C++之map,set|AVL树|红黑树

目录

1.关联式容器

2.键值对

3、树形结构的关联式容器

3.1 set

3.2map

4、底层结构

4.1、AVL树

1.AVL树的概念

2.AVL树的节点定义

3.AVL树的插入

4.AVL树的旋转

5.AVL树的验证

6.AVL树的删除

7.AVL树的性能

4.2红黑树

1.红黑树概念

2.红黑树性能

3.红黑树的定义

4.红黑树结构

5.红黑树的插入操作

6.红黑树的验证

7.红黑树与AVL树的比较

8.红黑树模拟实现stl中的map和set

8.1红黑树的迭代器

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1.关联式容器

前面的文章有介绍过vector,string,list,deque这样的容器，这些容器统称为序列式容器，因为底层未线性序列的数据结构，里面存储的是元素本身。关联式容器也是用来存储数据的，与序列式容器不同的是，里面存的是<key,value>的键值对，在数据检索时比序列式容器效率更高。

2.键值对

用来表示具有一一对应关系的一种结构，该结构中一般只包含两个成员变里key和value,key代表键值，value表示与key对应的信息。比如：现在要建立一个英汉互译的字典，那该字典中必然有英文单词与其对应的中文含义，而且，英文单词与其中文含义是一一对应的关系，即通过该单词，在词典中就可以找到与其对应的中文含义

template <class T1, class T2>
struct pair
{
typedef T1 first_type;
typedef T2 second_type;
T1 first;
T2 second;
pair(): first(T1()), second(T2())
{}
pair(const T1& a, const T2& b): first(a), second(b)
{}
};

3、树形结构的关联式容器

根据应用场景的不同，stl总共实现了两种不同结构的管理式容器：树型结构与哈希结构。树型结构的关联式容器主要有：map,set,multimap,multiset.这四种容器的共同点式使用平衡搜索树（红黑树）作为底层，容器中的元素是一个有序的序列。

3.1 set

1. set 是按照一定次序存储元素的容器

2. 在 set 中，元素的 value 也标识它 (value 就是 key ，类型为 T) ，并且每个 value 必须是唯一的。

set 中的元素不能在容器中修改 ( 元素总是 const) ，但是可以从容器中插入或删除它们。

3. 在内部， set 中的元素总是按照其内部比较对象 ( 类型比较 ) 所指示的特定严格弱排序准则进行排序。

4. set 容器通过 key 访问单个元素的速度通常比 unordered_set 容器慢，但它们允许根据顺序对

子集进行直接迭代。

5. set 在底层是用二叉搜索树 ( 红黑树 ) 实现的。

注：

1. 与 map/multimap 不同， map/multimap 中存储的是真正的键值对 <key, value> ， set 中只放

value ，但在底层实际存放的是由 <value, value> 构成的键值对。

2. set 中插入元素时，只需要插入 value 即可，不需要构造键值对。

3. set 中的元素不可以重复 ( 因此可以使用 set 进行去重 ) 。

4. 使用 set 的迭代器遍历 set 中的元素，可以得到有序序列

5. set 中的元素默认按照小于来比较

6. set 中查找某个元素，时间复杂度为： O(log_2 n)

7. set 中的元素不允许修改

8. set 中的底层使用二叉搜索树 ( 红黑树 ) 来实现

3.2map

1. map 是关联容器，它按照特定的次序 ( 按照 key 来比较 ) 存储由键值 key 和值 value 组合而成的元素。

2. 在 map 中，键值 key 通常用于排序和惟一地标识元素，而值 value 中存储与此键值 key 关联的

内容。键值 key 和值 value 的类型可能不同，并且在 map 的内部， key 与 value 通过成员类型

value_type 绑定在一起，为其取别名称为 pair:typedef pair<const key, T> value_type;

3. 在内部， map 中的元素总是按照键值 key 进行比较排序的。

4. map 中通过键值访问单个元素的速度通常比 unordered_map 容器慢，但 map 允许根据顺序

对元素进行直接迭代 ( 即对 map 中的元素进行迭代时，可以得到一个有序的序列 ) 。

5. map 支持下标访问符，即在 [] 中放入 key ，就可以找到与 key 对应的 value 。

6. map 通常被实现为二叉搜索树 ( 更准确的说：平衡二叉搜索树 ( 红黑树 )) 。

总结：

1. map 中的的元素是键值对

2. map 中的 key 是唯一的，并且不能修改

3. 默认按照小于的方式对 key 进行比较

4. map 中的元素如果用迭代器去遍历，可以得到一个有序的序列

5. map 的底层为平衡搜索树 ( 红黑树 ) ，查找效率比较高 $O(log_2 N)$

6. 支持 [] 操作符， operator[] 中实际进行插入查找。

4、底层结构

4.1、AVL树

二叉搜索树虽然可以缩短查找的效率，但是如果数据有序或者接近有序，二叉搜索树会退化称为单支树，查找元素相当于在顺序表中查找，效率低下。因此，有了avl树，当向二叉搜索树中插入新节点后，保证每个节点的左右子树高度之差绝对值不超过1（需要对树中的节点进行调整），即课降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

1.AVL树的概念

一棵AVL树或者空树，或者是具有一下的搜索二叉树：

1. 左右子树都是AVL树
2. 左右子树高度之差（平衡因子）绝对值不超过1（0，-1，1）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是avl树，如果有n个节点，其高度可保持在O(log2N），搜索时间复杂度是O（log2N)

2.AVL树的节点定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
    AVLTreeNode(const T& data)
        :_pLeft(nullptr),_pRight(nullptr),_pParent(nullptr)
        ,_data(data),_bf(0)
    {}

        AVLTreeNode<T> * _pLeft;
        AVLTreeNode<T> * _pRight;
        AVLTreeNode<T> * _pParent;
        T _data;
        int _bf; 
}

3.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此avl树也可以看成二叉搜索树，插入分为两步：

1.按照二叉搜索树的方式插入新节点（比根节点大，右孩子，比根节点小，左孩子）

2.调整节点的平衡因子(旋转）??????????????????

4.AVL树的旋转

a.左单旋

void RotateL(Node * parent)
{
    Node *subR = parent->_Right;
    Node * subRL = subR->_Left;
    
    parent->_Right  = subRL;
    if(subRL)
        subRL->_parent = parent;

    Node *ppNode = parent->_Parent; //如果parent上面还有树，需要先保存
    subR->_Left = parent;
    parent->_Parent = subR;

    if(ppNode = nullptr)
    {
        _root = subR;
        subR->_parent = nullptr;
    }

    else
    {
        if(ppNode->_left == parent)
        {
            ppNode->_Left = subR;
        }

        if(ppNode ->_Right == parent)
        {
            ppNode ->_Right = subR;
        }

        subR ->_Parent = ppnode;
    }

    //再更新平衡因子
    parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

b.右单旋

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_Left;
		Node* subLR = subL->_Right;

		parent->_Left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_Parent = parent;


		Node* pparent = parent->_Parent;

		subL->_Right = parent;
		parent->_Parent = subL;


		//subLR->_Parent = parent;
		//subL->_Parent = pparent;


		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_Parent = nullptr;
		}

		else
		{
			if (pparent->_Left == parent)
			{
				pparent->_Left = subL;
			}
			else if (pparent->_Right == parent)
			{
				pparent->_Right = subL;
			}
			subL->_Parent = pparent;
		}


		//更新平衡因子
		parent->_bf = subL->_bf = 0;

	}

c.先左旋后右旋

d.先右旋后左旋

5.AVL树的验证

如果使用中序遍历得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

验证一棵树是否为AVL树:用AVL的定义去验证，这里存在一个问题，因为bf是自己手动更新的，所以这里用求子树的高度来验证。先验证是否是二叉树，再验证两棵树的高度差绝对值是否小于2，并且每颗子树都需要验证，所以使用递归。

bool IsBalance()
{
    _IsBalance(_root);
}

int _Height(Node * root)
{
    if(root == nullptr)
        return 0;
    int leftH = _Height(root->left);
    int rightH = _Height(root->_right);
    return leftH >rightH ? leftH+1 :rightH+1;
}

bool _IsBalance(_root)
{
    //如果是空树 是avl树
    if(_root == nullptr)
        return true;
    int leftH = _Height(root->_left);
    int rightH = _Height(root->_right);
    
    return abs(leftH-rightH)<2 && _IsBalance(_root->_left) && _IsBalance(_root->_right);
}

6.AVL树的删除

7.AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差绝对值不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(logN),如果要对avl树做一些结构的修改操作，性能很低，比如插入时要维护绝对平衡，旋转的次数较多，更差的是在删除时，有可能一直旋转持续到根的位置。因此如果要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的，可以考虑avl树，如果一个结构经常修改，就不适合使用

4.2红黑树

1.红黑树概念

红黑树 ，是一种 二叉搜索树 ，但 在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是 Red 或 Black 。 通过对 任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路 径会比其他路径长出俩倍 ，因而是 接近平衡 的

2.红黑树性能

1. 每个节点不是红色的就是黑色的
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，它的两个孩子节点是黑色的
4. 对于每个节点，从该节点到后代叶子节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点
5. 每个叶子节点都是黑色的（这里的叶子节点是空节点）

3.红黑树的定义

// 节点的颜色
enum Color{RED, BLACK};
// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{
 RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
 ? ? : _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
 ? ? , _data(data), _color(color)
 {}
 RBTreeNode<ValueType>* _pLeft; ? // 节点的左孩子
 RBTreeNode<ValueType>* _pRight; ?// 节点的右孩子
 RBTreeNode<ValueType>* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给
出该字段)
 ValueType _data; ? ? ? ? ? ?// 节点的值域
 Color _color; ? ? ? ? ? ? ? // 节点的颜色
};

4.红黑树结构

为了后续实现关联式容器，红黑树的实现中增加了一个头节点，因为根节点必须是黑色，为了与跟你节点区分，将头节点

5.红黑树的插入操作

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此avl树也可以看成二叉搜索树。那么，avl树的插入过程可以分为两步：

1.按照二叉搜索树的方式插入新节点

2.调整节点的平衡因子

bool Insert(const T& data)
{
 ? ?// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
 ? ?// ...
 ? ?
 ? ?// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
破坏了AVL树
 ? ?// ? 的平衡性
 ? ?
 /*
 pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
 的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
 ?1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
 ?2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
 ?
 此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
 ?1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
成0，此时满足
 ? ? AVL树的性质，插入成功
 ?2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
新成正负1，此
 ? ? 时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
 ?3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
行旋转处理
 */
 while (pParent)
 {
 ? ? ? ?// 更新双亲的平衡因子
 if (pCur == pParent->_pLeft)
 pParent->_bf--;
 else
 pParent->_bf++;
 // 更新后检测双亲的平衡因子
 if (0 == pParent->_bf)
{ ? ?
 ? ? break;
 }
 else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf)
 {
 ? ? // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲
为根的二叉树
 ? ? // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
     pCur = pParent;
     pParent = pCur->_pParent;
 }
 else
 {
 // 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
 // 为根的树进行旋转处理

 ? ?if(2 == pParent->_bf)
 ? ?{
 ? ? ? ?// ...
 ? ?}
 ? ?else
 ? ?{
 ? ? ? // ...
 ? ?}
 }

 }
     return true;
}

6.红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1.检测是否满足二叉搜索树（中序遍历是否有序）

2.检测其是否满足红黑树的性质

bool IsValidRBTree()
{
 ? ? PNode pRoot = GetRoot();
 // 空树也是红黑树
 if (nullptr == pRoot)
 return true;
 // 检测根节点是否满足情况
 if (BLACK != pRoot->_color)
 {
 cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
 return false;
 }
 // 获取任意一条路径中黑色节点的个数
 size_t blackCount = 0;
 PNode pCur = pRoot;
 while (pCur)
 {
 if (BLACK == pCur->_color)
 blackCount++;
 pCur = pCur->_pLeft;
 }
 // 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
 size_t k = 0;
 return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
 }
bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{
 ? ?//走到null之后，判断k和black是否相等
 if (nullptr == pRoot)
 ? ? {
 ? ? ? ? if (k != blackCount)
 {
 cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
 return false;
 }
 ? ? ? ? return true;
 ? ? }
 // 统计黑色节点的个数
 if (BLACK == pRoot->_color)
 k++;
 // 检测当前节点与其双亲是否都为红色
 PNode pParent = pRoot->_pParent;
 if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color)
 {
 cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
 return false;
 }
 return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount) &&
 ? ?_IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
 }

?

7.红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(log_2 N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

8.红黑树模拟实现stl中的map和set

8.1红黑树的迭代器

迭代器的好处是方便遍历，如果想给红黑树增加迭代器，需要考虑以下问题：

begin与end()

stl明确规定，begin()与end()代表的一段前闭后开的区间，而对红黑树进行中序遍历后，可以得到一个有序的序列，因此，begin()可以放在红黑树的最小节点（即最左侧的节点）的位置，end()放在最大节点（最右节点）的下一个位置。这里的问题是最大节点的下一个节点在哪里，能否给成nullptr？答案是否定的，因为对end()位置的迭代器进行操作，必须要找到最后一个元素。所以将end()放在头节点的位置：

operator++()与operator--()

// 找迭代器的下一个节点，下一个节点肯定比其大
void Increasement()
{
 ? ?//分两种情况讨论:_pNode的右子树存在和不存在
 ? ?// 右子树存在
 if(_pNode->_pRight)
 {
 ? ? ? ? // 右子树中最小的节点，即右子树中最左侧节点
 _pNode = _pNode->_pRight;
 while(_pNode->_pLeft)
 _pNode = _pNode->_pLeft;
 }
 else
 {
 ? ? ? ? // 右子树不存在，向上查找，直到_pNode != pParent->right
     PNode pParent = _pNode->_pParent;
 while(pParent->_pRight == _pNode)
 {
     _pNode = pParent;
     pParent = _pNode->_pParent;
 }
 // 特殊情况：根节点没有右子树
 if(_pNode->_pRight != pParent)
 _pNode = pParent;
 }
}
// 获取迭代器指向节点的前一个节点
void Decreasement()
{
 ? ? //分三种情况讨论：_pNode 在head的位置，_pNode 左子树存在，_pNode 左子树不
存在
 ? ? // 1. _pNode 在head的位置，--应该将_pNode放在红黑树中最大节点的位置
 if(_pNode->_pParent->_pParent == _pNode && _pNode->_color == RED)
 _pNode = _pNode->_pRight;
 else if(_pNode->_pLeft)
 {
 ? ? ? ?// 2. _pNode的左子树存在,在左子树中找最大的节点，即左子树中最右侧节点
 _pNode = _pNode->_pLeft;
 while(_pNode->_pRight)
 _pNode = _pNode->_pRight;
 }
 else
 {
 ? ? ? ? // _pNode的左子树不存在，只能向上找
 PNode pParent = _pNode->_pParent;
 while(_pNode == pParent->_pLeft)
 {
 _pNode = pParent;
 pParent = _pNode->_pParent;
 }
 _pNode = pParent;
 }
}