课程表[中等]

发布时间:2023年12月18日

一、题目

你这个学期必须选修numCourses门课程,记为0numCourses - 1。在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组prerequisites给出,其中prerequisites[i] = [ai, bi],表示如果要学习课程ai则 必须 先学习课程bi

例如,先修课程对[0, 1]表示:想要学习课程0,你需要先完成课程1。请你判断是否可能完成所有课程的学习?如果可以,返回true;否则,返回false

示例 1:
输入:numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]
输出:true
解释:总共有2门课程。学习课程1之前,你需要完成课程0。这是可能的。

示例 2:
输入:numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]
输出:false
解释:总共有2门课程。学习课程1之前,你需要先完成?课程0;并且学习课程0之前,你还应先完成课程1。这是不可能的。

1 <= numCourses <= 2000
0 <= prerequisites.length <= 5000
prerequisites[i].length == 2
0 <= ai, bi < numCourses
prerequisites[i]中的所有课程对 互不相同

二、代码

本题是一道经典的「拓扑排序」问题。给定一个包含n个节点的有向图G,我们给出它的节点编号的一种排列,如果满足:

对于图G中的任意一条有向边(u,v)(u, v)(u,v)u在排列中都出现在v的前面。

那么称该排列是图G的「拓扑排序」。根据上述的定义,我们可以得出两个结论:
1、如果图G中存在环(即图 GGG 不是「有向无环图」),那么图G不存在拓扑排序。这是因为假设图中存在环x1,x2,??,xn,x1?,那么x1在排列中必须出现在xn的前面,但xn同时也必须出现在x1的前面,因此不存在一个满足要求的排列,也就不存在拓扑排序;
2、如果图G是有向无环图,那么它的拓扑排序可能不止一种。举一个最极端的例子,如果图G值包含n个节点却没有任何边,那么任意一种编号的排列都可以作为拓扑排序。

有了上述的简单分析,我们就可以将本题建模成一个求拓扑排序的问题了:
1、我们将每一门课看成一个节点;
2、如果想要学习课程A之前必须完成课程B,那么我们从BA连接一条有向边。这样以来,在拓扑排序中,B一定出现在A的前面。

求出该图是否存在拓扑排序,就可以判断是否有一种符合要求的课程学习顺序。事实上,由于求出一种拓扑排序方法的最优时间复杂度为O(n+m),其中nm分别是有向图G的节点数和边数。而判断图G是否存在拓扑排序,至少也要对其进行一次完整的遍历,时间复杂度也为O(n+m)。因此不可能存在一种仅判断图是否存在拓扑排序的方法,它的时间复杂度在渐进意义上严格优于O(n+m)。这样一来,我们使用和课程表 II 完全相同的方法,但无需使用数据结构记录实际的拓扑排序。为了叙述的完整性,下面的两种方法与课程表 II 的官方题解 完全相同,但在「算法」部分后的「优化」部分说明了如何省去对应的数据结构。

【1】深度优先搜索: 我们可以将深度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来,用一个栈来存储所有已经搜索完成的节点。

对于一个节点u,如果它的所有相邻节点都已经搜索完成,那么在搜索回溯到u的时候,u本身也会变成一个已经搜索完成的节点。这里的「相邻节点」指的是从u出发通过一条有向边可以到达的所有节点。

假设我们当前搜索到了节点u,如果它的所有相邻节点都已经搜索完成,那么这些节点都已经在栈中了,此时我们就可以把 uuu 入栈。可以发现,如果我们从栈顶往栈底的顺序看,由于u处于栈顶的位置,那么u出现在所有u的相邻节点的前面。因此对于u这个节点而言,它是满足拓扑排序的要求的。

这样以来,我们对图进行一遍深度优先搜索。当每个节点进行回溯的时候,我们把该节点放入栈中。最终从栈顶到栈底的序列就是一种拓扑排序。

算法:对于图中的任意一个节点,它在搜索的过程中有三种状态,即:
1、「未搜索」:我们还没有搜索到这个节点;
2、「搜索中」:我们搜索过这个节点,但还没有回溯到该节点,即该节点还没有入栈,还有相邻的节点没有搜索完成);
3、「已完成」:我们搜索过并且回溯过这个节点,即该节点已经入栈,并且所有该节点的相邻节点都出现在栈的更底部的位置,满足拓扑排序的要求。

通过上述的三种状态,我们就可以给出使用深度优先搜索得到拓扑排序的算法流程,在每一轮的搜索搜索开始时,我们任取一个「未搜索」的节点开始进行深度优先搜索。
1、我们将当前搜索的节点u标记为「搜索中」,遍历该节点的每一个相邻节点v
?■ 如果v为「未搜索」,那么我们开始搜索v,待搜索完成回溯到u
?■ 如果v为「搜索中」,那么我们就找到了图中的一个环,因此是不存在拓扑排序的;
?■ 如果v为「已完成」,那么说明v已经在栈中了,而u还不在栈中,因此u无论何时入栈都不会影响到(u,v)之前的拓扑关系,以及不用进行任何操作。
2、当u的所有相邻节点都为「已完成」时,我们将u放入栈中,并将其标记为「已完成」。

在整个深度优先搜索的过程结束后,如果我们没有找到图中的环,那么栈中存储这所有的n个节点,从栈顶到栈底的顺序即为一种拓扑排序。

优化:由于我们只需要判断是否存在一种拓扑排序,而栈的作用仅仅是存放最终的拓扑排序结果,因此我们可以只记录每个节点的状态,而省去对应的栈。

class Solution {
    List<List<Integer>> edges;
    int[] visited;
    boolean valid = true;

    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        edges = new ArrayList<List<Integer>>();
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            edges.add(new ArrayList<Integer>());
        }
        visited = new int[numCourses];
        for (int[] info : prerequisites) {
            edges.get(info[1]).add(info[0]);
        }
        for (int i = 0; i < numCourses && valid; ++i) {
            if (visited[i] == 0) {
                dfs(i);
            }
        }
        return valid;
    }

    public void dfs(int u) {
        visited[u] = 1;
        for (int v: edges.get(u)) {
            if (visited[v] == 0) {
                dfs(v);
                if (!valid) {
                    return;
                }
            } else if (visited[v] == 1) {
                valid = false;
                return;
            }
        }
        visited[u] = 2;
    }
}

时间复杂度: O(n+m),其中n为课程数,m为先修课程的要求数。这其实就是对图进行深度优先搜索的时间复杂度。
空间复杂度: O(n+m)。题目中是以列表形式给出的先修课程关系,为了对图进行深度优先搜索,我们需要存储成邻接表的形式,空间复杂度为O(n+m)。在深度优先搜索的过程中,我们需要最多O(n)的栈空间(递归)进行深度优先搜索,因此总空间复杂度为O(n+m)

【2】广度优先搜索: 方法一的深度优先搜索是一种「逆向思维」:最先被放入栈中的节点是在拓扑排序中最后面的节点。我们也可以使用正向思维,顺序地生成拓扑排序,这种方法也更加直观。我们考虑拓扑排序中最前面的节点,该节点一定不会有任何入边,也就是它没有任何的先修课程要求。当我们将一个节点加入答案中后,我们就可以移除它的所有出边,代表着它的相邻节点少了一门先修课程的要求。如果某个相邻节点变成了「没有任何入边的节点」,那么就代表着这门课可以开始学习了。按照这样的流程,我们不断地将没有入边的节点加入答案,直到答案中包含所有的节点(得到了一种拓扑排序)或者不存在没有入边的节点(图中包含环)。上面的想法类似于广度优先搜索,因此我们可以将广度优先搜索的流程与拓扑排序的求解联系起来。

算法:我们使用一个队列来进行广度优先搜索。初始时,所有入度为0的节点都被放入队列中,它们就是可以作为拓扑排序最前面的节点,并且它们之间的相对顺序是无关紧要的。

在广度优先搜索的每一步中,我们取出队首的节点u
1、我们将u放入答案中;
2、我们移除u的所有出边,也就是将u的所有相邻节点的入度减少1。如果某个相邻节点v的入度变为0,那么我们就将v放入队列中。

在广度优先搜索的过程结束后。如果答案中包含了这n个节点,那么我们就找到了一种拓扑排序,否则说明图中存在环,也就不存在拓扑排序了。

优化:由于我们只需要判断是否存在一种拓扑排序,因此我们省去存放答案数组,而是只用一个变量记录被放入答案数组的节点个数。在广度优先搜索结束之后,我们判断该变量的值是否等于课程数,就能知道是否存在一种拓扑排序。

class Solution {
    List<List<Integer>> edges;
    int[] indeg;

    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        edges = new ArrayList<List<Integer>>();
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            edges.add(new ArrayList<Integer>());
        }
        indeg = new int[numCourses];
        for (int[] info : prerequisites) {
            edges.get(info[1]).add(info[0]);
            ++indeg[info[0]];
        }

        Queue<Integer> queue = new LinkedList<Integer>();
        for (int i = 0; i < numCourses; ++i) {
            if (indeg[i] == 0) {
                queue.offer(i);
            }
        }

        int visited = 0;
        while (!queue.isEmpty()) {
            ++visited;
            int u = queue.poll();
            for (int v: edges.get(u)) {
                --indeg[v];
                if (indeg[v] == 0) {
                    queue.offer(v);
                }
            }
        }

        return visited == numCourses;
    }
}

时间复杂度: O(n+m),其中n为课程数,m为先修课程的要求数。这其实就是对图进行广度优先搜索的时间复杂度。
空间复杂度: O(n+m)。题目中是以列表形式给出的先修课程关系,为了对图进行广度优先搜索,我们需要存储成邻接表的形式,空间复杂度为O(n+m)。在广度优先搜索的过程中,我们需要最多O(n)的队列空间(迭代)进行广度优先搜索。因此总空间复杂度为O(n+m)

文章来源:https://blog.csdn.net/zhengzhaoyang122/article/details/135070358
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