C++参悟：数值运算相关

一、概述

C++为我们提供了很多已经定义好的一些数学函数，这些函数的使用一定要注意函数的定义域，因为计算机表示的数据有限，有些非法的运算的结果也是在数值运算库中定义好了的。

二、常用数学函数

在标准库中基本上提供了对于 float、double、long double 类型参数的输入、也有对应的参数 float、double、long double 的输出。就像下面的可以看得出来 不带 任何的后缀是有3个类型的重载、带 ‘f’ 的指定了强制 float 类型、带 ‘l’ 的强制指定了 long double 类型。基本上下面提到的函数都会有这些后缀以满足不同精度的需求。

float       	fmod ( float x, float y );
double      	fmod ( double x, double y );
long double 	fmod ( long double x, long double y );  

float       	fmodf( float x, float y );
long double 	fmodl( long double x, long double y );

1. 基础运算

1. 浮点值的绝对值（ |x| ）

基础定义： 就是求一个数值的绝对值

double  abs( double arg );

abs(float x)
fabs
fabsf
fabsl

此函数不受制于任何指定于 math_errhandling 的错误条件。

若实现支持 IEEE 浮点算术（ IEC 60559 ），则

• 若输入参数为 ±0 ，则返回 +0
• 若输入参数为 ±∞ ，则返回 +∞
• 若输入参数为 NaN ，则返回 NaN

示例：

#include <iostream>
#include <cmath>
 
int main()
{
    std::cout << "abs(+3.0) = " << std::abs(+3.0) << '\n'
              << "abs(-3.0) = " << std::abs(-3.0) << '\n';
    // 特殊值
    std::cout << "abs(-0.0) = " << std::abs(-0.0) << '\n'
              << "abs(-Inf) = " << std::abs(-INFINITY) << '\n'
              << "abs(-NaN) = " << std::abs(-NAN) << '\n';
}
//输出
abs(+3.0) = 3
abs(-3.0) = 3
abs(-0.0) = 0
abs(-Inf) = inf
abs(-NaN) = nan

2. 浮点除法运算的余数

基础定义：计算除法运算 x/y 的浮点余数。有点像整数的余数运算符 %

double fmod ( double x, double y );

fmod
fmodf
fmodl

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cfenv>
 
#pragma STDC FENV_ACCESS ON
int main()
{
    std::cout << "fmod(+5.1, +3.0) = " << std::fmod(5.1,3) << '\n'
              << "fmod(-5.1, +3.0) = " << std::fmod(-5.1,3) << '\n'
              << "fmod(+5.1, -3.0) = " << std::fmod(5.1,-3) << '\n'
              << "fmod(-5.1, -3.0) = " << std::fmod(-5.1,-3) << '\n';
 
    // 特殊值
    std::cout << "fmod(+0.0, 1.0) = " << std::fmod(0, 1) << '\n'
              << "fmod(-0.0, 1.0) = " << std::fmod(-0.0, 1) << '\n'
              << "fmod(5.1, Inf) = " << std::fmod(5.1, INFINITY) << '\n';
 
    // 错误处理
    std::feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);
    std::cout << "fmod(+5.1, 0) = " << std::fmod(5.1, 0) << '\n';
    if(std::fetestexcept(FE_INVALID))
        std::cout << "    FE_INVALID raised\n";
}
// 输出
fmod(+5.1, +3.0) = 2.1
fmod(-5.1, +3.0) = -2.1
fmod(+5.1, -3.0) = 2.1
fmod(-5.1, -3.0) = -2.1
fmod(+0.0, 1.0) = 0
fmod(-0.0, 1.0) = -0
fmod(5.1, Inf) = 5.1
fmod(+5.1, 0) = -nan
    FE_INVALID raised

3. 除法运算的有符号余数

基础定义：此函数所计算的除法运算 x/y 的 IEEE 浮点余数，准确地为值 x - n*y ，其中值 n 是最接近 x/y 准确值的整数值。 |n-x/y| = ? 时，选择作为偶数的 n 。与 std::fmod() 相反，不保证返回值拥有与 x 相同的符号。若返回值是 0 ，则它拥有与 x 相同的符号。

double      remainder ( double x, double y );

remainder
remainderf
remainderl

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cfenv>
 
#pragma STDC FENV_ACCESS ON
int main()
{
    std::cout << "remainder(+5.1, +3.0) = " << std::remainder(5.1,3) << '\n'
              << "remainder(-5.1, +3.0) = " << std::remainder(-5.1,3) << '\n'
              << "remainder(+5.1, -3.0) = " << std::remainder(5.1,-3) << '\n'
              << "remainder(-5.1, -3.0) = " << std::remainder(-5.1,-3) << '\n';
 
    // 特殊值
    std::cout << "remainder(-0.0, 1.0) = " << std::remainder(-0.0, 1) << '\n'
              << "remainder(5.1, Inf) = " << std::remainder(5.1, INFINITY) << '\n';
 
    // 错误处理
    std::feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);
    std::cout << "remainder(+5.1, 0) = " << std::remainder(5.1, 0) << '\n';
    if(fetestexcept(FE_INVALID))
        std::cout << "    FE_INVALID raised\n";
}
//输出
remainder(+5.1, +3.0) = -0.9
remainder(-5.1, +3.0) = 0.9
remainder(+5.1, -3.0) = -0.9
remainder(-5.1, -3.0) = 0.9
remainder(-0.0, 1.0) = -0
remainder(5.1, Inf) = 5.1
remainder(+5.1, 0) = -nan
    FE_INVALID raised

4. 除法运算的有符号余数和最后三个二进制位

基础定义：
remquo
remquof
remquol

5. 混合的乘加运算

基础定义：计算 (x*y) + z ，如同用无限精度，而仅舍入一次到结果类型。

double      fma ( double x, double y, double z );

fma
fmaf
fmal

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <cfenv>
#pragma STDC FENV_ACCESS ON
int main()
{
    // 演示 fma 与内建运算符间的差别
    double in = 0.1;
    std::cout << "0.1 double is " << std::setprecision(23) << in
              << " (" << std::hexfloat << in << std::defaultfloat << ")\n"
              << "0.1*10 is 1.0000000000000000555112 (0x8.0000000000002p-3), "
              << "or 1.0 if rounded to double\n";
    double expr_result = 0.1 * 10 - 1;
    double fma_result = fma(0.1, 10, -1);
    std::cout << "0.1 * 10 - 1 = " << expr_result
              << " : 1 subtracted after intermediate rounding\n"
              << "fma(0.1, 10, -1) = " << std::setprecision(6) << fma_result << " ("
              << std::hexfloat << fma_result << std::defaultfloat << ")\n\n";
 
    // fma 用于 double-double 算术
    double high = 0.1 * 10;
    double low = fma(0.1, 10, -high);
    std::cout << "in double-double arithmetic, 0.1 * 10 is representable as "
              << high << " + " << low << "\n\n";
 
    // 错误处理
    std::feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);
    std::cout << "fma(+Inf, 10, -Inf) = " << std::fma(INFINITY, 10, -INFINITY) << '\n';
    if(std::fetestexcept(FE_INVALID))
        std::cout << "    FE_INVALID raised\n";
}
//输出
0.1 double is 0.10000000000000000555112 (0x1.999999999999ap-4)
0.1*10 is 1.0000000000000000555112 (0x8.0000000000002p-3), or 1.0 if rounded to double
0.1 * 10 - 1 = 0 : 1 subtracted after intermediate rounding
fma(0.1, 10, -1) = 5.55112e-17 (0x1p-54)
 
in double-double arithmetic, 0.1 * 10 is representable as 1 + 5.55112e-17
 
fma(+Inf, 10, -Inf) = -nan
    FE_INVALID raised

6. 两个浮点值的较大者

基础定义：返回二个浮点数的较大者

double      fmax ( double x, double y );

fmax
fmaxf
fmaxl

#include <iostream>
#include <cmath>
 
int main()
{
    std::cout << "fmax(2,1)    = " << std::fmax(2,1) << '\n'
              << "fmax(-Inf,0) = " << std::fmax(-INFINITY,0) << '\n'
              << "fmax(NaN,-1) = " << std::fmax(NAN,-1) << '\n';
}
//输出：
fmax(2,1)    = 2
fmax(-Inf,0) = 0
fmax(NaN,-1) = -1

7. 两个浮点值的较小者

基础定义：返回二个浮点数的较小者

double      fmin ( double x, double y );

fmin
fminf
fminl

#include <iostream>
#include <cmath>
 
int main()
{
    std::cout << "fmin(2,1)    = " << std::fmin(2,1) << '\n'
              << "fmin(-Inf,0) = " << std::fmin(-INFINITY,0) << '\n'
              << "fmin(NaN,-1) = " << std::fmin(NAN,-1) << '\n';
}
//输出
fmin(2,1)    = 1
fmin(-Inf,0) = -inf
fmin(NaN,-1) = -1

8. 两个浮点值的正数差（ max(0, x-y) ）

基础定义：返回 x 与 y 间的正差，即若 x>y 则返回 x-y ，否则（若 x≤y ）返回 +0 。

double      fdim ( double x, double y );

fdim
fdimf
fdiml

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cerrno>
#include <cstring>
#include <cfenv>
#pragma STDC FENV_ACCESS ON
int main()
{
    std::cout << "fdim(4, 1) = " << std::fdim(4, 1)
              << " fdim(1, 4) = " << std::fdim(1, 4) << '\n'
              << "fdim(4,-1) = " << std::fdim(4, -1)
              << " fdim(1,-4) = " << std::fdim(1, -4) << '\n';
    // 错误处理
    errno = 0;
    std::feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);
    std::cout << "fdim(1e308, -1e308) = " << std::fdim(1e308, -1e308) << '\n';
    if (errno == ERANGE)
        std::cout << "    errno == ERANGE: " << std::strerror(errno) << '\n';
    if (std::fetestexcept(FE_OVERFLOW))
        std::cout << "    FE_OVERFLOW raised\n";
}
//输出
fdim(4, 1) = 3 fdim(1, 4) = 0
fdim(4,-1) = 5 fdim(1,-4) = 5
fdim(1e308, -1e308) = inf
    errno == ERANGE: Numerical result out of range
    FE_OVERFLOW raised

2. 指数函数

1. 返回 e 的给定次幂（ e^x ）

基础定义

double      exp ( double arg );

exp
expf
expl

图像

2. 返回 2 的给定次幂（ 2^x ）

基础定义

double      exp2 ( double n );

exp2
exp2f
exp2l

图像

3. 返回 e 的给定次幂减一（ e^x-1 ）

基础定义：

double      expm1 ( double arg );`在这里插入代码片`

expm1
expm1f
expm1l

图像

4. 自然（以 e 为底）对数（ ln(x) ）

基础定义

double      log ( double arg );

log
logf
logl

图像

5. 常用（以 10 为底）对数（ log₁₀(x) ）

基础定义

double      log10 ( double arg );

log10
log10f
log10l

图像

6. 给定数值的以 2 为底的对数（ log₂(x) ）

基础定义

double      log2 ( double arg );

log2
log2f
log2l

图像

7. 加上给定数值的自然（以 e 为底）对数（ ln(1+x) ）

基础定义

double      log1p ( double arg );

log1p
log1pf
log1pl

图像

3. 幂函数

1. 求某数的给定次幂（ x^y ）

基础定义

double      pow ( double base, double exp );

pow
powf
powl

2. 计算平方根（ √x ）

基础定义

double      sqrt ( double arg );

sqrt
sqrtf
sqrtl

3. 计算立方根（ 3√x ）

基础定义

double      cbrt ( double arg );

cbrt
cbrtf
cbrtl

4. 计算两个给定数的平方和的平方根（ √x²+y² ）

基础定义

double      hypot ( double x, double y );

hypot
hypotf
hypotl

4. 三角函数

1. 计算正弦（ sin(x) ）

基础定义

double      sin ( double arg );

sin
sinf
sinl

图像

2. 计算余弦（ cos(x) ）

基础定义

double      cos ( double arg );

cos
cosf
cosl

图像

3. 计算正切（ tan(x) ）

基础定义

double      tan ( double arg );

tan
tanf
tanl

图像

4. 计算反正弦（ arcsin(x) ）

基础定义

double      asin ( double arg );

asin
asinf
asinl

图像

5. 计算反余弦（ arccos(x) ）

基础定义

double      acos ( double arg );

acos
acosf
acosl

图像

6. 计算反正切（ arctan(x) ）

基础定义

double      atan ( double arg );

atan
atanf
atanl

图像

7. 反正切，用符号确定象限

基础定义

double      atan2 ( double y, double x );

atan2
atan2f
atan2l

5. 双曲函数

1. 计算双曲正弦（ sinh(x) ）

基础定义

double      sinh ( double arg );

sinh
sinhf
sinhl

图像

2. 计算双曲余弦（ cosh(x) ）

基础定义

double      cosh ( double arg );

cosh
coshf
coshl

图像

3. 计算双曲正切（ tanh(x) ）

基础定义

double      tanh ( double arg );

tanh
tanhf
tanhl

图像

4. 计算反双曲正弦（ arsinh(x) ）

基础定义

double      asinh ( double arg );

asinh
asinhf
asinhl

图像

5. 计算反双曲余弦（ arcosh(x) ）

基础定义

double      acosh ( double arg );

acosh
acoshf
acoshl

图像

6. 计算反双曲正切（ artanh(x) ）

基础定义

double      atanh ( double arg );

atanh
atanhf
atanhl

图像

6. 误差与伽马函数

1. 误差函数

erf
erff
erfl

2. 补误差函数

erfc
erfcf
erfcl

3. gamma 函数

tgamma
tgammaf
tgammal

4. gamma 函数的自然对数

lgamma
lgammaf
lgammal

7. 最接近整数的浮点运算

1. 不小于给定值的最接近整数值

基础定义：计算不小于 arg 的最小整数值。

double      ceil ( double arg );

ceil
ceilf
ceill

#include <cmath>
#include <iostream>
int main()
{
    std::cout << std::fixed
              << "floor(+2.7) = " << std::floor(+2.7) << '\n'
              << "floor(-2.7) = " << std::floor(-2.7) << '\n'
              << "floor(-0.0) = " << std::floor(-0.0) << '\n'
              << "floor(-Inf) = " << std::floor(-INFINITY) << '\n';
}

//输出：
floor(+2.7) = 2.000000
floor(-2.7) = -3.000000
floor(-0.0) = -0.000000
floor(-Inf) = -inf

2. 不大于给定值的最接近整数

基础定义：计算不大于 arg 的最大整数值。

#include <cmath>
#include <iostream>
int main()
{
    std::cout << std::fixed
              << "floor(+2.7) = " << std::floor(+2.7) << '\n'
              << "floor(-2.7) = " << std::floor(-2.7) << '\n'
              << "floor(-0.0) = " << std::floor(-0.0) << '\n'
              << "floor(-Inf) = " << std::floor(-INFINITY) << '\n';
}

//输出：
floor(+2.7) = 2.000000
floor(-2.7) = -3.000000
floor(-0.0) = -0.000000
floor(-Inf) = -inf

3. 绝对值不大于给定值的最接近整数

基础定义：计算绝对值不大于 arg 的最接近整数。

#include <cmath>
#include <iostream>
int main()
{
    std::cout << std::fixed
              << "trunc(+2.7) = " << std::trunc(+2.7) << '\n'
              << "trunc(-2.9) = " << std::trunc(-2.9) << '\n'
              << "trunc(-0.0) = " << std::trunc(-0.0) << '\n'
              << "trunc(-Inf) = " << std::trunc(-INFINITY) << '\n';
}

// 可能的输出：
trunc(+2.7) = 2.000000
trunc(-2.9) = -2.000000
trunc(-0.0) = -0.000000
trunc(-Inf) = -inf

4. 最接近整数，中间情况下向远离零舍入

基础定义：计算 arg 的最接近整数值（以浮点格式），中点情况舍入为远离零，无关乎当前舍入模式。 计算 arg 的最接近整数值（以整数格式），中点情况舍入为远离零，无关乎当前舍入模式。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cfenv>
#include <climits>
 
#pragma STDC FENV_ACCESS ON
 
int main()
{
    // round
    std::cout << "round(+2.3) = " << std::round(2.3)
              << "  round(+2.5) = " << std::round(2.5)
              << "  round(+2.7) = " << std::round(2.7) << '\n'
              << "round(-2.3) = " << std::round(-2.3)
              << "  round(-2.5) = " << std::round(-2.5)
              << "  round(-2.7) = " << std::round(-2.7) << '\n';
 
    std::cout << "round(-0.0) = " << std::round(-0.0)  << '\n'
              << "round(-Inf) = " << std::round(-INFINITY) << '\n';
 
    // lround
    std::cout << "lround(+2.3) = " << std::lround(2.3)
              << "  lround(+2.5) = " << std::lround(2.5)
              << "  lround(+2.7) = " << std::lround(2.7) << '\n'
              << "lround(-2.3) = " << std::lround(-2.3)
              << "  lround(-2.5) = " << std::lround(-2.5)
              << "  lround(-2.7) = " << std::lround(-2.7) << '\n';
 
    std::cout << "lround(-0.0) = " << std::lround(-0.0)  << '\n'
              << "lround(-Inf) = " << std::lround(-INFINITY) << '\n';
 
    // 错误处理
    std::feclearexcept(FE_ALL_EXCEPT);
    std::cout << "std::lround(LONG_MAX+1.5) = "
              << std::lround(LONG_MAX+1.5) << '\n';
    if (std::fetestexcept(FE_INVALID))
              std::cout << "    FE_INVALID was raised\n";
}

//可能的输出：
round(+2.3) = 2  round(+2.5) = 3  round(+2.7) = 3
round(-2.3) = -2  round(-2.5) = -3  round(-2.7) = -3
round(-0.0) = -0
round(-Inf) = -inf
lround(+2.3) = 2  lround(+2.5) = 3  lround(+2.7) = 3
lround(-2.3) = -2  lround(-2.5) = -3  lround(-2.7) = -3
lround(-0.0) = 0
lround(-Inf) = -9223372036854775808
std::lround(LONG_MAX+1.5) = -9223372036854775808
    FE_INVALID was raised

5. 使用当前舍入模式的最接近整数

6. 使用当前舍入模式的最接近整数

若结果有别则有异常

8. 浮点操作函数

9. 分类与比较

三、宏常量

四、错误处理