02 时间复杂度和空间复杂度

目录

1. 算法效率
2. 时间复杂度
3. 空间复杂度
4. 练习

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1. 算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

比如裴波那切数列:

long long Fib (int N)
{
if (N < 3)
return 1 ;

return Fib(N-1) + Fib(N -2) ;
}

它的递归方式很简洁，但一定好吗？怎么衡量算法的好坏？

1.2 算法的复杂度

算法在编写可执行程序后，运行时需要消耗时间资源和空间（内存）资源。因此衡量一个算法的好坏，一般从时间和空间两个维度衡量，即时间复杂度和空间复杂度

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢
空间复杂度衡量算法运行所需要的额外空间

在计算机发展的早期，存储容量很小，所以对于空间复杂度很在乎，但是经过迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以如今已经不需要再特别关注算法的空间复杂度

2. 时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义: 在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数(数学),描述了算法的运行时间，一个算法消耗的时间从理论上，是算不出来的，只有在机器上跑起来，才能知道，但每次上机测试很麻烦，所以有了时间复杂度的分析方式，一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度

找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式,就是该算法的时间复杂度

//计算一下++count总共执行了多少次
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
		{
			++count;
		}
	}

	for (int k = 0; k < 2 * N; k++)
	{
		++count;
	}

	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
}
printf("%d\n",count);

Func1执行的基本次数:

首先有两个for循环，就是N的平方次，下面的for循环次数是2*N，最后的while循环，次数固定是10

???F(N) = N² + 2 * N + 10

• N = 10 F(N) = 130
• N =100 F(N) = 10210
• N=1000 F(N) = 1002010
• 实际中计算时间复杂度时,并不一定要一定要精确的执行次数，只需要大概执行次数，这个就是大O的渐进表示法

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）:用来描述函数渐进行为的数学符号

推导大O阶的方法:

1. 用常数1取代运行时间中所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶

当影响执行次数的变量特别大时，常数的影响微乎其微，时间复杂度只描述最高阶，同样，数量越大，1次方的影响和二次方比越来越小，常数系数也可以省略

这样，大O表示Func1的时间复杂度:

O(N^2^)

• N = 10 F(N) = 100
• N = 100 F(N) = 10000
• N = 1000 F(N) = 1000000

大O渐进法去掉了对结果影响不大的项，简明表示出了执行次数

另外有些算法存在三种情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数（上界）

例如找一个数据：
最好情况1次就找到，最坏情况N次找到，平均N/2次找到

在实际中一般情况关注的是最坏运行情况,底线思维。所以数组上面找数据的时间复杂度为O(N)

2.3 举例

例1:

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

实际执行2 * N + 10 次,大O表示为O(N)

例2:

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

实际执行了M + N次,有两个未知数，所以为O（M + N）

例3:

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

实际执行100次，时间复杂度O(1)，表示常数次

例4：

// 计算strchr的时间复杂度？
const char* strchr(const char* str, int character);

最好情况: 第一次就找到
平均情况: character/2
最坏情况: character次找到或未找到

时间复杂度为O(N)

例5:

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

第一次执行end-1次
第二次执行end-2次
。。。
一直到执行1次

这是一个等差数列，求和 N(1 + N ) /2,大O结果为 O(N²)

例6:

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

二分查找，每找一次，数据集就会缩小当前的一半
第一次需要找N次
第二次需要找N/2次
第三次需要找N/2/2次
。。。
当数据集只剩1个时，就有了结果
假设找了x次，2^x = N ,结果就是log₂N

时间复杂度O(logN)

logN是优于N的，和折纸相似，可以将数据集扩大看看两者的差距
当14亿数据集时，二分查找最多只需要31次就可以找到

例7:

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;

	return Fac(N - 1) * N;
}

第一次递归Fac（N-1）
第二次递归Fac（N-2）
。。。
最后到Fac（0）

时间复杂度为O(N)

例8:

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;

	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

每一次都需要递归两个函数，公式为
F(n) = 2⁰ + 2¹ + … 2^(n-2)
2F(n) = 2¹ + 2² + … 2^(n-2) + 2^(n-1)

用错位相减法,可以抵消,得
2^(n-1) - 1
保留最高项，O(2ⁿ)

3. 空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法运行过程临时占用存储空间大小的量度

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，算的是变量的个数，也用大O渐进法表示

注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数、局部变量、寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，空间复杂度是函数运行申请的额外空间来确定

例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
	int exchange = 0;
	for (size_t i = 1; i < end; ++i)
	{
		if (a[i - 1] > a[i])
		{
			Swap(&a[i - 1], &a[i]);
			exchange = 1;
		}
	}
	if (exchange == 0)
		break;
	}
}

只有一个变量exchange，所以是O(1)

例2:

// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;

	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

开辟了N+1个longlong，所以复杂度O(N)

例3:

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;

	return Fac(N - 1) * N;
}

每次开辟N个函数空间,每个栈帧使用常数个空间，O(N)

类似的，递归计算裴波那切数列的空间复杂度也是O(N)

因为时间是一去不复返的,空间是可以重复利用的，函数开辟的空间可以重复利用，每次只会执行一个函数

void fun1() {
	int a = 0;
	printf("%p\n", &a);
}

void fun2() {
	int b = 0;
	printf("%p\n", &b);
}

上面代码，执行后地址是一样的，证明两个函数用的同一份空间

4. 常见复杂度对比

5201314	O(1)	常数阶
3n+4	O(n)	线性阶
3n2+4n+5	O(n2)	平方阶
3log(2)n+4	O(logn)	对数阶
2n+3nlog(2)+14	O(nlogn)	nlogn阶
n3+2n2+4n+6	O(n3)	立方阶
2n	O(2n)	指数阶

5. 复杂度练习

第一种:
排序后，依次查找，如果下一个数不是上一个数加1，就找到了这个数

时间复杂度最好的情况是O(N*logN)

第二种:
将数组内所有数异或，再异或数组长度内每个数，就可以找到这个数

时间复杂度O(N)

int ary[] = { 9, 6, 4, 2, 3, 5, 7, 0, 1 };
int len = sizeof(ary) / sizeof(ary[0]);
int x = 0;

for (int i = 0; i < len; i++)
{
	x ^= ary[i];
}

for (int i = 0; i < len + 1; i++)
{
	x = x ^ i;
}

printf("%d", x);

第三种：
0-N等差数列公式求和，减去数组每个值
时间复杂度O(N)

int x = len * (len + 1) / 2;

for (int i = 0; i < len; i++)
{
	x -= ary[i];
}

printf("%d", x);

第一种:
暴力求解，旋转k次

时间复杂度：O(N²)
空间复杂度: O(1)

第二种:
三段逆置

void Reverse(int ary[], int left, int right)
{
	while (left < right)
	{
		int temp = ary[left];
		ary[left] = ary[right];
		ary[right] = temp;
		left++;
		right--;
	}
}

void Rotate(int ary[], int len, int k)
{
	if (k > len)
		k %= k;

	Reverse(ary, 0, len - k - 1);
	Reverse(ary, len - k, len - 1);
	Reverse(ary, 0, len - 1);
}

int nums[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 };
int len = 7;
int k = 3;
Rotate(nums, 7, k);
for (int i = 0; i < len; i++)
{
	printf("%d ",nums[i]);
}

时间复杂度: O(N)
空间复杂度: O(1)

第三种:
空间换时间
轮转3个，先把后面的5,6,7放到新数组里，再把前面的拼上

void Rev(int ary[], int len, int k)
{
	if (k > len)
		k %= k;

	int* p = (int*)malloc(len * sizeof(int));
	memcpy(p, ary + len - k, sizeof(int) * k);
	memcpy(p + k, ary, sizeof(int) * (len - k));
	memcpy(ary, p, sizeof(int) * len);
	free (p);
	p = NULL;
}

时间复杂度：O(N)
空间复杂度: O(N)