Transformation
Transformation
Transformation
1. Why do we study transformation?
Modeling Transformation（模型变换）、Viewing Transformation（视图变换）
Modeling：translation
Modeling：rotation
Modeling：scaling
Viewing：（3D to 2D）projection
2. 2D Transformations
representing transformations using matrices
rotation、scale、shear
2.1 Scale Transform
Scale Transform
x
′
=
s
x
?
y
′
=
s
y
x'=sx\\~ y'=sy
x′=sx?y′=sy
Scale Matrix
2.2 Reflection Transform
Reflection Matrix
2.3 Shear Transform
Shear Matrix
2.4 Rotation Transform
2.5 Linear Transform
Linear Transforms = Matrices （of the same dimension）
2.6 Inverse Transform
Inverse Transform
2.7 Composite Transform
Composite Transform（组合变换）
变换顺序很重要，由于矩阵乘法一般不满足交换律
A
?
B
≠
B
?
A
A\cdot B\neq B\cdot A
A?B=B?A
从右向左变换
多次变换，可以从
A
1
A_1
A1?到
A
n
A_n
An?先乘起来得到一个矩阵，让这个矩阵乘向量，把向量做变换
2.8 Decomposing Complex Transform
移动图形使得其某一点处于原点，对其进行旋转操作，最后再次移动会原来位置
3. Homogeneous Coordinate
translation
无法使用一个矩阵表示平移变换（不是线性变换），由此引入齐次坐标，使得平移变换可以用一个矩阵表示
齐次坐标中若写1则表示该向量表示点，若写0则表示该向量表示向量
齐次坐标下点+点=两点间中点
Affine Transformation（仿射变换）
齐次坐标下的二维变换的各种变换矩阵
4. 3D Transformations
类比 2D Transformation
变换顺序：先应用线性变换后平移
4.1 Scaling，Translation
缩放变换与平移变换
4.1 Rotation
4.1.1 Fixed axes
绕固定轴旋转
xyzxyz
x叉乘y得到z，则
R
x
、
R
y
、
R
z
R_x、R_y、R_z
Rx?、Ry?、Rz?内四个三角函数位置都一样
xyzxyz
x叉乘z得到-y，
R
y
R_y
Ry?与
R
x
、
R
z
R_x、R_z
Rx?、Rz?内四个三角函数位置不一样
4.1.2 Euler
绕任意轴的旋转可以分解为绕三轴的旋转
4.1.3 Rodrigues
本人博客：罗德里格斯公式推导
若轴
n
n
n不经过原点，我们可以先将其移动到原点，经过旋转操作后，再将其移动到初始位置
N是叉乘的矩阵形式为反对称矩阵
a
?
=
(
a
1
，
b
1
，
c
1
)
T
\vec{a}=(a_1，b_1，c_1)^T
a=(a1?，b1?，c1?)T、
b
?
=
(
a
2
，
b
2
，
c
2
)
T
\vec{b}=(a_2，b_2，c_2)^T
b=(a2?，b2?，c2?)T
c
?
=
a
?
×
b
?
?
=
∣
i
j
k
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
∣
?
=
(
a
2
b
3
?
a
3
b
2
?
(
a
1
b
3
?
a
3
b
1
)
a
1
b
2
?
a
2
b
1
)
?
=
(
0
?
a
3
a
2
a
3
0
?
a
1
?
a
2
a
1
0
)
(
b
1
b
2
b
3
)
\vec{c}=\vec{a}×\vec{b}\\ ~\\ =\left | \begin{matrix} i & j & k \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ \end{matrix} \right | \\ ~\\ =\begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ -(a_1b_3-a_3b_1)\\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}\\ ~\\ =\begin{pmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1\\ -a_2 & a_1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}
c=a×b?=
?ia1?a2??jb1?b2??kc1?c2??
??=
?a2?b3??a3?b2??(a1?b3??a3?b1?)a1?b2??a2?b1??
??=
?0a3??a2???a3?0a1??a2??a1?0?
?
?b1?b2?b3??
?
4.1.4 Quaternion
四元数的引入更多是为了旋转与旋转之间的插值
本人博客：四元数公式推导
5. Viewing transformation（观测变换）
5.1 View（视图）/Camera transformation
Model transformation、View transformation、Projection transformation 简称MVP变换
相机位置、相机镜头朝向、相机镜头垂直方向（如果相机旋转则拍出照片不一样，所以需要用此方向标识）
相机和所拍摄物体如果同时做相同变换，则拍摄的照片相同，所以将相机固定在原点
利用view变换矩阵将相机变换到原点，使其三轴方向与坐标系吻合
先平移后旋转，但这个由这个etg三轴旋转到xy-z不好求，但我们可以反过来思考，由xy-z旋转到etg的方向，然后求逆得到etg旋转到xy-z方向的旋转矩阵（正交矩阵的逆为其转置）
5.2 Projection（投影）transformation
正交投影并没有近大远小特点，而透视投影有此特点
透视投影中相机离物体近，正交投影中相机离物体无限远
5.2.1 Orthographic（正交） projection
物体在长方体（空间）内，将物体（包含其内的物体）平移到原点（物体中心与原点重合），缩放长方体（包含其内的物体）各边为2（由于标准的cube边范围为[-1,1]），经过变换后长方体内的物体，然后进行正交投影（从z轴看向负方向），此时的投影是被拉伸过的，把投影再作视口变换（缩放到屏幕宽高），最终得到正确的投影
为什么要把物体放到cube中？因为只有缩放到[-1,1]范围内，屏幕上物体才能显示完全
下图中x=l（left plane）、x=r（right plane）、y=b（bottom plane）、y=t（top plane）、z=n（near plane）、z=f（far plane）
5.2.2 Perspective（透视）projection
透视投影近大远小，平行线不再平行，收敛到同一个点
定义视锥Frustum需要可视角度、宽高比
视场角FOV：你所能看到的视野范围，此范围用宽高定义
下图来自：视锥体剔除（Frustum Culling）算法详解
给定FOV和宽高比就能得到l，r，b，t（各个平面的部分坐标值）
x=l（left plane）、x=r（right plane）、y=b（bottom plane）、y=t（top plane）、z=n（near plane）、z=f（far plane）
类比正交投影，我们也定义near plane 和 far plane
透视投影过程：将视锥Frustum挤压为Cuboid，随后进行正交投影
物体在视锥Frustum内部，挤压Frustum的同时，物体也被挤压
物体在视锥Frustum内部，挤压Frustum的同时，物体也被挤压，挤压过程中near plane上的所有点不变，far plane的中心点位置不变，z坐标不变，y坐标变，而在n与f plane之间的点(x，y，z)坐标均变化，也就是物体上的点坐标均变化
在挤压过程中near plane上所有点坐标均不变，far plane上z坐标不变
（1）我们先来看看从near plane上所有点坐标均不变这条信息能够让我们得知有关M矩阵的哪些信息？
near平面上点的坐标齐次形式
(
x
,
y
,
n
,
1
)
T
(x,y,n,1)^T
(x,y,n,1)T挤压过程中不变仍为
(
x
,
y
,
n
,
1
)
T
(x,y,n,1)^T
(x,y,n,1)T，齐次坐标乘n后
(
n
x
,
n
y
,
n
2
,
n
)
T
(nx,ny,n^2,n)^T
(nx,ny,n2,n)T仍表示三维空间点
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)
M
persp->ortho
?
(
n
x
,
n
y
,
n
2
,
n
)
T
=
(
n
x
,
n
y
,
n
2
,
n
)
T
M_{\text{persp->ortho}}\cdot (nx,ny,n^2,n)^T=(nx,ny,n^2,n)^T
Mpersp->ortho??(nx,ny,n2,n)T=(nx,ny,n2,n)T（矩阵第三行与坐标相乘结果为
n
2
n^2
n2）
M
persp->ortho
M_{\text{persp->ortho}}
Mpersp->ortho?的第三行形式为
(
0
,
0
,
a
,
b
)
(0,0,a,b)
(0,0,a,b)
(
0
,
0
,
a
,
b
)
?
(
x
,
y
,
n
,
1
)
T
=
n
2
(0,0,a,b)\cdot (x,y,n,1)^T=n^2
(0,0,a,b)?(x,y,n,1)T=n2
得到式子：
a
n
+
b
=
n
2
an+b=n^2
an+b=n2
（2）接下来我们看看far plane上z坐标不变这条信息能够让我们得知关于M矩阵的哪些信息？
far平面z坐标的值为
f
f
f，far 平面上中心点的坐标齐次形式
(
0
,
0
,
f
,
1
)
T
(0,0,f,1)^T
(0,0,f,1)T将其乘f得到
(
0
,
0
,
f
2
,
f
)
T
(0,0,f^2,f)^T
(0,0,f2,f)T
M
persp->ortho
?
(
0
,
0
,
f
2
,
f
)
T
=
(
0
,
0
,
f
2
,
f
)
T
M_{\text{persp->ortho}}\cdot (0,0,f^2,f)^T=(0,0,f^2,f)^T
Mpersp->ortho??(0,0,f2,f)T=(0,0,f2,f)T（矩阵第三行与坐标相乘结果为
f
2
f^2
f2）
M
persp->ortho
M_{\text{persp->ortho}}
Mpersp->ortho?的第三行形式为
(
0
,
0
,
a
,
b
)
(0,0,a,b)
(0,0,a,b)
(
0
,
0
,
a
,
b
)
?
(
0
,
0
,
f
2
,
f
)
T
=
f
2
(0,0,a,b)\cdot (0,0,f^2,f)^T=f^2
(0,0,a,b)?(0,0,f2,f)T=f2
得到式子：
a
f
+
b
=
f
2
af+b=f^2
af+b=f2
{
a
n
+
b
=
n
2
a
f
+
b
=
f
2
?
a
=
n
+
f
、
b
=
?
n
f
\begin{cases} an+b=n^2\\ af+b=f^2 \end{cases}\\ ~\\ a=n+f、b=-nf
{an+b=n2af+b=f2??a=n+f、b=?nf
最终
M
persp->ortho
=
(
n
0
0
0
0
n
0
0
0
0
n
+
f
?
n
f
0
0
0
1
)
M_{\text{persp->ortho}}=\left( \begin{array} {cccc} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0 & 0& 0&1 \end{array} \right)
Mpersp->ortho?=
?n000?0n00?00n+f0?00?nf1?
?
挤压完成后，下一步进行正交投影
M
ortho
M_{\text{ortho}}
Mortho?
透视投影矩阵
M
perp
=
M
ortho
M
persp->ortho
?
=
(
2
r
?
l
0
0
?
r
+
l
r
?
l
0
2
t
?
b
0
?
t
+
b
t
?
b
0
0
2
n
?
f
?
n
+
f
n
?
f
0
0
0
1
)
(
n
0
0
0
0
n
0
0
0
0
n
+
f
?
n
f
0
0
0
1
)
?
M
perp
=
(
2
n
r
?
l
0
l
+
r
l
?
r
0
0
2
n
t
?
b
b
+
t
b
?
t
0
0
0
n
+
f
n
?
f
2
f
n
f
?
n
0
0
1
0
)
M_{\text{perp}}=M_{\text{ortho}}M_{\text{persp->ortho}}\\ ~\\ =\left( \begin{array} {cccc} \frac{2}{r-l}&0&0&-\frac{r+l}{r-l}\\ 0&\frac{2}{t-b}&0&-\frac{t+b}{t-b}\\ 0&0&\frac{2}{n-f}&-\frac{n+f}{n-f}\\ 0 & 0& 0&1 \end{array} \right) \left( \begin{array} {cccc} n&0&0&0\\ 0&n&0&0\\ 0&0&n+f&-nf\\ 0 & 0& 0&1 \end{array} \right)\\ ~\\ M_{\text{perp}}=\left( \begin{array} {cccc} \frac{2n}{r-l}&0&\frac{l+r}{l-r}&0\\ 0&\frac{2n}{t-b}&\frac{b+t}{b-t}&0\\ 0&0&\frac{n+f}{n-f}&\frac{2fn}{f-n}\\ 0 & 0& 1&0 \end{array} \right)
Mperp?=Mortho?Mpersp->ortho??=
?r?l2?000?0t?b2?00?00n?f2?0??r?lr+l??t?bt+b??n?fn+f?1?
?
?n000?0n00?00n+f0?00?nf1?
??Mperp?=
?r?l2n?000?0t?b2n?00?l?rl+r?b?tb+t?n?fn+f?1?00f?n2fn?0?
?
视口变换矩阵
M
viewport
=
(
width
2
0
0
width
2
0
height
2
0
height
2
0
0
1
0
0
0
0
1
)
M_{\text{viewport}}=\left( \begin{array} {cccc} \frac{\text{width}}{2}&0&0&\frac{\text{width}}{2}\\ 0&\frac{\text{height}}{2}&0&\frac{\text{height}}{2}\\ 0&0&1&0\\ 0 & 0& 0&1 \end{array} \right)
Mviewport?=
?2width?000?02height?00?0010?2width?2height?01?
?
综上：将空间中任意物体在屏幕上显示的变换矩阵M（MVP变换）
M
=
M
view
M
perp
M
cam
M
model
M=M_{\text{view}}M_{\text{perp}}M_{\text{cam}}M_{\text{model}}
M=Mview?Mperp?Mcam?Mmodel?
M
model
M_{\text{model}}
Mmodel?将3D物体移动到某个位置（modeling transformation）
M
cam
M_{\text{cam}}
Mcam?相机选择合适角度（Camera transformation）
M
perp
M_{\text{perp}}
Mperp?视锥Frustum中的物体 变换为 标准立方体canonical cube中的物体（Projection transformation中的Perspective transformation）
M
view
M_{\text{view}}
Mview?视口变换主是将视景体内投影的物体显示到二维的视口平面上（Viewport transformation）
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