原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1541
NOIP2010 提高组 T2
小明过生日的时候，爸爸送给他一副乌龟棋当作礼物。
乌龟棋的棋盘是一行?N?个格子，每个格子上一个分数（非负整数）。棋盘第?1?格是唯一的起点，第?N?格是终点，游戏要求玩家控制一个乌龟棋子从起点出发走到终点。
乌龟棋中?M?张爬行卡片，分成?4?种不同的类型（M?张卡片中不一定包含所有?4?种类型的卡片，见样例），每种类型的卡片上分别标有?1,2,3,4 四个数字之一，表示使用这种卡片后，乌龟棋子将向前爬行相应的格子数。游戏中，玩家每次需要从所有的爬行卡片中选择一张之前没有使用过的爬行卡片，控制乌龟棋子前进相应的格子数，每张卡片只能使用一次。
游戏中，乌龟棋子自动获得起点格子的分数，并且在后续的爬行中每到达一个格子，就得到该格子相应的分数。玩家最终游戏得分就是乌龟棋子从起点到终点过程中到过的所有格子的分数总和。
很明显，用不同的爬行卡片使用顺序会使得最终游戏的得分不同，小明想要找到一种卡片使用顺序使得最终游戏得分最多。
现在，告诉你棋盘上每个格子的分数和所有的爬行卡片，你能告诉小明，他最多能得到多少分吗？
每行中两个数之间用一个空格隔开。
第?1?行?2?个正整数N,M，分别表示棋盘格子数和爬行卡片数。
第?2?行?N?个非负整数，a1?,a2?,…,aN?，其中ai??表示棋盘第?i?个格子上的分数。
第?3?行?M?个整数，b1?,b2?,…,bM?，表示?M?张爬行卡片上的数字。
输入数据保证到达终点时刚好用光?M?张爬行卡片。
一个整数，表示小明最多能得到的分数。
输入 #1
9 5 6 10 14 2 8 8 18 5 17 1 3 1 2 1
输出 #1
73
每个测试点 1s。
小明使用爬行卡片顺序为?1,1,3,1,2得到的分数为 6+10+14+8+18+17=73。注意，由于起点是?1，所以自动获得第?1?格的分数?6。
对于?30%?的数据有 1≤N≤30,1≤M≤12。
对于?50%50%?的数据有 1≤N≤120,1≤M≤50，且?4?种爬行卡片，每种卡片的张数不会超过 20。
对于 100%?的数据有 1≤N≤350,1≤M≤120，且?4?种爬行卡片，每种卡片的张数不会超过?40；0≤ai?≤100,1≤i≤N,1≤bi?≤4,1≤i≤M。
首先题目说了有四种卡片，也就是说对于每个位置都有四种移动方式，这个不就是经典的线性dp吗，涉及到n个位置和四种卡片，最暴力的dp方式就是首先枚举每个位置，然后枚举当前位置还拥有的四种卡片数目，也就是定义f[i][a][b][c][d]表示在第i个位置，并且拥有1,2,3,4中类型卡片数目为a,b,c,d，那么时间复杂度就是O(n*(m^4))，这个时间就到达了大概8e8了，这个时间就非常高了，肯定过不了，然后我们常规的思想是根据状态转移方程的特点看能不能优化，看了一下状态转移方程发现并不是很好优化，但是我们可以发现一个特性就是题目在输入格式的最后一行说了一句话，这句话非常的重要，发现了这句话我们就可以发现一个性质进行优化了，这一句话也是这个题目至关重要的一个点，这句话说的是输入数据保证到达终点是刚好用完所有卡片，也就是说当我们最开始拥有1,2,3,4四种类型的卡片分别为a,b,c,d张，那么1+a*1+b*2+c*3+d*4=n,这个表达式的含义就是最开始在1号位置，用完所有的四种类型的卡片之后刚好到达了n号位置，也就是说我们根据我们当前拥有的四种类型的卡片数是可以唯一确定我们当前只能在哪个位置的，所以我们的枚举的第一位当前所在位置可以不枚举，我们只需要枚举当前拥有四种类型卡牌数，然后根据卡牌数是可以计算出当前所在位置的，所以我们可以将第一维优化掉。这样就将时间复杂度降到了O(M^4),大概是2e6，这个时间复杂度是肯定可以过的。
优化之后dp处理过程
状态定义：
定义f[a][b][c][d]表示当前拥有1,2,3,4中类型的卡牌数为a,b,c,d，到达的位置就是1+a*1+b*2+c*3+d*4所能获得的最大得分。
初始化：
f[0][0][0][0]=score[1]? ?最开始在1号位置
状态转移：
使用走1步的卡牌
v = max(v, f[a - 1][b][c][d] + score[pos]);
使用走2步的卡牌
v = max(v, f[a][b - 1][c][d] + score[pos]);
使用走3步的卡牌
v = max(v, f[a][b][c - 1][d] + score[pos]);
使用走4步的卡牌
v = max(v, f[a][b][c][d - 1] + score[pos]);
最终答案
最终所在位置就是n号位置，也就是拥有step[1]个1号卡牌，拥有step[2]个2号卡牌，拥有step[3]个3号卡牌，拥有step[4]个4号卡牌，step表示总共的各种类型的卡牌数量。
时间复杂度：枚举四种类型的卡牌数，时间复杂度为O(m^4)，m=40，时间大概是2e6，这个时间是肯定可以过的。
空间复杂度：定义一个四维数组f,空间大概是O(m^4)，空间大概是2e6*4/1e6=8M，题目给了125M,所以空间是肯定足够的。
cpp代码如下：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n, m;
const int N = 360, M = 45;
int step[5], score[N];
int f[M][M][M][M];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &score[i]);
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int x;
scanf("%d", &x);
step[x]++;
}
f[0][0][0][0] = score[1];
for (int a = 0; a <= step[1]; a++)
for (int b = 0; b <= step[2]; b++)
for (int c = 0; c <= step[3]; c++)
for (int d = 0; d <= step[4]; d++)
{
int &v = f[a][b][c][d]; //定义引用，把变量名搞短一点，好写一点，这是c++特性，引用相当于拿到了本身
int pos = 1 + a * 1 + b * 2 + c * 3 + d * 4; //根据卡牌数计算出当前所在位置
if (a >= 1) //使用走1步的卡牌
v = max(v, f[a - 1][b][c][d] + score[pos]);
if (b >= 1) // 使用走2步的卡牌
v = max(v, f[a][b - 1][c][d] + score[pos]);
if (c >= 1) // 使用走3步的卡牌
v = max(v, f[a][b][c - 1][d] + score[pos]);
if (d >= 1) // 使用走4步的卡牌
v = max(v, f[a][b][c][d - 1] + score[pos]);
}
//输出答案
printf("%d\n", f[step[1]][step[2]][step[3]][step[4]]);
return 0;
}?总结：这个题目的关键所在就是挖掘出这个性质，就是可以根据当前拥有的各种卡牌数量计算出当前所在位置，发现了这个性质就可以优化dp中的第一维，就可以顺利的解决这个题目了。