【算法专题】动态规划之路径问题

动态规划 - - - 路径问题

1. 不同路径

题目链接 -> Leetcode -62.不同路径

Leetcode -62.不同路径

题目：一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右->向下->向下
2. 向下->向下->向右
3. 向下->向右->向下

示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

思路：

1. 状态表示：对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示一般有两种形式：
   i. 从 [i, j] 位置出发，…；
   ii. 从起始位置出发，到达 [i, j] 位置，…；
   我们选择第二种定义状态表示的方式：dp[i][j] 表示：走到 [i, j] 位置处，一共有多少种方式。
2. 状态转移方程：分析一下，如果 dp[i][j] 表示到达 [i, j] 位置的方法数，那么到达 [i, j] 位置之前的一小步，有两种情况：
   i. 从 [i, j] 位置的上方（ [i - 1, j] 的位置）向下走一步，转移到 [i, j] 位置；
   ii. 从 [i, j] 位置的左方（ [i, j - 1] 的位置）向右走一步，转移到 [i, j] 位置。
   由于我们要求的是有多少种方法，因此状态转移方程就呼之欲出了： dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 。
3. 返回值：根据状态表示，我们要返回 dp[m][n] 的值。

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int uniquePaths(int m, int n)
		    {
		        // 多开一行一列，可以直接在循环内初始化
		        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
		        dp[0][1] = 1;  // 为了后面填表的正确
		
		        // dp[i][j] 表示：?到 [i, j] 位置处，?共有多少种方式
		        for (int i = 1; i <= m; i++)
		        {
		            for (int j = 1; j <= n; j++)
		            {
		                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
		            }
		        }
		        return dp[m][n];
		    }
		};

2. 不同路径Ⅱ

题目链接 -> Leetcode -63.不同路径Ⅱ

Leetcode -63.不同路径Ⅱ

题目：一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：

1. 向右->向右->向下->向下
2. 向下->向下->向右->向右

示例 2：
输入：obstacleGrid = [[0, 1], [0, 0]]
输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

思路：本题为不同路径的变型，只不过有些地方有「障碍物」，只要在「状态转移」上稍加修改就可解决。

1. 状态表示：dp[i][j] 表示：走到 [i, j] 位置处，一共有多少种方式。
2. 状态转移：简单分析一下。如果 dp[i][j] 表示到达 [i, j] 位置的方法数，那么到达 [i, j] 位置之前的一小步，有两种情况：
   i. 从 [i, j] 位置的上方（ [i - 1, j] 的位置）向下走一步，转移到 [i, j] 位置；
   ii. 从 [i, j] 位置的左方（ [i, j - 1] 的位置）向右走一步，转移到 [i, j] 位置。
   但是， [i - 1, j] 与 [i, j - 1] 位置都是可能有障碍的，此时从上面或者左边是不可能到达 [i, j] 位置的，也就是说，此时的方法数应该是 0；由此我们可以得出一个结论，只要这个位置上「有障碍物」，那么我们就不需要计算这个位置上的值，直接让它等于 0 即可。
3. 返回值：根据状态表示，我们要返回的结果是 dp[m][n].

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid)
		    {
		        int m = obstacleGrid.size(), n = obstacleGrid[0].size();
		
		        // 多开一行一列方便初始化
		        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
		        dp[0][1] = 1; // 为了后面填表的正确
		
		        // dp[i][j] 表示：?到 [i, j] 位置处，?共有多少种方式
		        for (int i = 1; i <= m; i++)
		        {
		            for (int j = 1; j <= n; j++)
		            {
		                // 原矩阵中的位置不是障碍物
		                if (obstacleGrid[i - 1][j - 1] != 1)
		                {
		                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
		                }
		            }
		        }
		        return dp[m][n];
		    }
		};

3. 珠宝的最高价值

题目链接 -> Leetcode -LCR 166.珠宝的最高价值

Leetcode -LCR 166.珠宝的最高价值

题目：现有一个记作二维矩阵 frame 的珠宝架，其中 frame[i][j] 为该位置珠宝的价值。拿取珠宝的规则为：

只能从架子的左上角开始拿珠宝
每次可以移动到右侧或下侧的相邻位置
到达珠宝架子的右下角时，停止拿取
注意：珠宝的价值都是大于 0 的。除非这个架子上没有任何珠宝，比如 frame = [[0]] 。

示例 1:
输入: frame = [[1, 3, 1], [1, 5, 1], [4, 2, 1]]
输出 : 12
解释 : 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最高价值的珠宝

提示：

• 0 < frame.length <= 200
• 0 < frame[0].length <= 200

思路：本题的思路与上题的思路差不多，状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j] .

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int maxValue(vector<vector<int>>& grid)
		    {
		        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
		
		        // 多开一行一列方便初始化
		        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
		
		        // dp[i][j] 表示：?到 [i, j] 位置处，此时的最大价值
		        for (int i = 1; i <= m; i++)
		        {
		            for (int j = 1; j <= n; j++)
		            {
		                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
		            }
		        }
		
		        return dp[m][n];
		    }
		};

4. 下降路径最小和

题目链接 -> Leetcode -931.下降路径最小和

Leetcode -931.下降路径最小和

题目：给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。
在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。
具体来说，位置(row, col) 的下一个元素应当是(row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者(row + 1, col + 1) 。

示例 1：
输入：matrix = [[2, 1, 3], [6, 5, 4], [7, 8, 9]]
输出：13
解释：如图所示，为和最小的两条下降路径

示例 2：
输入：matrix = [[-19, 57], [-40, -5]]
输出： - 59
解释：如图所示，为和最小的下降路径

提示：

• n == matrix.length == matrix[i].length
• 1 <= n <= 100
• 100 <= matrix[i][j] <= 100

思路：

1. 状态表示：dp[i][j] 表示：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最小和。
2. 状态转移方程：对于普遍位置 [i, j] ，根据题意得，到达 [i, j] 位置可能有三种情况：
   i. 从正上方 [i - 1, j] 位置转移到 [i, j] 位置；
   ii. 从左上方 [i - 1, j - 1] 位置转移到 [i, j] 位置；
   iii. 从右上方 [i - 1, j + 1] 位置转移到 [i, j] 位置；
   我们要的是三种情况下的「最小值」，然后再加上矩阵在 [i, j] 位置的值。
   于是 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i][j] 。
3. 返回值：注意这里不是返回 dp[m][n] 的值；题目要求「只要到达最后一行」就行了，因此这里应该返回「 dp 表中最后一行的最小值」。

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix)
		    {
		        int len = matrix.size();
		
		        // 多开一行，两列，因为dp[i][j]的值需要用到dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j + 1]
		        vector<vector<int>> dp(len + 1, vector<int>(len + 2, INT_MAX));
		
		        // 初始化，为了后面填表的正确性
		        for (int i = 0; i <= len; i++) dp[0][i] = 0;
		
		        // dp[i][j] 表示：到达 [i, j] 位置时，所有下降路径中的最小和
		        for (int i = 1; i <= len; i++)
		        {
		            for (int j = 1; j <= len; j++)
		            {
		                dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]), dp[i - 1][j + 1]) + matrix[i - 1][j - 1];
		            }
		        }
		
		        // 返回最后一行的最小值
		        int ret = INT_MAX;
		        for (int j = 0; j <= len; j++) ret = min(ret, dp[len][j]);
		        return ret;
		    }
		};

5. 最小路径和

题目链接 -> Leetcode -64.最小路径和

Leetcode -64.最小路径和

题目：给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 1：
输入：grid = [[1, 3, 1], [1, 5, 1], [4, 2, 1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：
输入：grid = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
输出：12

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 200

思路：

1. 状态表示：dp[i][j] 表示：到达 [i, j] 位置处，最小路径和是多少
2. 状态转移：分析一下，如果 dp[i][j] 表示到达 [i, j] 位置处的最小路径和，那么到达[i, j] 位置之前的一小步，有两种情况：
   i. 从 [i - 1, j] 向下走一步，转移到 [i, j] 位置；
   ii. 从 [i, j - 1] 向右走一步，转移到 [i, j] 位置。
   由于到 [i, j] 位置两种情况，并且我们要找的是最小路径，因此只需要这两种情况下的最小值，再加上 [i, j] 位置上本身的值即可。也就是： dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]
3. 返回值：根据状态表示，我们要返回的结果是 dp[m][n].

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid)
		    {
		        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
		
		        // dp[i][j] 表示：到达 [i, j] 位置处，最小路径和是多少
		        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
		
		        dp[0][1] = 0;
		        for (int i = 1; i <= m; i++)
		        {
		            for (int j = 1; j <= n; j++)
		            {
		                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
		            }
		        }
		
		        return dp[m][n];
		    }
		};

6. 地下城游戏

题目链接 -> Leetcode -174.地下城游戏

Leetcode -174.地下城游戏

题目：恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。
我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；
其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。
为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。
返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。
注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

示例 1：
输入：dungeon = [[-2, -3, 3], [-5, -10, 1], [10, 30, -5]]
输出：7
解释：如果骑士遵循最佳路径：右->右->下->下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

示例 2：
输入：dungeon = [[0]]
输出：1

提示：

• m == dungeon.length
• n == dungeon[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 1000 <= dungeon[i][j] <= 1000

思路：

1. 状态表示：这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。那么我们分析状态转移的时候会有一个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后面的路径的影响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。
   这个时候我们要换一种状态表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。综上所述，定义状态表示为：dp[i][j] 表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。
2. 状态转移方程：对于 dp[i][j] ，从 [i, j] 位置出发，下一步会有两种选择（为了方便理解，设 dp[i][j] 的最终答案是 x ）：
   i. 走到右边，然后走向终点；那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这一个位置的消耗，应该要大于等于右边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1] ；通过移项可得： x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小
   值，因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] ；
   ii. 走到下边，然后走向终点；那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这?个位置的消耗，应该要大于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j] 。通过移项可得： x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] ；

• 综上所述，我们需要的是两种情况下的最小值，因此可得状态转移方程为：dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]

但是，如果当前位置的 dungeon[i][j] 是一个比较大的正数的话， dp[i][j] 的值可能变成 0 或者负数。也就是最低点数会小于 1 ，那么骑士就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j] 如果小于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j] 与 1 取一个最大值即可：dp[i][j] = max(1, dp[i][j])

3. 初始化：可以在最前面加上一个「辅助结点」，帮助我们初始化。使用这种技巧要注意两个点：
   i. 辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」；
   ii. 「下标的映射关系」。
   在本题中，在 dp 表最后面添加一行，并且添加一列后，所有的值都先初始化为无穷大，然后让 dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。

4. 返回值：根据「状态表示」，我们需要返回 dp[0][0] 的值。

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon)
		    {
		        int m = dungeon.size(), n = dungeon[0].size();
		        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
		        dp[m][n - 1] = 1;
		
		        // 从右下角往回推
		        for (int i = m - 1; i >= 0; i--)
		        {
		            for (int j = n - 1; j >= 0; j--)
		            {
		                dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j];
		
		                // 如果减到负数，说明这里的血包很大，即使是负数到这里都可以，但是这是不符合常理的
		                // 所以需要将这里置成 1 即可
		                if (dp[i][j] <= 0) dp[i][j] = 1;    
		            }
		        }
		
		        // 返回最初位置
		        return dp[0][0];
		    }
		};