算法刷题：最大异或对（Trie树扩展）、食物链（并查集扩展）

引言

这两个扩展题能够让我们更加的熟悉Trie树和并查集的使用，这两道题可以说是比较难的了，所以说还是好好对待吧。

一、最大异或对（Trie树扩展）

1.题目描述

在给定的 N 个整数 A1，A2……AN 中选出两个进行 xor（异或）运算，得到的结果最大是多少？

输入格式
第一行输入一个整数 N。
第二行输入 N 个整数 A1～AN。

输出格式
输出一个整数表示答案。

数据范围
1≤N≤105,0≤Ai<231
 
输入样例：
3
1 2 3

输出样例：
3

2.解题思路

• 首先最开始当然是用暴力做一下，如下所示，很明显是O(n^2)的一个时间复杂度，然后这个数据是10 ^ 5，那就是执行10 ^ 10次，然后一般C++的时间范围在10 ^ 9内一般都是可以过的，这个当然就TTL了。

int res = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
	for (int j = 0; j < i; ++j)
	{
		res = max(res, a[i] ^ a[j]);
	}
}

• 然后就想怎么优化了，我们注意第二层循环是查找当然数中与a[i]异或的最大值，我们发现数据是小于 2 ^ 31 - 1的，也就是最多31位，那么是最大的，肯定先从最高位找有没有一个数跟a[i]的最高位不一样，如果有那就把他们集合到一块，没有那就挑相同的，然后找第29位有没有与a[i]第29位不同位的树，如果没有那就找相同的，然后就这样找到第0位，肯定就是与a[i]异或最大的数了，这也是一种贪心的思想，具体图解看如下的例子：
  如果右边是已经有的Trie树了，我们要找与110异或最大的，那么最高位是1，我们就要找0，然后有0，然后看下一位是1，我们就要找0，没有0，那就只能是1了，然后下一位是0，我们要找1，那就找到了，所以最终与110异或最大的数是011
  

3.代码实现

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5+10, M = 31 * N;  // 最大有M个结点

int a[N];
int son[M][2], idx;  // M个结点，每个结点两个儿子0,1
int n;

void insert(int x)
{
    int p = 0;
    for(int i = 30; i >= 0; --i)
    {
        int u = x >> i & 1;
        if(!son[p][u]) son[p][u] = ++idx;
        p = son[p][u];
    }
}

int query(int x)
{
    int p = 0, res = 0;
    for(int i = 30; i >= 0; --i)
    {
        int u = x >> i & 1;
        if(son[p][!u])  // 找不同的
        {
            res = res * 2 + !u;
            p = son[p][!u];
        }
        else  // 如果不存在，那只能退而求其次
        {
            res = res * 2 + u;
            p = son[p][u];
        }
    }
    
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        insert(a[i]);
        
        int t = query(a[i]);  //查询与a[i]异或最大的数
        res = max(res, a[i] ^ t);
    }
    
    printf("%d\n", res);
    
    return 0;
}

4.测试

二、食物链（并查集扩展）

1.题目描述

动物王国中有三类动物 A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。

A 吃 B，B 吃 C，C 吃 A。

现有 N 个动物，以 1～N 编号。

每个动物都是 A,B,C 中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。

有人用两种说法对这 N 个动物所构成的食物链关系进行描述：
第一种说法是 1 X Y，表示 X 和 Y 是同类。
第二种说法是 2 X Y，表示 X 吃 Y。

此人对 N 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 K 句话，这 K 句话有的是真的，有的是假的。

当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。
当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话；
当前的话中 X 或 Y 比 N 大，就是假话；
当前的话表示 X 吃 X，就是假话。

你的任务是根据给定的 N 和 K 句话，输出假话的总数。

输入格式
第一行是两个整数 N 和 K，以一个空格分隔。
以下 K 行每行是三个正整数 D，X，Y，两数之间用一个空格隔开，其中 D 表示说法的种类。
若 D=1，则表示 X 和 Y 是同类。
若 D=2，则表示 X 吃 Y。

输出格式
只有一个整数，表示假话的数目。

数据范围
1≤N≤50000 ,0≤K≤100000

输入样例：
100 7
1 101 1 
2 1 2
2 2 3 
2 3 3 
1 1 3 
2 3 1 
1 5 5

输出样例：
3

2.解题思路

这道题是要输出谎话的次数，然后x,y > n，就不说了很好判断，然后其实就是判断是不是同类，是不是能吃的关系
思路就是如下图的关系，是不是同类取决于到根结点的距离是否相同，吃与被吃的关系却决于到根结点的距离，当然这些距离都要 mod 3

3.代码实现

关于最后 d[px] 的推导我画了张图，虽然很丑，但是关系描述的还是很清晰的，然后注释写的也比较详细，不懂得可以多看看

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 5e5+10;

int p[N], d[N];  // d[i]是i号结点到根结点的距离
int n, m;

int find(int x)
{
    if(x != p[x]) 
    {
        int t = find(p[x]);
        d[x] += d[p[x]];  // 必须先执行find操作，将d[p[x]是真正的到根结点的距离，而不是到上一个结点的距离
        p[x] = t;  // 路径压缩
    }
    return p[x];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = i;
    
    int res = 0;
    while(m--)
    {
        int t, x, y;
        scanf("%d%d%d", &t, &x, &y);
        
        int px = find(x), py = find(y);
        if(x > n || y > n) res++;
        else
        {
            if(t == 1)  // 同类
            {
                if(px == py && (d[x] - d[y]) % 3) res++;  //如果是一个集合的，并且到根结点的距离不同，说明不是一个类的
                else if(px != py)  // 刚开始还没插进集合里
                {
                    p[px] = py;  // 让x的根结点的父亲为y的根结点
                    d[px] = d[y] - d[x];  // 只用将x根结点到y根结点的距离一改，之后的话，会通过上面的find函数自动修改的
                }
            }
            else  // x吃y
            {
                int link = 1;  // 这里给出2也是可以的，x比y多1或者2 都表示x吃y
                if(px == py && (d[x] - d[y] - link) % 3) res++;
                else if(px != py)
                {
                    p[px] = py;
                    d[px] = d[y] - d[x] + link;
                }
            }
        }
    }
    
    printf("%d\n", res);
    
    return 0;
}

4.测试