cur->left, map);
 ? ?searchBST(cur->right, map);
 ? ?return ;
}
bool static cmp (const pair<int, int>& a, const pair<int, int>& b) {
 ? ?return a.second > b.second;
}
public:
 ? ?vector<int> findMode(TreeNode* root) {
 ? ? ? ?unordered_map<int, int> map; // key:元素，value:出现频率
 ? ? ? ?vector<int> result;
 ? ? ? ?if (root == NULL) return result;
 ? ? ? ?searchBST(root, map);
 ? ? ? ?vector<pair<int, int>> vec(map.begin(), map.end());
 ? ? ? ?sort(vec.begin(), vec.end(), cmp); // 给频率排个序
 ? ? ? ?result.push_back(vec[0].first);
 ? ? ? ?for (int i = 1; i < vec.size(); i++) {
 ? ? ? ? ? ?// 取最高的放到result数组中
 ? ? ? ? ? ?if (vec[i].second == vec[0].second) result.push_back(vec[i].first);
 ? ? ? ? ? ?else break;
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?return result;
 ?  }
};

所以如果本题没有说是二叉搜索树的话，那么就按照上面的思路写！

#是二叉搜索树

既然是搜索树，它中序遍历就是有序的。

如图：

中序遍历代码如下：

void searchBST(TreeNode* cur) {
 ? ?if (cur == NULL) return ;
 ? ?searchBST(cur->left); ? ? ? // 左
 ? ?（处理节点） ? ? ? ? ? ? ? ?// 中
 ? ?searchBST(cur->right); ? ? ?// 右
 ? ?return ;
}

遍历有序数组的元素出现频率，从头遍历，那么一定是相邻两个元素作比较，然后就把出现频率最高的元素输出就可以了。

关键是在有序数组上的话，好搞，在树上怎么搞呢？

这就考察对树的操作了。

在二叉树：搜索树的最小绝对差 (opens new window)中我们就使用了pre指针和cur指针的技巧，这次又用上了。

弄一个指针指向前一个节点，这样每次cur（当前节点）才能和pre（前一个节点）作比较。

而且初始化的时候pre = NULL，这样当pre为NULL时候，我们就知道这是比较的第一个元素。

代码如下：

if (pre == NULL) { // 第一个节点
 ? ?count = 1; // 频率为1
} else if (pre->val == cur->val) { // 与前一个节点数值相同
 ? ?count++;
} else { // 与前一个节点数值不同
 ? ?count = 1;
}
pre = cur; // 更新上一个节点

此时又有问题了，因为要求最大频率的元素集合（注意是集合，不是一个元素，可以有多个众数），如果是数组上大家一般怎么办？

应该是先遍历一遍数组，找出最大频率（maxCount），然后再重新遍历一遍数组把出现频率为maxCount的元素放进集合。（因为众数有多个）

这种方式遍历了两遍数组。

那么我们遍历两遍二叉搜索树，把众数集合算出来也是可以的。

但这里其实只需要遍历一次就可以找到所有的众数。

那么如何只遍历一遍呢？

如果 频率count 等于 maxCount（最大频率），当然要把这个元素加入到结果集中（以下代码为result数组），代码如下：

if (count == maxCount) { // 如果和最大值相同，放进result中
 ? ?result.push_back(cur->val);
}

是不是感觉这里有问题，result怎么能轻易就把元素放进去了呢，万一，这个maxCount此时还不是真正最大频率呢。

所以下面要做如下操作：

频率count 大于 maxCount的时候，不仅要更新maxCount，而且要清空结果集（以下代码为result数组），因为结果集之前的元素都失效了。

if (count > maxCount) { // 如果计数大于最大值
 ? ?maxCount = count; ? // 更新最大频率
 ? ?result.clear(); ? ? // 很关键的一步，不要忘记清空result，之前result里的元素都失效了
 ? ?result.push_back(cur->val);
}

关键代码都讲完了，完整代码如下：（只需要遍历一遍二叉搜索树，就求出了众数的集合）

class Solution {
private:
 ? ?int maxCount = 0; // 最大频率
 ? ?int count = 0; // 统计频率
 ? ?TreeNode* pre = NULL;
 ? ?vector<int> result;
 ? ?void searchBST(TreeNode* cur) {
 ? ? ? ?if (cur == NULL) return ;
?
 ? ? ? ?searchBST(cur->left); ? ? ? // 左
 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?// 中
 ? ? ? ?if (pre == NULL) { // 第一个节点
 ? ? ? ? ? ?count = 1;
 ? ? ?  } else if (pre->val == cur->val) { // 与前一个节点数值相同
 ? ? ? ? ? ?count++;
 ? ? ?  } else { // 与前一个节点数值不同
 ? ? ? ? ? ?count = 1;
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?pre = cur; // 更新上一个节点
?
 ? ? ? ?if (count == maxCount) { // 如果和最大值相同，放进result中
 ? ? ? ? ? ?result.push_back(cur->val);
 ? ? ?  }
?
 ? ? ? ?if (count > maxCount) { // 如果计数大于最大值频率
 ? ? ? ? ? ?maxCount = count; ? // 更新最大频率
 ? ? ? ? ? ?result.clear(); ? ? // 很关键的一步，不要忘记清空result，之前result里的元素都失效了
 ? ? ? ? ? ?result.push_back(cur->val);
 ? ? ?  }
?
 ? ? ? ?searchBST(cur->right); ? ? ?// 右
 ? ? ? ?return ;
 ?  }
?
public:
 ? ?vector<int> findMode(TreeNode* root) {
 ? ? ? ?count = 0;
 ? ? ? ?maxCount = 0;
 ? ? ? ?pre = NULL; // 记录前一个节点
 ? ? ? ?result.clear();
?
 ? ? ? ?searchBST(root);
 ? ? ? ?return result;
 ?  }
};

#迭代法

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236. 二叉树的最近公共祖先

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给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉树: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4]

示例 1: 输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1 输出: 3 解释: 节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3。

示例 2: 输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4 输出: 5 解释: 节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

说明:

• 所有节点的值都是唯一的。

• p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉树中。

首先最容易想到的一个情况：如果找到一个节点，发现左子树出现结点p，右子树出现节点q，或者 左子树出现结点q，右子树出现节点p，那么该节点就是节点p和q的最近公共祖先。 即情况一：

判断逻辑是 如果递归遍历遇到q，就将q返回，遇到p 就将p返回，那么如果 左右子树的返回值都不为空，说明此时的中节点，一定是q 和p 的最近祖先。

那么有录友可能疑惑，会不会左子树 遇到q 返回，右子树也遇到q返回，这样并没有找到 q 和p的最近祖先。

这么想的录友，要审题了，题目强调：二叉树节点数值是不重复的，而且一定存在 q 和 p。

但是很多人容易忽略一个情况，就是节点本身p(q)，它拥有一个子孙节点q(p)。 情况二：

其实情况一 和 情况二 代码实现过程都是一样的，也可以说，实现情况一的逻辑，顺便包含了情况二。

因为遇到 q 或者 p 就返回，这样也包含了 q 或者 p 本身就是 公共祖先的情况。

这一点是很多录友容易忽略的，在下面的代码讲解中，可以再去体会。

递归三部曲：

• 确定递归函数返回值以及参数

需要递归函数返回值，来告诉我们是否找到节点q或者p，那么返回值为bool类型就可以了。

但我们还要返回最近公共节点，可以利用上题目中返回值是TreeNode * ，那么如果遇到p或者q，就把q或者p返回，返回值不为空，就说明找到了q或者p。

代码如下：

TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q)

• 确定终止条件

遇到空的话，因为树都是空了，所以返回空。

那么我们来说一说，如果 root == q，或者 root == p，说明找到 q p ，则将其返回，这个返回值，后面在中节点的处理过程中会用到，那么中节点的处理逻辑，下面讲解。

代码如下：

if (root == q || root == p || root == NULL) return root;

• 确定单层递归逻辑

值得注意的是 本题函数有返回值，是因为回溯的过程需要递归函数的返回值做判断，但本题我们依然要遍历树的所有节点。

我们在二叉树：递归函数究竟什么时候需要返回值，什么时候不要返回值？ (opens new window)中说了 递归函数有返回值就是要遍历某一条边，但有返回值也要看如何处理返回值！

如果递归函数有返回值，如何区分要搜索一条边，还是搜索整个树呢？

搜索一条边的写法：

if (递归函数(root->left)) return ;
?
if (递归函数(root->right)) return ;

搜索整个树写法：

left = 递归函数(root->left); ?// 左
right = 递归函数(root->right); // 右
left与right的逻辑处理; ? ? ? ? // 中 

看出区别了没？

在递归函数有返回值的情况下：如果要搜索一条边，递归函数返回值不为空的时候，立刻返回，如果搜索整个树，直接用一个变量left、right接住返回值，这个left、right后序还有逻辑处理的需要，也就是后序遍历中处理中间节点的逻辑（也是回溯）。

那么为什么要遍历整棵树呢？直观上来看，找到最近公共祖先，直接一路返回就可以了。

如图：

就像图中一样直接返回7。

但事实上还要遍历根节点右子树（即使此时已经找到了目标节点了），也就是图中的节点4、15、20。

因为在如下代码的后序遍历中，如果想利用left和right做逻辑处理， 不能立刻返回，而是要等left与right逻辑处理完之后才能返回。

left = 递归函数(root->left); ?// 左
right = 递归函数(root->right); // 右
left与right的逻辑处理; ? ? ? ? // 中 

所以此时大家要知道我们要遍历整棵树。知道这一点，对本题就有一定深度的理解了。

那么先用left和right接住左子树和右子树的返回值，代码如下：

TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);

如果left 和 right都不为空，说明此时root就是最近公共节点。这个比较好理解

如果left为空，right不为空，就返回right，说明目标节点是通过right返回的，反之依然。

这里有的同学就理解不了了，为什么left为空，right不为空，目标节点通过right返回呢？

如图：

图中节点10的左子树返回null，右子树返回目标值7，那么此时节点10的处理逻辑就是把右子树的返回值（最近公共祖先7）返回上去！

这里也很重要，可能刷过这道题目的同学，都不清楚结果究竟是如何从底层一层一层传到头结点的。

那么如果left和right都为空，则返回left或者right都是可以的，也就是返回空。

代码如下：

if (left == NULL && right != NULL) return right;
else if (left != NULL && right == NULL) return left;
else  { //  (left == NULL && right == NULL)
 ? ?return NULL;
}

那么寻找最小公共祖先，完整流程图如下：

从图中，大家可以看到，我们是如何回溯遍历整棵二叉树，将结果返回给头结点的！

整体代码如下：

class Solution {
public:
 ? ?TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
 ? ? ? ?if (root == q || root == p || root == NULL) return root;
 ? ? ? ?TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
 ? ? ? ?TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
 ? ? ? ?if (left != NULL && right != NULL) return root;
?
 ? ? ? ?if (left == NULL && right != NULL) return right;
 ? ? ? ?else if (left != NULL && right == NULL) return left;
 ? ? ? ?else  { //  (left == NULL && right == NULL)
 ? ? ? ? ? ?return NULL;
 ? ? ?  }
?
 ?  }
};

稍加精简，代码如下：

class Solution {
public:
 ? ?TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
 ? ? ? ?if (root == q || root == p || root == NULL) return root;
 ? ? ? ?TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
 ? ? ? ?TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
 ? ? ? ?if (left != NULL && right != NULL) return root;
 ? ? ? ?if (left == NULL) return right;
 ? ? ? ?return left;
 ?  }
};

#总结

这道题目刷过的同学未必真正了解这里面回溯的过程，以及结果是如何一层一层传上去的。

那么我给大家归纳如下三点：

1. 求最小公共祖先，需要从底向上遍历，那么二叉树，只能通过后序遍历（即：回溯）实现从底向上的遍历方式。

2. 在回溯的过程中，必然要遍历整棵二叉树，即使已经找到结果了，依然要把其他节点遍历完，因为要使用递归函数的返回值（也就是代码中的left和right）做逻辑判断。

3. 要理解如果返回值left为空，right不为空为什么要返回right，为什么可以用返回right传给上一层结果。

可以说这里每一步，都是有难度的，都需要对二叉树，递归和回溯有一定的理解。