二分查找

二分查找(binary search)是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

例：给定一个n 的数组?nums?，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素?target?在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回??1?。示例如图所示。

如上图所示，我们先初始化指针 i=0?和?j=n?1?，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间?[0,n?1]?。请注意，中括号表示闭区间，其包含边界值本身。

接下来，循环执行以下两步。

1. 计算中点索引?m=??(i+j)/2?，其中????表示向下取整操作。
2. 判断?nums[m]?和?target?的大小关系，分为以下三种情况。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当?nums[m] < target?时，说明?target?在区间?[m+1,]?中，因此执行?i=m+1?。? ? ? ? 当?nums[m] > target?时，说明?target?在区间?[i,m?1]?中，因此执行 j=m?1?。? ? ? ? 当?nums[m] = target?时，说明找到?target?，因此返回索引m?。

若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回??1?。

值得注意的是，由于i 和 j 都是?int?类型，因此 i+j 可能会超出?int?类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 m=?i+(j?i)/2??来计算中点。

/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.size() - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)    // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}

时间复杂度为O(log?n)?：在二分循环中，区间每轮缩小一半，循环次数为?。

空间复杂度为O(1)?：指针?i?和 j 使用常数大小空间。