原数组为a[N],前缀和数组s[i]表示原数组前i个元素的和。
s[1] = a[1]
s[2] = a[1] + a[2]
s[3] = a[1] + a[2] + a[3].....
那么前缀和有什么用处呢？如果我们想知道l - r元素所对应的原数组的和应该如何表示？
例如a[2] + a[3] + a[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] - a[1] = s[4] - s[1]
? a[l] + a[l + 1] +...+a[r] = a[1] +...+a[l - 1] + a[l] + a[l + 1] +...+a[r] - (a[1] +...+a[l - 1]) = s[r] - s[l - 1]
所以根据前缀和的性质我们可以计算出数组的一段区间内的和，那么如何求得前缀和数组呢？
for(int i = 1;i <= n;i++)
s[i] = s[i - 1] + a[i];这里通过不断的递推得到前缀和数组，那么请看完整代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1000;
int n,m;
int a[N],s[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> a[i];
for(int i = 1;i <= n;i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];
while(m--)
{
int l,r;
cin >> l >> r;
printf("%d",s[r] - s[l - 1]);
}
return 0;
}咱们现在学会了一维的前缀和，那么如果我们想要求得矩阵内一块面积内所有数的和呢？
这个时候咱们就要构造前缀和矩阵，利用前缀和的性质求某一段或某一块的数的和。
假设a[N][N]为原矩阵，s[N][N]为a的前缀和矩阵：
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] +a[i][j]
其推导过程可以将前缀和矩阵s[i][j]看做从原点到（i，j）所拉成的面积，那么通过面积的重叠与作差就可以得到所求的s[i][j]。
那么求(x1,y1)为左上角坐标与(x2,y2)为右下角坐标的子矩阵的所有数的和等价于这一子矩阵的面积：
S = s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]
?为什么要减去1呢？因为如果咱们想要x1行上与y1列上的元素，咱们就要减去x1 - 1行与y1 - 1列的元素。
如何求前缀和矩阵呢？这里就需要用到动态规划的思想：
for(int i = 0;i <= a;i++)
for(int j = 0;j <= b;j++)
g[i][j] += g[i - 1][j] + g[i][j - 1] - g[i - 1][j - 1];既然学到这里，咱们给个例题来思考一下：
（激光炸弹）
输入一个矩阵a[][]，给一个正方形，其边长为R，请你找到能让其正方形(边与矩阵平行)内的数的和最大。
输入矩阵和R
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1000;
int g[N][N];
int main()
{
int n,R;
cin >> n >> R;
int a = R,b = R;
for(int i = 0,x,y,w;i < N;i++)
{
cin >> x >> y >> w;
x++,y++;
a = max(a,x),b = max(b,y); //判断边界
g[x][y] += w; //原矩阵存数
}
for(int i = 0;i <= a;i++)
for(int j = 0;j <= b;j++)
g[i][j] += g[i - 1][j] + g[i][j - 1] - g[i - 1][j - 1];//前缀和矩阵(DP)
int res = 0;//计数
for(int i = R;i <= n;i++)//不能小于R
{
for(int j = R;j <= n;j++)
{
res = max(res,g[i][j] - g[i - R][j] - g[i][j - R] + g[i - R][j - R]); //筛选最大的方矩阵值
}
}
cout << res << endl;
return 0;
}?好了，本期内容就到这里了，下期内容会分享有关差分的知识以及前缀和与差分的关系，感谢收看，记得三连支持。