陶哲轩工作流之人工智能数学验证+定理发明工具LEAN4 [线性代数篇2前置知识]不同求和范围不同函数项结果相等的条件

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-- 反向推理

refine' sum_bij _ _ _ _ _

-- {s : Finset α} {t : Finset γ} {f : α → β} {g : γ → β}

-- (i : ? a ∈ s, γ)

-- (hi : ? a ha, i a ha ∈ t)

-- (h : ? a ha, f a = g (i a ha))

-- (i_inj : ? a? a? ha? ha?, i a? ha? = i a? ha? → a? = a?)

-- (i_surj : ? b ∈ t, ? a ha, b = i a ha) :

-- ∏ x in s, f x = ∏ x in t, g x

-- 不一样的定义域s、t，不同的函数f、g，求和相同，需要什么条件呢。5个条件

-- 举例：

-- 假设我们有以下集合和映射：

-- 令 α = {1, 2, 3}，即集合 {1, 2, 3}。 //s

-- 令 β = {a, b, c}，即集合 {a, b, c}。 //

-- 令 γ = {x, y, z}，即集合 {x, y, z}。 //t

-- 定义函数 f: α → β 和 g: γ → β 如下：

-- 对于 f，我们定义 f(1) = a，f(2) = b，f(3) = c。

-- 对于 g，我们定义 g(x) = a，g(y) = b，g(z) = c。

-- 接下来，定义函数 i: α → γ 如下：

-- i(1) = x

-- i(2) = y

-- i(3) = z

-- 现在，我们可以检查定理的条件是否满足：

-- 映射关系 (h)： 对于所有 a 属于 {1, 2, 3}，我们有 f a = g (i a)。

-- 这是满足的，例如，对于 a = 1，我们有 f(1) = a 和 g(i(1)) = g(x) = a。

-- i 是单射 (i_inj)： 如果 i a? = i a?，则 a? = a?。

-- 这是满足的，因为 i 的定义是一对一的，不同的 a 映射到不同的 γ 中的元素。

-- i 是满射 (i_surj)： 对于任意 b 属于 {x, y, z}，存在 a 属于 {1, 2, 3}，使得 b = i a。

-- 这也是满足的，因为 i 的定义覆盖了整个 γ。

-- 如果这些条件满足，我们可以应用定理，从而得出：

-- 即，

-- [

-- abc = abc

-- ]