深度学习中的张量维度

1 深度学习中的张量

在深度学习框架中，Tensor（张量）是一种数据结构，用于存储和操作多维数组。张量可以被视为一种扩展的矩阵，它可以具有任意数量的维度。

在深度学习中，张量通常被用来表示神经网络的输入、输出、权重和梯度等数据。在深度学习框架中，张量是一个重要的概念，因为它是深度学习计算的基本单位。

张量可以用不同的数据类型表示，如浮点型、整型等。在深度学习框架中，通常使用GPU来加速张量的计算，因为GPU具有并行计算能力，可以快速地执行大量的矩阵和向量运算。

深度学习框架通常提供了一些张量操作函数，如矩阵乘法、卷积、池化等，使得用户可以方便地进行张量计算。

2 张量的基本属性

主要有三个属性：秩、轴、形状

• 秩：主要告诉我们是张量的维度，其实就是告诉我们是几维向量，通过多少个索引就可以访问到元素。
• 轴：在张量中，轴是指张量的一个维度。当处理多维数据时，每个维度都可以被称为一个轴。通常，第一个轴称为0轴（或轴0），第二个轴称为1轴（或轴1），以此类推。
• 形状：形状是指张量在每个轴上的维度大小。它是一个由整数组成的元组，表示张量沿着每个轴的大小。
  ?

3 张量的维度

3.1 标量（0D 张量）

仅包含一个数字的张量叫作标量（scalar，也叫标量张量、零维张量、0D 张量）。在 Numpy中，一个 float32 或 float64 的数字就是一个标量张量（或标量数组）。你可以用 ndim 属性来查看一个 Numpy 张量的轴的个数。标量张量有 0 个轴（ ndim == 0 ）。张量轴的个数也叫作阶（rank）。下面是一个 Numpy 标量。

    import numpy as np
    x = np.array(12)
    print(x.ndim)
    x

结果：

    0
    array(12)

3.2 向量（1D 张量）

数字组成的数组叫作向量（vector）或一维张量（1D 张量）。一维张量只有一个轴。下面是一个 Numpy 向量。

    import numpy as np
    x = np.array([12, 3, 6, 14, 7])
    print(x.ndim)
    x

结果：

    1
    array([12, 3, 6, 14, 7])

注意：这个向量有 5 个元素，所以被称为 5D 向量。不要把 5D 向量和 5D 张量弄混！ 5D 向量只有一个轴，沿着轴有 5 个维度，而 5D 张量有 5 个轴（沿着每个轴可能有任意个维度）。维度（dimensionality）可以表示沿着某个轴上的元素个数（比如 5D 向量），也可以表示张量中轴的个数（比如 5D 张量），这有时会令人感到混乱。对于后一种情况，技术上更准确的说法是 5 阶张量（张量的阶数即轴的个数），但 5D 张量这种模糊的写法更常见。

3.3 矩阵（2D 张量）

向量组成的数组叫作矩阵（matrix）或二维张量（2D 张量）。矩阵有 2 个轴（通常叫作行和列）。你可以将矩阵直观地理解为数字组成的矩形网格。下面是一个 Numpy 矩阵。

    import numpy as np
    x = np.array([[5, 78, 2, 34, 0],
                  [6, 79, 3, 35, 1],
                  [7, 80, 4, 36, 2]])
    print(x.ndim)

结果：

    2

3.4 3D 张量与更高维张量

将多个矩阵组合成一个新的数组，可以得到一个 3D 张量，你可以将其直观地理解为数字组成的立方体。下面是一个 Numpy 的 3D 张量。

    import numpy as np
    x = np.array([[[5, 78, 2, 34, 0],
                   [6, 79, 3, 35, 1],
                   [7, 80, 4, 36, 2]],
                  
                  [[5, 78, 2, 34, 0],
                   [6, 79, 3, 35, 1],
                   [7, 80, 4, 36, 2]],
            
                  [[5, 78, 2, 34, 0],
                   [6, 79, 3, 35, 1],
                   [7, 80, 4, 36, 2]]])
    print(x.ndim)

?结果：?

    3

将多个 3D 张量组合成一个数组，可以创建一个 4D 张量，以此类推。深度学习处理的一般是 0D 到 4D 的张量，但处理视频数据时可能会遇到 5D 张量。
?

4 现实世界中的数据张量

我们现实中要处理的数据几乎总是以下类别之一：

• 向量数据：2D 张量，形状为 (samples, features) 。

• 时间序列数据或序列数据：3D 张量，形状为 (samples, timesteps, features) 。

• 图像：4D张量，形状为 (samples, height, width, channels) 或 (samples, channels,

• height, width) 。

• 视频：5D张量，形状为 (samples, frames, height, width, channels) 或 (samples,frames, channels, height, width) 。

?4.1 向量数据

?这是最常见的数据。对于这种数据集，每个数据点都被编码为一个向量，因此一个数据批量就被编码为 2D 张量（即向量组成的数组），其中第一个轴是样本轴，第二个轴是特征轴。

两个例子：

• 人口统计数据集，其中包括每个人的年龄、邮编和收入。每个人可以表示为包含 3 个值的向量，而整个数据集包含 100 000 个人，因此可以存储在形状为 (100000, 3) 的 2D张量中。
• 文本文档数据集，我们将每个文档表示为每个单词在其中出现的次数（字典中包含20 000 个常见单词）。每个文档可以被编码为包含 20 000 个值的向量（每个值对应于字典中每个单词的出现次数），整个数据集包含 500 个文档，因此可以存储在形状为(500, 20000) 的张量中。

?4.2 时间序列数据或序列数据

当时间（或序列顺序）对于数据很重要时，应该将数据存储在带有时间轴的 3D 张量中。每个样本可以被编码为一个向量序列（即 2D 张量），因此一个数据批量就被编码为一个 3D 张量（见下图）

根据惯例，时间轴始终是第 2 个轴（索引为 1 的轴）。

两个例子：

• 股票价格数据集。每一分钟，我们将股票的当前价格、前一分钟的最高价格和前一分钟的最低价格保存下来。因此每分钟被编码为一个 3D 向量，整个交易日被编码为一个形状为 (390, 3) 的 2D 张量（一个交易日有 390 分钟），而 250 天的数据则可以保存在一个形状为 (250, 390, 3) 的 3D 张量中。这里每个样本是一天的股票数据。
• 推文数据集。我们将每条推文编码为 280 个字符组成的序列，而每个字符又来自于 128个字符组成的字母表。在这种情况下，每个字符可以被编码为大小为 128 的二进制向量（只有在该字符对应的索引位置取值为 1，其他元素都为 0）。那么每条推文可以被编码为一个形状为 (280, 128) 的 2D 张量，而包含 100 万条推文的数据集则可以存储在一个形状为 (1000000, 280, 128) 的张量中。

?4.3 图像数据

图像通常具有三个维度：高度、宽度和颜色深度。虽然灰度图像（比如 MNIST 数字图像）只有一个颜色通道，因此可以保存在 2D 张量中，但按照惯例，图像张量始终都是 3D 张量，灰度图像的彩色通道只有一维。因此，如果图像大小为 256×256，那么 128 张灰度图像组成的批量可以保存在一个形状为 (128, 256, 256, 1) 的张量中，而 128 张彩色图像组成的批量则可以保存在一个形状为 (128, 256, 256, 3) 的张量中。

图像张量的形状有两种约定：通道在后（channels-last）的约定（在 TensorFlow 中使用）和通道在前（channels-first）的约定（在 Theano 中使用）。Google 的 TensorFlow 机器学习框架将颜色深度轴放在最后： (samples, height, width, color_depth) 。与此相反，Theano将图像深度轴放在批量轴之后： (samples, color_depth, height, width) 。如果采用 Theano 约定，前面的两个例子将变成 (128, 1, 256, 256) 和 (128, 3, 256, 256) 。Keras 框架同时支持这两种格式。

4.4 视频数据

视频数据是现实生活中需要用到 5D 张量的少数数据类型之一。视频可以看作一系列帧，每一帧都是一张彩色图像。由于每一帧都可以保存在一个形状为 (height, width, color_depth) 的 3D 张量中，因此一系列帧可以保存在一个形状为 (frames, height, width,color_depth) 的 4D 张量中，而不同视频组成的批量则可以保存在一个 5D 张量中，其形状为(samples, frames, height, width, color_depth) 。

举个例子：一个以每秒 4 帧采样的 60 秒 YouTube 视频片段，视频尺寸为 144×256，这个视频共有 240 帧。4 个这样的视频片段组成的批量将保存在形状为 (4, 240, 144, 256, 3)的张量中。总共有 106 168 320 个值！如果张量的数据类型（ dtype ）是 float32 ，每个值都是32 位，那么这个张量共有 405MB。好大！你在现实生活中遇到的视频要小得多，因为它们不以float32 格式存储，而且通常被大大压缩，比如 MPEG 格式。