【第二章】数字信号处理 z变换与离散时间傅里叶变换dtft

发布时间:2024年01月22日

开启数字信号处理的理论部分,从z变换入手通过z域到s域的转化,利用信号与系统的知识(傅里叶变换与拉普拉斯变换)开始引入离散时间傅里叶变换,为第三章的离散傅里叶变换/级数埋下伏笔。
对应程佩青《数字信号处理教程》(第五版)第二章内容,推荐结合教材、例题食用,本文仅作思路引入和推进总结使用。
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z变换

定义

Z变换定义
X ( z ) = ∑ n = ? ∞ ∞ x ( n ) z ? n X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=n=??x(n)z?n
z反变换定义
x ( n ) = 1 2 π j ∮ c X ( z ) z n ? 1 d z x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X(z)z^{n-1}dz x(n)=2πj1?c?X(z)zn?1dz
z变换存在需满足其表达式(幂级数)收敛,即绝对可和

收敛域

有限长序列

n 1 ≤ n ≤ n 2 n_1\le n\le n_2 n1?nn2?,x(n)有值
X ( z ) = ∑ n = n 1 n 2 x ( n ) z ? n X(z)=\sum_{n=n_1}^{n_2}x(n)z^{-n} X(z)=n=n1?n2??x(n)z?n
收敛域至少有限z平面 0 < ∣ z ∣ < ∞ 0<|z|<\infty 0<z<
n 1 ≥ 0 n_1\ge 0 n1?0时,收敛域包括无限远( ∞ \infty )
n 2 < 0 n_2<0 n2?<0时,收敛域包含原点(0)
当收敛域包含原点时序列在 ? n ≤ 0 -n\le 0 ?n0时不能有值,因为 0 ? n = 1 0 n = ∞ 0^{-n}=\frac{1}{0^n}=\infty 0?n=0n1?=

右边序列

n ≥ n 0 n\ge n_0 nn0?,x(n)有值
X ( z ) = ∑ n = n 0 ∞ x ( n ) z ? n = ∑ n = n 0 ? 1 x ( n ) z ? n + ∑ n = 0 ∞ x ( n ) z ? n X(z)=\sum_{n=n_0}^{\infty}x(n)z^{-n}=\sum_{n=n_0}^{-1}x(n)z^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n} X(z)=n=n0??x(n)z?n=n=n0??1?x(n)z?n+n=0?x(n)z?n
第一项为有限长序列,收敛域包含有限z平面
故收敛域取决于第二项
R x ? < ∣ z ∣ < ∞ R_{x^-}<|z|<\infty Rx??<z<
收敛域在模值最大的极点所在圆之外

因果序列

右边序列的特殊情况, n 1 ≥ 0 n_1\ge 0 n1?0,收敛域包含无穷远
R x ? < ∣ z ∣ ≤ ∞ R_{x^-}<|z|\le\infty Rx??<z

左边序列

n ≤ n 0 n\le n_0 nn0?,x(n)有值
X ( z ) = ∑ n = ? ∞ n 0 x ( n ) z ? n = ∑ n = ? ∞ ? 1 x ( n ) z ? n + ∑ n = 0 n 0 x ( n ) z ? n X(z)=\sum_{n=-\infty}^{n_0}x(n)z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{-1}x(n)z^{-n}+\sum_{n=0}^{n_0}x(n)z^{-n} X(z)=n=?n0??x(n)z?n=n=??1?x(n)z?n+n=0n0??x(n)z?n
第二项为有限长序列,收敛域取决于第一项
0 < ∣ z ∣ < R x + 0<|z|<R_{x^+} 0<z<Rx+?
收敛域在模值最小的极点所在圆之内

反因果序列

包含原点

双边序列

分解成一个因果序列和一个非因果序列,收敛域成环
R x ? < ∣ z ∣ < R x + R_{x^-}<|z|<R_{x^+} Rx??<z<Rx+?

常用z变换及收敛域

δ ( n ) ? 1 0 ≤ ∣ z ∣ ≤ ∞ \delta(n)\leftrightarrow1\quad 0\le|z|\le\infty δ(n)?10z
u ( n ) ? z z ? 1 ∣ z ∣ > 1 u(n)\leftrightarrow\frac{z}{z-1}\quad |z|>1 u(n)?z?1z?z>1
u ( ? n ? 1 ) ? ? z z ? 1 ∣ z ∣ < 1 u(-n-1)\leftrightarrow-\frac{z}{z-1}\quad|z|<1 u(?n?1)??z?1z?z<1

z反变换的求法

留数定理法

把z变换看作洛朗级数 X ( z ) = ∑ n = ? ∞ ∞ C n z ? n X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_nz^{-n} X(z)=n=??Cn?z?n
C n = x ( n ) = 1 2 π j ∮ c X ( z ) z n ? 1 d z C_n=x(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_cX(z)z^{n-1}dz Cn?=x(n)=2πj1?c?X(z)zn?1dz
可使用留数定理求出洛朗级数的系数从而求出反变换

  • 围线内的极点 x ( n ) = ∑ k R e s [ X ( z ) z n ? 1 ] z = z k x(n)=\sum_{k}Res[X(z)z^{n-1}]_{z=z_k} x(n)=k?Res[X(z)zn?1]z=zk??
  • 围线外的极点 x ( n ) = ? ∑ m R e s [ X ( z ) z n ? 1 ] z = z m x(n)=-\sum_{m}Res[X(z)z^{n-1}]_{z=z_m} x(n)=?m?Res[X(z)zn?1]z=zm??
    其中
    R e s [ X ( z ) z n ? 1 ] z = z r = [ ( z ? z r ) X ( z ) z n ? 1 ] z = z r Res[X(z)z^{n-1}]_{z=z_r}=[(z-z_r)X(z)z^n-1]_{z=z_r} Res[X(z)zn?1]z=zr??=[(z?zr?)X(z)zn?1]z=zr??(单阶极点)

围线是在 X ( z ) X(z) X(z)收敛域内的一条闭合曲线
右边序列的极点总包含在围线内
左边序列的极点总是在围线外
若为双边序列,根据n的取值灵活将序列分解成右边序列和左边序列的和,运用不同的公式来简化计算留数

部分分式法

X ( z ) X(z) X(z)分解成部分分式的形式(可直接求出反变换的形式)
写成正幂次项展开时,保证分子的最高次幂小于分母,否则需要使用 X ( z ) z \frac{X(z)}{z} zX(z)?的形式进行修正,作为整体分解完后再得到 X ( z ) X(z) X(z)
分子系数的求法:原始 X ( z ) X(z) X(z)形式乘以该项分子对应的分母的式子取值使得分母为零的z值(极点)。如果写成两边同时相乘的形式,右边除该项分子外其他项乘以了使得为零点分母均为零,即证

长除法(幂级数展开法)

使用分式长除法来得到 X ( z ) X(z) X(z)的幂级数表达形式(原来是分式),进而观察幂级数的系数来直接得到x(n)( X ( z ) = ∑ n x ( n ) z ? n X(z)=\sum_{n}x(n)z^{-n} X(z)=n?x(n)z?n
对于右边序列,写成z的降幂( x ( 0 ) + x ( 1 ) z ? 1 + . . . x(0)+x(1)z^{-1}+... x(0)+x(1)z?1+...)
对于左边序列,写成z的升幂( x ( 0 ) + x ( ? 1 ) z 1 + . . . x(0)+x(-1)z^1+... x(0)+x(?1)z1+...)
对于有限长序列,可直接观察得到
使用该方法不一定能找到规律进而求出反变换,长除法是除不尽的(原分式本身分子和分母互质),故必须在有限项中观察出规律

z变换的性质

线性性质

L [ x ( n ) ] = X ( z ) , R x ? < ∣ z ∣ < R x + L[x(n)]=X(z),R_{x^-}<|z|<R_{x^+} L[x(n)]=X(z),Rx??<z<Rx+?
L [ y ( n ) ] = Y ( z ) , R y ? < ∣ z ∣ < R y + L[y(n)]=Y(z),R_{y^-}<|z|<R_{y^+} L[y(n)]=Y(z),Ry??<z<Ry+?
L [ a x ( n ) + b y ( n ) ] = a X ( z ) + b Y ( z ) , R ? < ∣ z ∣ < R + L[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z),R_-<|z|<R_+ L[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z),R??<z<R+?
即均匀性(乘法)和叠加性
收敛域一般为两者收敛域的交集
但是最终还是要以结果的表达形式来确定,因为可能会出现零点和极点相互抵消的情况,以最新的极点为准判断收敛域

单边z变换和移位性质

单边z变换

L + [ x ( n ) ] = L [ x ( n ) u ( n ) ] = X + ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x ( n ) z ? n L^+[x(n)]=L[x(n)u(n)]=X^+(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n} L+[x(n)]=L[x(n)u(n)]=X+(z)=n=0?x(n)z?n
与双边z变换的区别在于仅关心n非负下的z变换,尽管z小于零情况下的信息并没有丢失

移位性质

L [ x ( n ? m ) ] = z ? m X ( z ) L[x(n-m)]=z^{-m}X(z) L[x(n?m)]=z?mX(z)
L + [ x ( n ? m ) ] = z ? m [ X + ( z ) + ∑ i = ? m ? 1 x ( i ) z ? i ] L^+[x(n-m)]=z^{-m}[X^+(z)+\sum_{i=-m}^{-1}x(i)z^{-i}] L+[x(n?m)]=z?m[X+(z)+i=?m?1?x(i)z?i]
单边z变换,原序列右移时将原来并未处理的部分序列移入变换范围,需要加上这部分进行z变换的值
L [ x ( n + m ) ] = z m X ( z ) L[x(n+m)]=z^mX(z) L[x(n+m)]=zmX(z)
L + [ x ( n + m ) ] = z m [ X + ( z ) ? ∑ [ i = 0 ] m ? 1 x ( i ) z ? i ] L_+[x(n+m)]=z^m[X^+(z)-\sum[i=0]^{m-1}x(i)z^{-i}] L+?[x(n+m)]=zm[X+(z)?[i=0]m?1x(i)z?i]
原序列左移后部分序列被移出变换范围需要减去

双边序列移动后收敛域不会变化
单边序列移动后可能会出现“因果序列”、“非因果序列”等范围变化,可能造成 z = 0 z=0 z=0 z = ∞ z=\infty z=处收敛性的变化

尺度变换

L [ a n x ( n ) ] = X ( z a ) , ∣ a ∣ R x ? < ∣ z ∣ < ∣ a ∣ R x + L[a^nx(n)]=X(\frac{z}{a}),|a|R_{x^-}<|z|<|a|R_{x^+} L[anx(n)]=X(az?),aRx??<z<aRx+?
对于z反变换的部分因式分解法作用巨大

线性加权性

L [ n x ( n ) ] = ? z d d z X ( z ) L[nx(n)]=-z\frac{d}{dz}X(z) L[nx(n)]=?zdzd?X(z)
L [ n 2 x ( n ) ] = ? z d d z [ ? z d d z X ( z ) ] = z 2 d 2 d z 2 X ( z ) + z d d z X ( z ) \begin{aligned}L[n^2x(n)]=&-z\frac{d}{dz}[-z\frac{d}{dz}X(z)]\\=&z^2\frac{d^2}{dz^2}X(z)+z\frac{d}{dz}X(z)\end{aligned} L[n2x(n)]==??zdzd?[?zdzd?X(z)]z2dz2d2?X(z)+zdzd?X(z)?

序列共轭性

L [ x ? ( n ) ] = X ? [ z ? ] L[x^*(n)]=X^*[z*] L[x?(n)]=X?[z?]
通过观察其证明 L [ x ? ( n ) ] = ∑ n [ x ? ( n ) z ? n ] = ∑ n [ x ( n ) z ? ? n ] ? = X ? [ z ? ] \begin{aligned}L[x^*(n)]=&\sum_{n}[x^*(n)z^{-n}]\\=&\sum_{n}[x(n){z^*}^{-n}]^*\\=&X^*[z*]\end{aligned} L[x?(n)]===?n?[x?(n)z?n]n?[x(n)z??n]?X?[z?]?更好的理解含义
对于实序列 x ( n ) = x ? ( n ) x(n)=x^*(n) x(n)=x?(n),其极点零点以共轭对形式存在

序列翻褶性

L [ x ( ? n ) ] = X ( 1 z ) , 1 R x + < ∣ z ∣ < 1 R x ? L[x(-n)]=X(\frac{1}{z}),\frac{1}{R_{x^+}}<|z|<\frac{1}{R_{x^-}} L[x(?n)]=X(z1?),Rx+?1?<z<Rx??1?
引出具有奇偶对称零极点以倒数对形式存在的结论

初值定理

对于因果序列, l i m z → ∞ X ( z ) = x ( 0 ) lim_{z\to\infty}X(z)=x(0) limz?X(z)=x(0)

终值定理

对于因果序列,且单位圆 ∣ z ∣ = 1 |z|=1 z=1上最多可有最高阶为一的极点(一阶极点,保证乘上z-1后在单位圆上收敛),其余极点均在单位圆内,则 x ( ∞ ) = l i m n → ∞ x ( n ) = l i m z → 1 [ ( z ? 1 ) X ( z ) ] = R e s [ X ( z ) ] z = 1 \begin{aligned}x(\infty)=&lim_{n\to\infty}x(n)\\=&lim_{z\to 1}[(z-1)X(z)]\\=&Res[X(z)]_{z=1}\end{aligned} x()===?limn?x(n)limz1?[(z?1)X(z)]Res[X(z)]z=1??

因果序列的累加性

因果序列 x ( n ) x(n) x(n)
L [ ∑ m = 0 n x ( m ) ] = z z ? 1 X ( z ) , ∣ z ∣ > m a x [ R x ? , 1 ] L[\sum_{m=0}^{n}x(m)]=\frac{z}{z-1}X(z),|z|>max[R_{x^-},1] L[m=0n?x(m)]=z?1z?X(z),z>max[Rx??,1]
通过交换求和次序来证明,将m变为0到无穷,n变为m到无穷,这一步通过图2.15(m=n曲线)来理解,该结果也与直觉相符(原式一个x(m)(经累加)就对应多个z,m越大对应的z的个数越少)

时域卷积和定理

y ( n ) = x ( n ) ? h ( n ) y(n)=x(n)*h(n) y(n)=x(n)?h(n)
Y ( z ) = X ( z ) H ( z ) Y(z)=X(z)H(z) Y(z)=X(z)H(z)
收敛域由最终表达式决定

序列相乘(z域复卷积定理)

y ( n ) = x ( n ) h ( n ) y(n)=x(n)h(n) y(n)=x(n)h(n)
Y ( z ) = 1 2 π j ∮ c X ( v ) H ( z v ) v ? 1 d v Y(z)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X(v)H(\frac{z}{v})v^{-1}dv Y(z)=2πj1?c?X(v)H(vz?)v?1dv
收敛域同由表达式决定

帕塞瓦尔定理

由z域复卷积定理可得当 y ( n ) = x ( n ) h ? ( n ) y(n)=x(n)h^*(n) y(n)=x(n)h?(n),且 Y ( z ) Y(z) Y(z)在单位圆 ∣ z ∣ = 1 |z|=1 z=1上收敛时( R x ? R h ? < 1 < R x + R h + R_{x^-}R_{h^-}<1<R_{x^+}R_{h^+} Rx??Rh??<1<Rx+?Rh+?),当z=1时
Y ( z ) ∣ z = 1 = ∑ n x ( n ) h ? ( n ) z ? n ∣ z = 1 = ∑ n = ? ∞ ∞ x ( n ) h ? ( n ) = 1 2 π j ∮ c X ( v ) H ? ( 1 v ) v ? 1 d v \begin{aligned}Y(z)|_{z=1}=\sum_{n}x(n)h^*(n)z^{-n}|_{z=1}=&\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)h^*(n)\\=&\frac{1}{2\pi j}\oint_{c}X(v)H^*(\frac{1}{v})v^{-1}dv\end{aligned} Y(z)z=1?=n?x(n)h?(n)z?nz=1?==?n=??x(n)h?(n)2πj1?c?X(v)H?(v1?)v?1dv?
当x(n)和h(n)为实序列时, X ( e ? j w ) = X ? ( e j w ) X(e^{-jw})=X^*(e^{jw}) X(e?jw)=X?(ejw)
∑ n = ? ∞ ∞ x 2 ( n ) = 1 2 π ∫ ? π π ∣ X ( e j w ) ∣ 2 d w \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^2(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{jw})|^2dw n=??x2(n)=2π1??ππ?X(ejw)2dw

z变换求解差分方程

对于差分方程 ∑ i = 0 N a i y ( n ? i ) = ∑ m = 0 M b m x ( n ? m ) \sum_{i=0}^{N}a_iy(n-i)=\sum_{m=0}^{M}b_mx(n-m) i=0N?ai?y(n?i)=m=0M?bm?x(n?m)
由单边z变换的移位性质,两边同时取单边z变换
∑ i = 0 N a i z ? i [ Y + ( z ) + ∑ r = ? i ? 1 y ( r ) z ? r ] = ∑ m = 0 M b m z ? m [ X + ( z ) + ∑ l = ? m ? 1 x ( l ) z ? l ] \begin{aligned}&\sum_{i=0}^{N}a_iz^{-i}[Y^+(z)+\sum_{r=-i}^{-1}y(r)z^{-r}]\\=&\sum_{m=0}^{M}b_mz^{-m}[X^+(z)+\sum_{l=-m}^{-1}x(l)z^{-l}]\end{aligned} =?i=0N?ai?z?i[Y+(z)+r=?i?1?y(r)z?r]m=0M?bm?z?m[X+(z)+l=?m?1?x(l)z?l]?
如要求零输入响应或零状态响应可代入条件求解
对于给出初始条件求总响应,可以直接两边取z变换,但是要考虑移位性质的影响,增加相应的变换项

s平面到z平面映射关系

拉普拉斯变换在s域,z变换在z域
一个隐含关系:抽样信号与连续时间信号的频域关系
X ^ a ( j Ω ) = 1 T ∑ k = ? ∞ ∞ X a [ j ( Ω ? k Ω s ) ] \hat{X}_a(j\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_a[j(\Omega-k\Omega_s)] X^a?(jΩ)=T1?k=??Xa?[j(Ω?kΩs?)]
其复频域关系为
X ^ a ( s ) = 1 T ∑ k = ? ∞ ∞ X a ( s ? j k Ω s ) \hat{X}_a(s)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_a(s-jk\Omega_s) X^a?(s)=T1?k=??Xa?(s?jkΩs?)

序列z变换与理想抽样信号拉普拉斯变换的关系

连续时间信号 x a ( t ) x_a(t) xa?(t),对其理想抽样得到的信号为 x ^ a ( t ) \hat{x}_a(t) x^a?(t)
x ^ a ( t ) = ∑ n = ? ∞ ∞ x a ( n T ) δ ( t ? N T ) \hat{x}_a(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_a(nT)\delta(t-NT) x^a?(t)=n=??xa?(nT)δ(t?NT)
其拉普拉斯变换 L [ x ^ a ( t ) ] = X ^ a ( s ) = ∑ n = ? ∞ ∞ x a ( n T ) e ? n s T L[\hat{x}_a(t)]=\hat{X}_a(s)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_a(nT)e^{-nsT} L[x^a?(t)]=X^a?(s)=n=??xa?(nT)e?nsT
最终表达式是通过交换积分和求和次序得到的
序列由连续时间信号抽样得到,即 x ( n ) = x a ( n T ) x(n)=x_a(nT) x(n)=xa?(nT)
X ( z ) ∣ z = e s T = X ( e s T ) = X ^ a ( s ) X(z)|_{z=e^{sT}}=X(e^{sT})=\hat{X}_a(s) X(z)z=esT?=X(esT)=X^a?(s)
z = e s T z=e^{sT} z=esT时(抽样)序列的z变换为其抽样连续时间信号的拉普拉斯变换
运用前面提到的隐含关系得到序列z变换与原始信号关系
X ( z ) ∣ z = e s T = X ^ a ( s ) = 1 T ∑ k = ? ∞ ∞ X a ( s ? j k Ω s ) X(z)|_{z=e^{sT}}=\hat{X}_a(s)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_a(s-jk\Omega_s) X(z)z=esT?=X^a?(s)=T1?k=??Xa?(s?jkΩs?)
故从s平面到z平面为多值映射关系
z变换与抽样信号s平面为一一对应关系
z变换与原信号s平面为多值映射关系

s域(的实部虚部)与z域(的模值相角)的关系

借助 z = e s T z=e^{sT} z=esT时序列z变换与理想抽样信号拉普拉斯变换相等的关系来研究z域与s域的关系,此时z域与s域存在相互映射
z = r e j w z=re^{jw} z=rejw
s = σ + j Ω s=\sigma+j\Omega s=σ+jΩ
z = e s T = e σ T ? e j Ω T = r ? e j w \begin{aligned}z=e^{sT}=&e^{\sigma T}\cdot e^{j\Omega T}\\=&r\cdot e^{jw}\end{aligned} z=esT==?eσT?ejΩTr?ejw?
有z域的模值 r = e σ T r=e^{\sigma T} r=eσT,z域模值与s域的实部有关
而z域的相角 w = Ω T w=\Omega T w=ΩT,z域相角与s域的虚部有关
e j w e^{jw} ejw w w w的周期函数,所以 z = r e j w z=re^{jw} z=rejw也是 w w w周期函数,进而与s平面上 Ω \Omega Ω也有周期关系。故s平面到z平面为多值映射关系,不是一一对应
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  • σ = 0 \sigma=0 σ=0,s平面为虚轴时,z域模值为1,对应单位圆 ∣ z ∣ = 1 |z|=1 z=1
  • σ < 0 \sigma<0 σ<0,s域为左半平面时,对应z平面单位圆内
  • δ > 0 \delta>0 δ>0,s域为右半平面时,对应z平面单位圆外
序列z变换与理想抽样信号傅立叶变换的关系

理想抽样信号 x ^ a ( t ) \hat{x}_a(t) x^a?(t)的傅立叶变换 X ^ a ( j Ω ) \hat{X}_a(j\Omega) X^a?(jΩ) 与拉普拉斯变换 X ^ a ( s ) \hat{X}_a(s) X^a?(s)的关系为 X ^ a ( j Ω ) = X ^ a ( s ) ∣ s = j Ω \hat{X}_a(j\Omega)=\hat{X}_a(s)|_{s=j\Omega} X^a?(jΩ)=X^a?(s)s=jΩ?
s = j Ω s=j\Omega s=jΩ时,对应的实部 σ = 0 \sigma=0 σ=0,对应z域的单位圆
z = e s T = ( e σ T ∣ σ = 0 ) ? e j Ω T = 1 ? e j ω z=e^{sT}=(e^{\sigma T}|_{\sigma=0})\cdot e^{j\Omega T}=1\cdot e^{j\omega} z=esT=(eσTσ=0?)?ejΩT=1?e
再利用 X ^ a ( s ) = X ( z ) ∣ z = e s T = X ( e s T ) \hat{X}_a(s)=X(z)|_{z=e^{sT}}=X(e^{sT}) X^a?(s)=X(z)z=esT?=X(esT)
X ^ a ( j Ω ) = X ( z ) ∣ z = e s T ∣ s = j Ω = X ( z ) ∣ z = e j Ω T = X ( z ) ∣ z = e j w = X ( e j w ) \hat{X}_a(j\Omega)=X(z)|_{z=e^{sT}|_{s=j\Omega}}=X(z)|_{z=e^{j\Omega T}}=X(z)|_{z=e^{jw}}=X(e^{jw}) X^a?(jΩ)=X(z)z=esTs=jΩ??=X(z)z=ejΩT?=X(z)z=ejw?=X(ejw)
序列在单位圆上的z变换等于理想抽样信号的傅立叶变换
(在前一步得到了z平面与s平面的关系,这里的条件在单位圆上就对s平面的范围进行了限制(虚轴上))
同样的得到与原始信号的关系
X ( z ) ∣ z = e j Ω T = X ( e j Ω T ) = X ( e j ω ) = X ^ a ( j Ω ) = 1 T ∑ k = ? ∞ ∞ X a ( j ω ? 2 π k T ) X(z)|_{z=e^{j\Omega T}}=X(e^{j\Omega T})=X(e^{j\omega})=\hat{X}_a(j\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_a(j\frac{\omega-2\pi k}{T}) X(z)z=ejΩT?=X(ejΩT)=X(e)=X^a?(jΩ)=T1?k=??Xa?(jTω?2πk?)

(接前面继续研究z域与s域的关系)

  • Ω = 0 \Omega=0 Ω=0,s域为实轴时,z平面为幅角为0的射线
    因此若 σ \sigma σ(模值)和 Ω \Omega Ω(相角)都确定,在s平面上的位置(一个已知),(“圆和射线取交集”),就得到了z平面上的一个

DTFT-离散时间傅立叶变换

DTFT表达式及周期性

在[[#序列z变换与理想抽样信号傅立叶变换的关系]]中得到了理想抽样信号 x ^ a ( t ) = ∑ n = ? ∞ ∞ x a ( n T ) δ ( t ? n T ) \hat{x}_a(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x_a(nT)\delta(t-nT) x^a?(t)=n=??xa?(nT)δ(t?nT)的傅立叶变换形式,对应的序列为 x ( n ) = x a ( t ) ∣ t = n T = x a ( n T ) x(n)=x_a(t)|_{t=nT}=x_a(nT) x(n)=xa?(t)t=nT?=xa?(nT),傅立叶变换 X ^ a ( j Ω ) = X ( e j w ) \hat{X}_a(j\Omega)=X(e^{jw}) X^a?(jΩ)=X(ejw)为序列 x ( n ) x(n) x(n)的离散时间傅立叶变换
D T F T [ x ( n ) ] = X ( e j w ) = X ( z ) ∣ z = e j w = ∑ n = ? ∞ ∞ x ( n ) e ? j w n DTFT[x(n)]=X(e^{jw})=X(z)|_{z=e^{jw}}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jwn} DTFT[x(n)]=X(ejw)=X(z)z=ejw?=n=??x(n)e?jwn
其反变换是在一个周期上进行积分得到的,积分区间为 [ ? π , π ] [-\pi,\pi] [?π,π]
I D T F T [ X ( e j w ) ] = x ( n ) = 1 2 π ∫ ? π π X ( e j w ) e j w n d w IDTFT[X(e^{jw})]=x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw IDTFT[X(ejw)]=x(n)=2π1??ππ?X(ejw)ejwndw
序列的离散时间傅立叶变换得到的 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw) x ( n ) x(n) x(n)频谱密度(频谱),包含幅度谱 ∣ X ( e j w ) ∣ |X(e^{jw})| X(ejw)和相位谱 a r g [ X ( e j w ) ] arg[X(e^{jw})] arg[X(ejw)] ,可以表示为 X ( e j w ) = ∣ X ( e j w ) ∣ e j a r g [ X ( e j w ) ] X(e^{jw})=|X(e^{jw})|e^{jarg[X(e^{jw})]} X(ejw)=X(ejw)ejarg[X(ejw)] ,以 2 π 2\pi 2π周期。而周期函数可以用傅立叶级数展开,可以把其定义式 ∑ n = ? ∞ ∞ x ( n ) e ? j w n \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jwn} n=??x(n)e?jwn看作是其傅立叶级数,系数为 x ( n ) x(n) x(n)

DTFT收敛性及存在条件

一致收敛(绝对可和)

序列的傅立叶变换为序列在单位圆上的z变换,由z变换的收敛域可得 X ( z ) X(z) X(z)的收敛域必须包含单位圆,在 ∣ z ∣ = 1 |z|=1 z=1处收敛,z变换收敛的条件是绝对可和,即 ∣ X ( e j w ) ∣ < ∞ |X(e^{jw})|<\infty X(ejw)<
∣ X ( e j w ) ∣ = ∣ ∑ n = ? ∞ ∞ x ( n ) e ? j w n ∣ ≤ ∑ n = ? ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ ∣ e ? j w n ∣ ≤ ∑ n = ? ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ < ∞ \begin{aligned}|X(e^{jw})|=&|\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-jwn}|\le\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)||e^{-jwn}|\\\le&\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|\\<&\infty\end{aligned} X(ejw)=<?n=??x(n)e?jwnn=??x(n)∣∣e?jwnn=??x(n)?
故有 ∑ n = ? ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ < ∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|<\infty n=??x(n)<,序列绝对可和为DTFT存在充分条件

均方收敛 (平方可和)

DTFT存在的另一充分条件
由一致收敛条件可得 [ ∑ n = ? ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ ] 2 < ∞ [\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|]^2<\infty [n=??x(n)]2<
∑ n = ? ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ 2 ≤ [ ∑ n = ? ∞ ∞ ∣ x ( n ) ∣ ] 2 < ∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty}{|x(n)|}^2\le{[\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|]}^2<\infty n=??x(n)2[n=??x(n)]2<
一致收敛可以得到均方收敛,反之不一定

非非周期序列的DTFT

周期性序列、单位阶跃序列引入冲激函数也可得到DTFT

DTFT的性质

可由z变换的性质得来,将 z z z换成 e j w e^{jw} ejw

序列的分解与对称性质
序列的分解及其分解式的表示

对于频谱也同样适用

虚实分解

一个序列可以表示成实部和虚部乘j之和
x ( n ) = R e [ x ( n ) ] + j I m [ x ( n ) ] x(n)=Re[x(n)]+jIm[x(n)] x(n)=Re[x(n)]+jIm[x(n)]
x ? ( n ) = R e [ x ( n ) ] ? j I m [ x ( n ) ] x^*(n)=Re[x(n)]-jIm[x(n)] x?(n)=Re[x(n)]?jIm[x(n)]
R e [ x ( n ) ] = 1 2 [ x ( n ) + x ? ( n ) ] Re[x(n)]=\frac{1}{2}[x(n)+x^*(n)] Re[x(n)]=21?[x(n)+x?(n)]
j I m [ x ( n ) ] = 1 2 [ x ( n ) ? x ? ( n ) ] jIm[x(n)]=\frac{1}{2}[x(n)-x^*(n)] jIm[x(n)]=21?[x(n)?x?(n)]
对于实序列 x ( n ) = x ? ( n ) x(n)=x^*(n) x(n)=x?(n)
代入 R e [ x ( n ) ] Re[x(n)] Re[x(n)] I m [ x ( n ) ] Im[x(n)] Im[x(n)]只有实部存在!

对称分解

表示成共轭对称序列和反共轭对称序列之和
x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n)=x_e(n)+x_o(n) x(n)=xe?(n)+xo?(n)
共轭对称序列满足 x e ( n ) = x e ? ( ? n ) x_e(n)=x_e^*(-n) xe?(n)=xe??(?n)
对其进行虚实分解 x e ( n ) = R e [ x e ( n ) ] + j I m [ x e ( n ) ] x_e(n)=Re[x_e(n)]+jIm[x_e(n)] xe?(n)=Re[xe?(n)]+jIm[xe?(n)]
x e ? ( ? n ) = R e [ x e ( ? n ) ] ? j I m [ x e ( ? n ) ] x_e^*(-n)=Re[x_e(-n)]-jIm[x_e(-n)] xe??(?n)=Re[xe?(?n)]?jIm[xe?(?n)]
那么有
R e [ x e ( n ) ] = R e [ x e ( ? n ) ] Re[x_e(n)]=Re[x_e(-n)] Re[xe?(n)]=Re[xe?(?n)],共轭对称序列实部为偶函数
I m [ x e ( n ) ] = ? I m [ x e ( ? n ) ] Im[x_e(n)]=-Im[x_e(-n)] Im[xe?(n)]=?Im[xe?(?n)],共轭对称序列虚部为奇函数

共轭反对称序列满足 x o ( n ) = ? x o ? ( ? n ) x_o(n)=-x_o^*(-n) xo?(n)=?xo??(?n)
R e [ x o ( n ) ] = ? R e [ x o ( ? n ) ] Re[x_o(n)]=-Re[x_o(-n)] Re[xo?(n)]=?Re[xo?(?n)],共轭反对称序列实部为奇函数
I m [ x o ( n ) ] = I m [ x o ( ? n ) ] Im[x_o(n)]=Im[x_o(-n)] Im[xo?(n)]=Im[xo?(?n)],共轭反对称序列虚部为偶函数
因此有 x ? ( ? n ) = x e ? ( ? n ) + x o ? ( ? n ) = x e ( n ) ? x o ( n ) \begin{aligned}x^*(-n)=&x_e^*(-n)+x_o^*(-n)\\=&x_e(n)-x_o(n)\end{aligned} x?(?n)==?xe??(?n)+xo??(?n)xe?(n)?xo?(n)?
x e ( n ) = 1 2 [ x ( n ) + x ? ( ? n ) ] x_e(n)=\frac{1}{2}[x(n)+x^*(-n)] xe?(n)=21?[x(n)+x?(?n)]
x o ( n ) = 1 2 [ x ( n ) ? x ? ( ? n ) ] x_o(n)=\frac{1}{2}[x(n)-x^*(-n)] xo?(n)=21?[x(n)?x?(?n)]
对于实序列,可将所有共轭号去掉,成为奇对称序列和偶对称序列分解
若序列为因果序列,可从 x e ( n ) x_e(n) xe?(n) x o ( n ) x_o(n) xo?(n)恢复出 x ( n ) x(n) x(n),通过下面的对偶关系又可以知道可以从 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)的实部或虚部得到(只用到实部或虚部中的一个,故说频谱含冗余信息)
x ( n ) = { 2 x e ( n ) n > 0 x e ( n ) n = 0 0 n < 0 x(n)=\begin{cases}2x_e(n)&n>0\\x_e(n)&n=0\\0&n<0\end{cases} x(n)=? ? ??2xe?(n)xe?(n)0?n>0n=0n<0?
或者
x ( n ) = { 2 x o ( n ) n > 0 x ( 0 ) n = 0 0 n < 0 x(n)=\begin{cases}2x_o(n)&n>0\\x(0)&n=0\\0&n<0\end{cases} x(n)=? ? ??2xo?(n)x(0)0?n>0n=0n<0?

时域与频域的对偶关系

通过DTFT作为桥梁可以在时域和频域上转化这两种分解方式
用到的重要性质: D T F T [ x ? ( n ) ] = X ? ( e ? j w ) DTFT[x^*(n)]=X^*(e^{-jw}) DTFT[x?(n)]=X?(e?jw)
( D T F T [ x ( n ) ] = X ( e j w ) DTFT[x(n)]=X(e^{jw}) DTFT[x(n)]=X(ejw)),通过这一步大大加深理解了[[#序列共轭性]]的定义和应用
x ( n ) = R e [ x ( n ) ] + j I m [ x ( n ) ] x(n)=Re[x(n)]+jIm[x(n)] x(n)=Re[x(n)]+jIm[x(n)]
X ( e j w ) = X e ( e j w ) + X o ( e j w ) X(e^{jw})=X_e(e^{jw})+X_o(e^{jw}) X(ejw)=Xe?(ejw)+Xo?(ejw)
证明:将时域形式的分解方式的两个基 R e [ x ( n ) ] Re[x(n)] Re[x(n)] j I m [ x ( n ) ] jIm[x(n)] jIm[x(n)] x ( n ) x(n) x(n) x ? ( n ) x^*(n) x?(n)表示,再对两边进行DTFT,通过找到对应的项表示成下面的形式。重要的是熟记对序列进行分解的分解项用原序列(及其共轭或反共轭)的表示方法。
x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n)=x_e(n)+x_o(n) x(n)=xe?(n)+xo?(n)
X ( e j w ) = R e [ X ( e j w ) ] + j I m [ X ( e j w ) ] X(e^{jw})=Re[X(e^{jw})]+jIm[X(e^{jw})] X(ejw)=Re[X(ejw)]+jIm[X(ejw)]

x ( n ) x(n) x(n)实序列,时域只有 R e [ x ( n ) ] Re[x(n)] Re[x(n)],则频域只有 X e ( e j w ) X_e(e^{jw}) Xe?(ejw),那么 X ( e j w ) X(e^{jw}) X(ejw)为共轭对称序列
X ( e j w ) = X ? ( e ? j w ) X(e^{jw})=X^*(e^{-jw}) X(ejw)=X?(e?jw),实部(模值)偶对称,虚部(相角)奇对称
∣ X ( e j w ) ∣ = ∣ X ( e ? j w ) ∣ |X(e^{jw})|=|X(e^{-jw})| X(ejw)=X(e?jw)
a r g [ X ( e j w ) ] = ? a r g [ X ( e ? j w ) ] arg[X(e^{jw})]=-arg[X(e^{-jw})] arg[X(ejw)]=?arg[X(e?jw)]

周期序列的DTFT

复指数序列

e j w 0 n ? ∑ i = ? ∞ ∞ 2 π δ ( w ? w 0 ? 2 π i ) e^{jw_0n}\longleftrightarrow\sum_{i=-\infty}^{\infty}2\pi\delta(w-w_0-2\pi i) ejw0?n?i=??2πδ(w?w0??2πi)
通过傅立叶反变换公式代入成立得证

常数序列

复指数序列 w 0 = 1 w_0=1 w0?=1的特殊情况
1 ? ∑ i = ? ∞ ∞ 2 π δ ( w ? 2 π i ) 1\longleftrightarrow\sum_{i=-\infty}^{\infty}2\pi\delta(w-2\pi i) 1?i=??2πδ(w?2πi)
也可以用 x ( n ) = ∑ i = ? ∞ ∞ δ ( n ? i ) x(n)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}\delta(n-i) x(n)=i=??δ(n?i)来表示

单位抽样序列

x ( n ) = ∑ i = ? ∞ ∞ δ ( n ? i N ) x(n)=\sum_{i=-\infty}^{\infty}\delta(n-iN) x(n)=i=??δ(n?iN),周期为 N N N
∑ i = ? ∞ ∞ δ ( n ? i N ) ? 2 π N ∑ k = ? ∞ ∞ δ ( w ? 2 π N k ) \sum_{i=-\infty}^{\infty}\delta(n-iN)\longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-\frac{2\pi}{N}k) i=??δ(n?iN)?N2π?k=??δ(w?N2π?k)
证明:由于 ∑ i = ? ∞ ∞ δ ( n ? i ) ? ∑ i = ? ∞ ∞ 2 π δ ( w ? 2 π i ) \sum_{i=-\infty}^{\infty}\delta(n-i)\longleftrightarrow\sum_{i=-\infty}^{\infty}2\pi\delta(w-2\pi i) i=??δ(n?i)?i=??2πδ(w?2πi)
也可以表示成 ∑ n = ? ∞ ∞ e ? j w n = ∑ i = ? ∞ ∞ 2 π δ ( w ? 2 π i ) \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-jwn}=\sum_{i=-\infty}^{\infty}2\pi\delta(w-2\pi i) n=??e?jwn=i=??2πδ(w?2πi)
(左边为1的DFFT定义式)
注意左边变量为n,如果换成i为
∑ i = ? ∞ ∞ e ? j w i = ∑ i = ? ∞ ∞ 2 π δ ( w ? 2 π i ) \sum_{i=-\infty}^{\infty}e^{-jwi}=\sum_{i=-\infty}^{\infty}2\pi\delta(w-2\pi i) i=??e?jwi=i=??2πδ(w?2πi)
D T F T [ ∑ i = ? ∞ ∞ δ ( n ? i N ) ] = ∑ n = ? ∞ ∞ [ ∑ i = ? ∞ ∞ δ ( n ? i N ) ] e ? j w n = ∑ i = ? ∞ ∞ [ ∑ n = ? ∞ ∞ δ ( n ? i N ) e ? j w n ] = ∑ i = ? ∞ ∞ e ? j w N i \begin{aligned}DTFT[\sum_{i=-\infty}^{\infty}\delta(n-iN)]=&\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\sum_{i=-\infty}^{\infty}\delta(n-iN)]e^{-jwn}\\=&\sum_{i=-\infty}^{\infty}[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(n-iN)e^{-jwn}]\\=&\sum_{i=-\infty}^{\infty}e^{-jwNi}\end{aligned} DTFT[i=??δ(n?iN)]===?n=??[i=??δ(n?iN)]e?jwni=??[n=??δ(n?iN)e?jwn]i=??e?jwNi?
这个式子的变量为i,因此套用上一条式子有
∑ i = ? ∞ ∞ e ? j ( N w ) i = ∑ i = ? ∞ ∞ 2 π δ ( N w ? 2 π i ) \sum_{i=-\infty}^{\infty}e^{-j(Nw)i}=\sum_{i=-\infty}^{\infty}2\pi\delta(Nw-2\pi i) i=??e?j(Nw)i=i=??2πδ(Nw?2πi)
冲激函数满足 δ ( a t ) = 1 ∣ a ∣ δ ( t ) \delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t) δ(at)=a1?δ(t)
因此右边写作 2 π N ∑ i = ? ∞ ∞ δ ( w ? 2 π N i ) \frac{2\pi}{N}\sum_{i=-\infty}^{\infty}\delta(w-\frac{2\pi}{N}i) N2π?i=??δ(w?N2π?i)
换成k即证

周期性序列与离散傅里叶级数

周期为N的序列 x ~ ( n ) = ∑ i = ? ∞ ∞ x ( n ? i N ) = x ( n ) ? ∑ i = ? ∞ ∞ δ ( n ? i N ) \begin{aligned}\tilde{x}(n)=&\sum_{i=-\infty}^{\infty}x(n-iN)\\=&x(n)*\sum_{i=-\infty}^{\infty}\delta(n-iN)\end{aligned} x~(n)==?i=??x(n?iN)x(n)?i=??δ(n?iN)?
为有限长序列 x ( n ) x(n) x(n)与周期为N的单位抽样序列的卷积
∑ i = ? ∞ ∞ x ( n ? i N ) ? 2 π N ∑ k = ? ∞ ∞ X ~ ( k ) δ ( w ? 2 π N k ) \sum_{i=-\infty}^{\infty}x(n-iN)\longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tilde{X}(k)\delta(w-\frac{2\pi}{N}k) i=??x(n?iN)?N2π?k=??X~(k)δ(w?N2π?k)
再利用DTFT的时域卷积性质
X ~ ( e j w ) = D T F T [ x ( n ) ] ? D T F T [ ∑ i = ? ∞ ∞ δ ( n ? i N ) ] = X ( e j w ) ? 2 π N ∑ k = ? ∞ ∞ δ ( w ? 2 π N k ) = 2 π N ∑ k = ? ∞ ∞ X ( e j 2 π N k ) δ ( w ? 2 π N k ) = 2 π N ∑ k = ? ∞ ∞ X ~ ( k ) δ ( w ? 2 π N k ) \begin{aligned}\tilde{X}(e^{jw})=&DTFT[x(n)]\cdot DTFT[\sum_{i=-\infty}^{\infty}\delta(n-iN)]\\=&X(e^{jw})\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-\frac{2\pi}{N}k)\\=&\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(e^{j\frac{2\pi}{N}k})\delta(w-\frac{2\pi}{N}k)\\=&\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tilde{X}(k)\delta(w-\frac{2\pi}{N}k)\end{aligned} X~(ejw)====?DTFT[x(n)]?DTFT[i=??δ(n?iN)]X(ejw)?N2π?k=??δ(w?N2π?k)N2π?k=??X(ejN2π?k)δ(w?N2π?k)N2π?k=??X~(k)δ(w?N2π?k)?
其在频域上是离散的,为离散傅里叶级数
其中 X ~ ( k ) \tilde{X}(k) X~(k)为离散傅里叶级数的系数,等于有限长序列 x ( n ) x(n) x(n)DTFT在某点 w = 2 π k N w=\frac{2\pi k}{N} w=N2πk?处的抽样值
X ~ ( k ) = X ( e j w ) ∣ w = 2 π N k = ∑ n = 0 N ? 1 e ? j 2 π N n k \tilde{X}(k)=X(e^{jw})|_{w=\frac{2\pi}{N}k}=\sum_{n=0}^{N-1}e^{-j\frac{2\pi}{N}nk} X~(k)=X(ejw)w=N2π?k?=n=0N?1?e?jN2π?nk
离散傅里叶级数逆变换 x ~ ( n ) = 1 N ∑ k = 0 N ? 1 X ~ ( k ) e j 2 π N k n \tilde{x}(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\tilde{X}(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn} x~(n)=N1?k=0N?1?X~(k)ejN2π?kn

离散LSI系统的频域表征

LSI系统的表示方法

  • 时域
    • 单位冲激响应 h ( n ) h(n) h(n)
    • 常系数线性差分方程
  • 频域
    • 系统函数 H ( z ) H(z) H(z)
    • 频率响应 H ( e j w ) H(e^{jw}) H(ejw)(当系统函数在z平面单位圆收敛)

LSI系统的因果、稳定条件

因果性
  • 时域
    h ( n ) = 0 , n < 0 h(n)=0,n<0 h(n)=0,n<0
  • z域
    R h ? < ∣ z ∣ ≤ ∞ R_{h^-}<|z|\le\infty Rh??<z H ( z ) H(z) H(z)收敛域在某圆外,包含无穷远
稳定性
  • 时域
    ∑ n = ? ∞ ∞ ∣ h ( n ) ∣ < ∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|<\infty n=??h(n)<
  • z域
    H ( z ) H(z) H(z)收敛域包含单位圆,即有 ∑ n = ? ∞ ∞ ∣ h ( n ) z ? n ∣ ∣ z ∣ = 1 = ∑ n = 0 ∞ ∣ h ( n ) ∣ < ∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)z^{-n}|_{|z|=1}=\sum_{n=0}^{\infty}|h(n)|<\infty n=??h(n)z?nz=1?=n=0?h(n)<
    若收敛域 ∣ z ∣ > 1 |z|>1 z>1,则缩小了累加值,不满足
因果稳定性

z域条件(充分必要):

  • 从单位圆到无穷远z平面收敛, 1 ≤ ∣ z ∣ ≤ ∞ 1\le|z|\le\infty 1z
  • H ( z ) H(z) H(z)所有极点在单位圆内
    上面主要考虑到了必要条件,也就是最小的可能从系统因果稳定推到z平面收敛域的范围
    仅考虑充分性, R h ? < 1 ≤ ∣ z ∣ < ∞ R_{h^-}<1\le|z|<\infty Rh??<1z<

LSI系统频率响应

LSI系统单位冲激响应 h ( n ) h(n) h(n)已知,输入特征函数 x ( n ) = e j w n x(n)=e^{jwn} x(n)=ejwn(复指数序列/正弦),输出为 y ( n ) = x ( n ) ? h ( n ) = ∑ m = ? ∞ ∞ h ( m ) x ( n ? m ) = e j w n ∑ m = ? ∞ ∞ h ( m ) e ? j w m = e j w n H ( e j w ) \begin{aligned}y(n)=&x(n)*h(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}h(m)x(n-m)\\=&e^{jwn}\sum_{m=-\infty}^{\infty}h(m)e^{-jwm}\\=&e^{jwn}H(e^{jw})\end{aligned} y(n)===?x(n)?h(n)=m=??h(m)x(n?m)ejwnm=??h(m)e?jwmejwnH(ejw)?

H ( e j w ) H(e^{jw}) H(ejw)称作LSI系统的特征值,为系统的频率响应
性质:输入为复指数序列/正弦序列,经过LSI系统,输出的正弦序列频率相同,但是幅度被频率响应幅度 ∣ H ( e j w ) ∣ |H(e^{jw})| H(ejw)加权(不是常数与具体的 w w w有关),相位为输入相位和系统响应相位之和
∣ e j w n ∣ = 1 |e^{jwn}|=1 ejwn=1 ∣ e j w n H ( e j w ) ∣ = H ( e j w ) |e^{jwn}H(e^{jw})|=H(e^{jw}) ejwnH(ejw)=H(ejw)
a r g [ e j w n H ( e j w ) ] = a r g [ e j w n ] + a r g [ H ( e j w ) ] arg[e^{jwn}H(e^{jw})]=arg[e^{jwn}]+arg[H(e^{jw})] arg[ejwnH(ejw)]=arg[ejwn]+arg[H(ejw)],
对于具体的某频率 w o w_o wo?的分量,经过LSI系统,频率乘 ∣ H ( e j w 0 ) ∣ |H(e^{jw_0})| H(ejw0?),相位加 a r g [ H ( e j w 0 ) ] arg[H(e^{jw_0})] arg[H(ejw0?)]

频率响应的几何确定法

系统函数 H ( z ) H(z) H(z)可以表示成 H ( z ) = K z N ? M ∏ m = 1 M z ? c m ∏ k = 1 N z ? d k \begin{aligned}H(z)=Kz^{N-M}\frac{\prod_{m=1}^{M}z-c_m}{\prod_{k=1}^{N}z-d_k}\end{aligned} H(z)=KzN?Mk=1N?z?dk?m=1M?z?cm???
z N ? M z^{N-M} zN?M项对应在z平面原点处的零点或极点,当N>M,为(N-M)阶零点;当N<M,为(M-N)阶极点

应用:根据零极点来判断滤波器形式(低通、高通、带通、带阻)

已经给出系统零极点,系统在单位圆上收敛,由使用零极点形式表示的系统函数来确定系统的幅频响应 ∣ H ( e j w ) ∣ |H(e^{jw})| H(ejw),则可根据z域上单位圆对应的 w w w的零矢(零点指向单位圆上对应 e j w e^{jw} ejw点的矢量)和极矢(极点指向单位圆上对应 e j w e^{jw} ejw点的矢量)大致画出 w ∈ [ 0 , 2 π ] w\in[0,2\pi] w[0,2π]上的 H ( e j w ) H(e^{jw}) H(ejw),判断出滤波器的类型。
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文章来源:https://blog.csdn.net/m0_61334144/article/details/135753311
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