离散时间线性定常系统的稳定性

李雅普诺夫第一法

线性定常系统的稳定性分析：研究线性定常系统的渐近稳定性的方法有很多。例如，对于用如下方程描述的连续时间系统：
$$\dot{x}=Ax$$
在原点处渐近稳定性的充分必要条件是：$A$的所有特征值都有负实部，或者说特征多项式:
$$\mid sI?A\mid =s^n+a_1{s}^{n?1}+?+a_{n?1}s+a_n$$
的所有零点都有负实部。

同样，对于用如下方程描述的离散时间系统：
$$x(k+1)=Gx(k)$$
在原点处渐近稳定性的充分必要条件是：$G$的所有特征值的模都小于$1$，或者说特征多项式
$$|zI?G|=z^n+a_1{z}^{n?1}+?+a_{n?1}z+a_n$$
的零点都在平面上以原点为中心的单位圆内。

然而，在高阶系统中或特征多项式的系数不是数值的情况下，特征根的求解会比较困难。在这种情况下，应采用朱利稳定性判据或者劳斯-赫维茨稳定性判据。

离散时间系统的李雅谱诺夫稳定性分析

对于离散时间系统，使用前向差分$V(x(k+1)T)?V(x(kT))$代替$\dot{V}(x)$。

定理:

离散时间系统表示如下：
$$x((k+1)T)=f(x(kT))$$

其中$x$：$n$维向量

$f(x)$：$n$维向量，且$f(0)=0$。

$T$：采样周期。

假定存在一个在$x$处连续的标量函数$V(x)$，使得

1.$V(x)>0(x\ne 0)$。

2.$\Delta V(x)<0(x\ne 0)$,其中$\Delta V(x(kT))=V(x(k+1)T)?V(x(kT))=V(f(x(kT)))?V(x(kT))$

3.$ V(0)=0$。

4.当$|x|\to \infty$时，$V(x)\to \infty$。那么平衡状态$x=0$是全局渐近稳定的，且$V(x)$是一个李雅普诺夫函数。

注意，此定理中，条件2可以替换为：

2’．对于任意$x$,$\Delta V(x)\le 0$,且对于满足系统的任意解序列$x(kT)$，$\Delta V(x)$都不恒等于零。

这意味着，如果对差分方程的任意解序列，$\Delta V(x)$都不恒等于零，那么就不必要求$\Delta V(x)$一定是负定的。

线性定常离散时间系统的李雅普诺夫稳定性分析

离散时间系统描述如下:
$$x(k+1)=Gx(k)$$
其中，$x$是状态向量（$n$维向量），$G$是$n\times n$非奇异常系数矩阵。原点$x=0$是平衡状态。下面将采用李雅普诺夫第二方法来研究该状态的稳定性。选取一个可能的李雅普诺夫函数为
$$V(x(k))=x^{?}(k)Px(k)$$
其中,$P$是一个正定的埃尔米特(或正定实对称)矩阵。那么
$$\begin{array}{l}\Delta V(x(k))=V(x(k+1))?V(x(k))\\ =x^{?}(k+1)Px(k+1)?x^{?}(k)Px(x)\\ =[Gx(k){]}^{?}P[Gx(k)]?x^{?}(k)Px(k)\\ =x^{?}(k)G^{?}PGx(k)?x^{?}(k)Px(k)\\ =x^{?}(k)(G^{?}PG?P)x(k)\\ =?x^{?}(k)Qx(k)\end{array}$$
其中$Q=?(G^{?}PG?P)$,只要￥正定，系统就是渐进稳定的。

定理:

离散时间系统定义如下：
$$x(k+1)=Gx(k)$$
其中，$x$是状态向量（$n$维向量），$G$是$n\times n$非奇异常系数矩阵。

平衡状态$x=0$全局渐近稳定的充分必要条件是：给定任意的正定埃尔米特（或任意正定实对称）矩阵$Q$，存在一个正定的埃尔米特（或正定实对称）矩阵$P$，使得
$$G^{?}PG?P=?Q$$
标量函数$$x^{?}Px$$是该系统的一个李雅普诺夫函数。

如果$$:\Delta V(x(k))=?x^{?}(k)Qx(k)$$沿其任一解序列都不恒等于零，那么$Q$可以选为半正定矩阵。

由连续时间系统离散化获得的离散时间系统的稳定性

如果用状态空间方程来描述系统，则通过把连续时间系统离散化得到的离散时间系统，其平衡状态的渐近稳定性等同于原连续时间系统平衡状态的渐近稳定性。

连续时间系统表示如下：
$$\dot{x}=Ax$$
其对应的离散时间系统为
$$x((k+1)T)=Gx(kT)$$
其中
$$G={\mathrm{e}}^{AT}$$
如果上述连续时间系统是渐近稳定的，即如果矩阵$A$的所有特征值都有负实部，则IG"→0,当n→0时

且离散化后得到的系统也是渐近稳定的。

这是因为，如果${\lambda }_i$都是$A$的特征值，那么${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}T}$就都是$G$的特征值(如果${\lambda }_{i}T$是负的,那么$|{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}T}|<1$)。

压缩映射在离散时间系统的特性

对于$x\ne 0$的某些集合和某些范数，如果函数$f(x)$满足$f(0)=0$，且
$$||f(x)||<||x||$$
那么函数$f(x)$称为压缩映射。

对于离散时间系统，范数$||x||$可用做李雅普诺夫函数。

离散时间系统表示如下：$x(k+1)=f(x(k)),f(0)=0$其中，$x$和$f(x)$都是$n$维向量。假设对所有的$x$和某些范数，$f(x)$是压缩映射。那么上述系统的原点是广义渐近稳定的，且它的一个李雅普诺夫函数为$V(x)=||x||$这点可证明如下：首先V(x)=||x||是正定的。又因为$f(x)$是对所有的$x$和某些范数的压缩,有$\Delta V(x(k))=V(f(x(k)))?V(x(k))=\parallel f(x)\parallel ?\parallel x\parallel$是负定的。因此平衡点是渐进稳定的。