快速幂 算法

暴力算法

我们可以采用暴力算法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int main()
{
	ll a, b, c;
	cin >> a >> b >> c;
	ll ans = 1;
	for (ll i = 1; i <= b; i++) {
		ans *= a;
	}
	ans %= c;
	cout << ans;
}

不过这样肯定会超时的

可以改进吗

我们注意到? (a * b) % c = (a % c? +? b % c ) % c
鉴于这个定理
我们可以每次for循环中 对 ans 取模一次

ans *= a
ans %= c

不过时间复杂度还是没有优化

看看代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int main()
{
	ll a, b, c;
	cin >> a >> b >> c;
	ll ans = 1;
	while (b) {
		if (b % 2 == 1) {
			ans = (ans * a) % c;
			a = (a * a)%c;
			b /= 2;
		}
		else {
			a = (a * a)%c;
			b /= 2;
		}
	}
	cout << ans;
}

我们还可以简化代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int main()
{
	ll a, b, c;
	cin >> a >> b >> c;
	ll ans = 1;
	a %= c;
	while (b) {
		if (b & 1) {   
			ans = (ans * a) % c;
		}
		a = (a * a) % c;
		b >>= 1;
	}
	cout << ans;
}