零基础学习数学建模——（一）什么是数学建模

本篇博客将详细介绍什么是数学建模。

个人简介

? 本人在本科阶段获得过国赛省一、mathorcup数学建模一等奖、五一杯数学建模一等奖、华数杯数学建模一等奖、亚太杯数学建模一等奖和两次美赛一等奖。自己在数学建模这条路上摸爬滚打了几年，现在想借助博客分享自己在数学建模上的一些经验，帮助小白更快地学习数学建模。

什么是数学建模

（一）引例：高中数学里的简单线性规划问题

? 在了解什么是数学建模之前，我们先来复习一下高中数学里的简单线下规划问题。

? 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。

? 我们来看2018年理科数学全国I卷的一道题目：

? 一般而言，求解线性规划问题一共有四步：

1、列出线性约束条件，确定目标函数

2、画出可行域

3、在可行域中移动目标函数，找出最优解

4、求出最值

? 针对这个题，约束条件和目标函数如下：

? 根据约束条件画出可行域，具体如下图：

? 蓝色部分即为可行域。

? 在移动目标函数之前，现将目标函数化简成$y=kx+mz$的形式，即$z=3x+2y$换成$y=?\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}z$。已知题目中求$z$的最大值，其实也就是求$y=?\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}z$这条直线在$y$轴截距的最大值。

? 接下来令$z=0$，画出$y=?\frac{3}{2}x$的图像，如下图绿色系所示，可知当直线$y=?\frac{3}{2}x$向右移动到(2,0)点时与y轴截距最大，如下图粉色直线的位置，此时(2,0)即为最优解。

? 因此，$z_{max}=3?2+2?0=6$。

? 这道题到这里就做完了。介绍这道题的目的是让大家了解高中数学里的简单线性规划。下面再看一道高中数学里的简单线性规划的大题。

? 某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1吨产品需要的电力、煤、劳动力及产值，如下表所示：

品种	电力（千度）	煤（吨）	劳动力（人）	产值（千元）
甲	4	3	5	7
乙	6	6	3	9

? 该厂的劳动力满员150人，根据限额每年用电不超过180千度，用煤每天不得超过150吨，问每天生成这两种产品各多少时，才能创造最大的经济效益。

? 按照前面的讲解，首先设每天生产甲产品$x$吨，乙产品$y$吨，可得产值$z$千元。因此，目标函数为：$z=7x+9y$。按照题目要求，设置约束条件如下：

? 紧接着画出可行域，如下图所示：

? 因为$y=?\frac{7}{9}x+\frac{1}{9}z$，所以画出直线$y=?\frac{7}{9}x$，并平移得到P点，此时$z$最大。求出P点为($\frac{150}{7}$,$\frac{100}{7}$)，因此每天生产甲产品$\frac{150}{7}$吨，乙产品$\frac{100}{7}$吨。

? 如果能看懂这个例子，那么就可以称自己数学建模入门了。

数学建模的定义及用途

数学建模的定义

? 为什么学到这就可以称自己数学建模入门了呢？我们先来看看数学建模的定义：

? 数学建模是指根据实际问题来建立数学模型，对数学模型进行求解，然后再根据结果解决实际问题。

? 我们再回到上面那个应用题，题目本身就是实际问题，而我们建立的模型就是数学模型，根据这个模型我们得到了最终的结果，这难道不是数学建模吗？

? 有数学建模基础的同学可能知道，上面这种题目就是数学建模里的优化问题，这部分将在后面的博客中详细讲解。

数学建模的用途

? 在各个学科和行业中，数学建模都扮演着重要的角色，帮助解决复杂的实际问题。例如：

? 1、环境科学：如预测天气、模拟气候变化、水资源管理等。

? 2、计算机科学：如优化算法、图像识别等。

? 3、交通运输：如交通流量预测、交通信号优化等。

? 4、金融领域：如股票价格预测、风险管理等。

? 5、医学：如疾病传播模型、药物效果评估等。

? 6、社会科学：如研究人类行为、社会网络分析等。

? 7、教育：如教学效果评估、排课问题等。

? 8、市场营销：如广告效果评估、市场份额预测等。

正确认识数学建模

? 数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别，例如：

? 1、为了进行数学分析，问题通常需要被简化，舍弃一些次要的、难以处理的细节，以便应用数学方法求解。 现实世界的问题通常更为复杂，包含许多不确定性、非线性关系和随机因素，这些在数学建模中可能被简化或省略。

? 2、在数学建模中常常需要引入一些假设，以使问题变得更容易处理，同时也要考虑到数学模型的适用性。而实际问题通常受到各种现实约束，如资源限制、时间限制、技术可行性等，需要考虑多种因素。

? 3、模型的准确性受到模型假设和简化的影响，有时候可能只是对实际问题的近似。

? 本篇博客到此结束！