前缀和(一维+二维)

发布时间:2024年01月23日

原数组为a[N],前缀和数组s[i]表示原数组前i个元素的和。

s[1] = a[1]

s[2] = a[1] + a[2]

s[3] = a[1] + a[2] + a[3].....

那么前缀和有什么用处呢?如果我们想知道l - r元素所对应的原数组的和应该如何表示?

例如a[2] + a[3] + a[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] - a[1] = s[4] - s[1]

? a[l] + a[l + 1] +...+a[r] = a[1] +...+a[l - 1] + a[l] + a[l + 1] +...+a[r] - (a[1] +...+a[l - 1]) = s[r] - s[l - 1]

所以根据前缀和的性质我们可以计算出数组的一段区间内的和,那么如何求得前缀和数组呢?

for(int i = 1;i <= n;i++)  
    s[i] = s[i - 1] + a[i];

这里通过不断的递推得到前缀和数组,那么请看完整代码:

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1000;
int n,m;
int a[N],s[N];
int main()
{
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= n;i++)  cin >> a[i];
	for(int i = 1;i <= n;i++)  s[i] = s[i - 1] + a[i];
	while(m--)
	{
		int l,r;
		cin >> l >> r;
		printf("%d",s[r] - s[l - 1]);
	}
	return 0;
}

咱们现在学会了一维的前缀和,那么如果我们想要求得矩阵内一块面积内所有数的和呢?

这个时候咱们就要构造前缀和矩阵,利用前缀和的性质求某一段或某一块的数的和。

假设a[N][N]为原矩阵,s[N][N]为a的前缀和矩阵:

s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] +a[i][j]

其推导过程可以将前缀和矩阵s[i][j]看做从原点到(i,j)所拉成的面积,那么通过面积的重叠与作差就可以得到所求的s[i][j]。

那么求(x1,y1)为左上角坐标与(x2,y2)为右下角坐标的子矩阵的所有数的和等价于这一子矩阵的面积:

S = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]

?为什么要减去1呢?因为如果咱们想要x1行上与y1列上的元素,咱们就要减去x1 - 1行与y1 - 1列的元素。

如何求前缀和矩阵呢?这里就需要用到动态规划的思想:

for(int i = 0;i <= a;i++)
	for(int j = 0;j <= b;j++)
		g[i][j] += g[i - 1][j] + g[i][j - 1] - g[i - 1][j - 1];

既然学到这里,咱们给个例题来思考一下:

(激光炸弹)

输入一个矩阵a[][],给一个正方形,其边长为R,请你找到能让其正方形(边与矩阵平行)内的数的和最大。

输入矩阵和R

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1000;
int g[N][N];
int main()
{
	int n,R;
	cin >> n >> R;
	int a = R,b = R;
	for(int i = 0,x,y,w;i < N;i++)
	{
		cin >> x >> y >> w;
		x++,y++;
		a = max(a,x),b = max(b,y);  //判断边界
		g[x][y] += w;  //原矩阵存数
	}
	for(int i = 0;i <= a;i++)
		for(int j = 0;j <= b;j++)
			g[i][j] += g[i - 1][j] + g[i][j - 1] - g[i - 1][j - 1];//前缀和矩阵(DP)
	int res = 0;//计数
	for(int i = R;i <= n;i++)//不能小于R
	{
		for(int j = R;j <= n;j++)
		{
			res = max(res,g[i][j] - g[i - R][j] - g[i][j - R] + g[i - R][j - R]); //筛选最大的方矩阵值
		}
	}	
	cout << res << endl;
	return 0;	
}

?好了,本期内容就到这里了,下期内容会分享有关差分的知识以及前缀和与差分的关系,感谢收看,记得三连支持。

文章来源:https://blog.csdn.net/2302_79840586/article/details/135763389
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