微积分-第二章三角函数3

2.3三角函数的图像

掌握三角函数的图像是非常有必要的。从上一节末尾我们可以直到三角函数是具有周期性的。这意味着它们的图像是从左到右的反复的重复自己。

考虑$\sin (x)$的图像，画出它的图像很简单。我们先画出$[0,2\pi ]$上的图像。再“复制粘贴”就可以得到它的图像。

这里有四个关键点$(0,0)$、$(\frac{\pi }{2},1)$、$(\pi ,0)$、$(2\pi ,0)$。你应该记住这个图像。

$\sin (x)$是$x$的周期函数,它的周期为$2\pi$。我们可以通过重复这个模式对图像进行扩展。

大家有没有从图中看出一个关键信息呢？$\sin (x)$关于原点对称，所以它是奇函数。

$y=cos(x)$的图像与$y=sin(x)$的图像相似。$cos(x)$也是一个以$2\pi$为最小正周期的周期函数。

对图像进行扩展可以得到：

从图中可以看出$cos(x)$是一个关于y轴对称的偶函数。

$tan(x)$与$sin(x)$和$cos(x)$不同，它的定义域不是全体实数。这是因为$tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$，它只有在$cos(x)$不为零时有定义。我们知道$cos(\frac{\pi }{2})=0$,$cos(\pi )=0$。而函数$cos(x)$具有周期性。所以$cos(x+k\pi )=0$，其中$k\in N$。最终我们有$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$，其中$k\in N$。

画$tan(x)$时考虑到它存在垂直渐近线（无定义的点），所以最好是先画出$?\frac{\pi }{2}$~$\frac{\pi }{2}$之间的点。

$y=tan(x)$并不是以$2\pi$为周期，而是以$\pi$为周期的周期函数。

$tan(x)$关于原点对称，是奇函数。