代码随想录算法训练营Day24|回溯算法理论基础、第77题. 组合

目录

回溯算法理论基础

理论基础

回溯法解决的问题

回溯法理解

回溯模板

第77题. 组合

前言

算法实现

剪枝优化

总结

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回溯算法理论基础

理论基础

? ? ? ? 在二叉树中已经提到了回溯的概念，回溯是递归的副产品，也叫回溯搜索法，是一种搜索方式。回溯本身并不是高效的算法，因为回溯的本质就是穷举，穷举所有肯呢个，然后选出符合我们要求的答案，与暴力方式类似。

? ? ? ? 如果想要让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但是回溯穷举的本质没有改变。因此回溯法的效率并不高，但是在有些问题的处理上，回溯法是不得已的选择，因为对于有些问题，即便是暴力法都无法轻易解决。

回溯法解决的问题

? ? ? ? 回溯法一般可以解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

回溯法理解

? ? ? ? 回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构，因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度就构成树的深度。

回溯模板

? ? ? ? 代码随想录中给出了回溯算法的大致模板，依照递归三部曲同样给出回溯三部曲

• 回溯函数模板返回值以及参数

? ? ? ? 在回溯算法中，我们习惯给函数起名字为backtracking；

? ? ? ? 回溯算法中函数返回值一般为void。

? ? ? ? 对于回溯函数的参数，一般是先写回溯函数的逻辑，然后需要什么参数，就填什么参数。

void backtracking(参数)

• 回溯函数终止条件

? ? ? ? 通过二叉树章节的学习，我们已经知道二叉树的递归需要有终止条件，所以回溯也要有终止条件。一般来说搜到叶子节点了，也就找到了满足条件的一条答案，把这个答案存放起来，就可以结束本层递归。

if (终止条件){
        存放结果;
        return;
}

• 回溯搜索的遍历过程

? ? ? ? 回溯法一般是在集合中递归搜索，集合的大小构成了树的宽度，递归的深度构成了树的深度。

for (选择：本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)){
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); //递归
        回溯，撤销处理结果
}

? ? ? ? for循环就是遍历集合区间，可以理解一个节点有多少个孩子，这个for循环就执行多少次。

可以大致理解为for循环就是横向遍历，backtracking(递归)就是纵向遍历，这样就把这棵树遍历完了。一般来说，搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。

? ? ? ? 回溯算法模板框架如下：

void backtracking(参数){
    if (终止条件){
        存放结果;
        return;
    }
    
    for (选择：本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)){
        处理节点;
        backtracking(路径,选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
}

第77题. 组合

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前言

? ? ? ? 本题要返回1~n中所有可能的k个数的组合，本题的直接想法是利用for循环进行遍历，当k为2的时候两次for循环，但是若当k为50时，则要嵌套50层，写起来较为复杂。使用回溯法递归来解决嵌套层数的问题。

? ? ? ? 递归来做叠层嵌套，每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多次嵌套的问题。

算法实现

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex){
        if (path.size() == k){
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++){
            path.push_back(i); //处理节点
            backtracking(n, k, i + 1); //递归
            path.pop_back(); //回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

? ? ? ? backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到叶子节点就要返回。backtracking下面就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

剪枝优化

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void bathtracking(int n, int k, int startIndex){
        if (path.size() == k){
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){ //剪枝优化
            path.push_back(i); //处理节点
            bathtracking(n, k, i + 1); //递归
            path.pop_back(); //回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear();
        path.clear();
        bathtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

? ? ? ? 优化的地方在于递归遍历循环的终止条件。如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

总结

? ? ? ? 今天初步系统认识了回溯算法的理论和应用，对递归和回溯的理解有了更加深入的认识。