【C++进阶06】红黑树图文详解及C++模拟实现红黑树

发布时间:2024年01月12日

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一、红黑树的概念及性质

1.1 红黑树的概念

AVL树用平衡因子让树达到高度平衡
红黑树可以认为是AVL树的改良
通过给每个节点标记颜色让树接近平衡
以减少树在插入节点的旋转
在每个结点新增一个存储位表示结点颜色
可以是Red或Black
通过对任何一条从根到叶子的路径上
各个结点着色方式的限制
红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出
俩倍,因而是接近平衡的

1.2 红黑树的性质

  1. 每个结点不是红色就是黑色
  2. 根节点是黑色的
  3. 如果一个节点是红色的
    则它的两个孩子结点是黑色的
  4. 对于每个结点
    从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上
    均包含相同数目的黑色结点
  5. 每个叶子结点都是黑色的
    (此处的叶子结点指的是空结点)

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为啥满足上面性质的红黑树就能保证
其最长路径节点个数不会超过最短路径
节点个数的两倍?

由性质3可得出不能出现连续红色节点
由性质4可得出每条路径有相同黑色节点数量

极限情况下
最短路径:全黑
最长路径:一黑一红

由此可得出
最长路径不会超过最短路径的两倍
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1.3 为什么更常用红黑树而不是AVL树?

AVL树: 是一颗高度平衡的二叉树
查找效率: O ( l o g N ) O(logN) O(logN)
但是这样的效率是在插入元素时
经常性的旋转换来的

红黑树: 是一颗接近平衡的二叉树
假设全部黑节点有N个
整棵树的节点数量:[N, 2N]之间
最短路径长度: O ( l o g N ) O(logN) O(logN)
最长路径长度: O ( 2 l o g N ) O(2logN) O(2logN)
查找效率: O ( 2 l o g N ) O(2logN) O(2logN)

10亿数据AVL树最多查找30次
红黑树最多也就查找60次
对于cpu的运行速度来说几乎可以忽略不计
但红黑树的规则相对于AVL树没那么严格
在插入元素时,不会经常旋转
所以综合而言红黑树更胜一筹

如图: 对于AVL树必定旋转
红黑树则不用
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二、红黑树模拟实现的基本框架

2.1 红黑树节点的定义

跟AVL树一样
只是AVL树采用平衡因子
让树达到平衡
而红黑树对节点进行颜色标记
让树达到平衡
定义一个枚举表示节点颜色

enum colour
{
	RED,
	BLACK,
};

template <class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent; // 三叉链
	pair<K, V> _kv;
	colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		: _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _col(RED)
	{}
};

template <class K, class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.2 红黑树的插入

还是和AVL树一样

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first) // 插入节点比当前节点大往右走, 小往左走
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		// 链接
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}

		// new的节点的parent还指向空
		cur->_parent = parent;

		// 插入黑色节点还是红色节点?

		return true;
	}

插入走到这里如果是AVL树
此时需要更新平衡因子

红黑树采用的是标记节点颜色
让树达到平衡
需要考虑的是插入什么颜色的节点?

  1. 插入黑色节点
    会违反规则4,影响到每条路径
  2. 插入红色节点
    如果插入节点的父节点也是红色节点
    则会违反规则3影响当前局部节点

很明显插入红色节点更划算
所有插入的节点都默认是红色
如果违反红黑树的规则,再进行调整

三、对插入节点调整的解析

如果插入节点的父节点为黑
则无需处理
如果为红,则分为三种情况

情况一:

cur为红,p为红,g为黑,u存在且为红

cur为当前节点,p为父节点
g为祖父节点,u为叔叔节点
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把p和u变黑,g变红
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如果grandfather的parent也为红
把grandfather改为cur
继续按刚才的步骤往后迭代
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如果grandfather为根节点
把grandfather改为黑色
颜色调整结束
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情况二:

cur为红,p为红,g为黑
u不存在或u存在且为黑

此树可能是完整树也可能是子树
u节点不存在
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p为g的左孩子,cur为p的左孩子
则进行右单旋转
相反
p为g的右孩子,cur为p的右孩子
则进行左单旋转
p、g变色–p变黑,g变红
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下图则是u节点存在的情况
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c为下面4种情况的
任意一种包含一个黑节点的红黑树
d和e可能是空或者一个红节点
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插入新节点,更新完后
继续往后更新
就是情况二的u存在的情况
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情况三:

cur为红,p为红,g为黑
u不存在或u存在且为黑

跟情况二完全类似
只是情况三为双旋
情况二是单旋

p为g的左孩子,cur为p的右孩子
则针对p做左单旋转
相反
p为g的右孩子,cur为p的左孩子
则针对p做右单旋转

则转换成了情况2
此图为u不存在
u存在参考情况二
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四、红黑树插入代码的全部实现

详解都在代码注释
各位友友们请耐心看完

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first) // 插入节点比当前节点大往右走, 小往左走
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	// 链接
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first > kv.first)
	{
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
	}

	// new的节点的parent还指向空
	cur->_parent = parent;

	// 如果新插入节点破坏了红黑树规则
	// 则更新节点颜色
	while (parent && parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent;
		if (grandfather->_left == parent)
		{
			Node* uncle = grandfather->_right;
			// 情况1:u存在且为红,变色处理,并继续往上处理
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				parent->_col = BLACK;
				uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				// 继续往上调整
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else // 情况2+3:u不存在或者u存在且为黑,旋转+处理
			{
				// 如果插入节点在父节点的左,c、p、g呈一条斜线
				//     g
				//   p   u
				// c
				if (parent->_left == cur)
				{
					RotateR(grandfather);
					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED; 
				}
				else
				{
					// 插入节点在父节点的右,c、p、g呈一条折线
					//      g
					//   p      u
					//     c
					RotateL(parent);
					RotateR(grandfather);
					cur->_col = BLACK;
					// parent->_col = RED; // 父亲本就是红,变一下双重保险
					grandfather->_col = RED;
				}

				break;
			}
		}
		else // (grandfather->_right == parent)
		{
			Node* uncle = grandfather->_left;
			// 情况1:u存在且为红,变色处理,并继续往上处理
			if (uncle && uncle->_col == RED)
			{
				parent->_col = BLACK;
				uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				// 继续往上调整
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else // 情况2+3:u不存在或者u存在且为黑,旋转+处理
			{
				//   g
				// u    p
				//         c
				if (parent->_right == cur)
				{
					RotateL(grandfather);
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
				}
				else
				{
					//   g
					// u     p
					//     c
					RotateR(parent);
					RotateL(grandfather);
					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				break;
			}
		}
	}

	_root->_col = BLACK; // 做个双保险,无论那种情况把根都变成黑的
	return true;
}

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文章来源:https://blog.csdn.net/2302_76421042/article/details/135517572
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