? Conmajia, 2016
Miscellaneous 167.4
养猪的人，一般并不会等着猪猪长到最肥最大的时候才买，而是提前在某个时间就卖了。虽然猪猪还没有完全长大，但养猪人的利润却能达到最高。这是为什么呢？考虑到有些逆天跟猪差不多算是同行，在这里讨论这个问题感觉也是合理的。
为什么喂猪的人要在猪还没完全长大的时候卖掉？根据常识，猪越长大吃得就越多，饲料费会上涨。在市场价格固定的时候，卖猪的价格和饲料费之间会有一个峰值，在这个时机卖掉笨猪，就能得到最大化利益。
假设一头猪仔卖价 c 0 c_0 c0? 每斤，用 f ( t ) f(t) f(t) 表示猪仔在 t t t 时刻的体重。刚生下来的猪仔体重是 f ( 0 ) = x 0 f(0)=x_0 f(0)=x0?，它能长到的最大体重为 x m x_{m} xm?。养猪人在猪仔长到 x s x_{s} xs? 体重的时候卖掉它，期间累计的饲养费用 g ( t ) g(t) g(t) 表示。
猪仔虽然很笨，但是憨吃憨胀，肉长得很快。它的体重增长会呈现逐渐减速的趋势，直到最大体重 x m x_{m} xm?，也就是说 f ( t ) ? f ( t ? Δ t ) → 0 f(t)-f(t-\Delta t)\to 0 f(t)?f(t?Δt)→0。假设
f ′ ( t ) = d x d t = a ( 1 ? x x m ) , (167.4.1) f'(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a\left(1-\frac{x}{x_{m}}\right), \tag{167.4.1} f′(t)=dtdx?=a(1?xm?x?),(167.4.1)
式中， f ′ ( t ) = d f / d t f'(t)=\mathrm{d}f/\mathrm{d}t f′(t)=df/dt。
猪仔长得越大，吃的饲料就越多，直到发育成熟，食量就固定下来了，此时饲料费设为 λ \lambda λ。
又假设
g ′ ( t ) = d g d t = λ ? b ( 1 ? x x m ) , (167.4.2) g'(t)=\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t}=\lambda-b\left(1-\frac{x}{x_{m}}\right), \tag{167.4.2} g′(t)=dtdg?=λ?b(1?xm?x?),(167.4.2)
式中， g ′ ( t ) = d g / d t g'(t)=\mathrm{d}g/\mathrm{d}t g′(t)=dg/dt。
展开 ( 167.4.1 ) (167.4.1) (167.4.1)，
d x x m ? x = a d t x m \frac{\mathrm{d}x}{x_{m}-x}=\frac{a\mathrm{d}t}{x_{m}} xm??xdx?=xm?adt?
两边取对数，
ln ? ( x m ? x ) = c ? a t x m \ln(x_{m}-x)=c-\frac{at}{x_{m}} ln(xm??x)=c?xm?at?
代入 f ( 0 ) = x 0 f(0)=x_0 f(0)=x0?， c = ln ? ( x m ? x 0 ) c=\ln(x_{m}-x_0) c=ln(xm??x0?)，
ln ? ( x m ? x x m ? x 0 ) = ? a t x m \ln\left(\frac{x_{m}-x}{x_{m}-x_0}\right)=-\frac{at}{x_{m}} ln(xm??x0?xm??x?)=?xm?at?
于是，
x m ? x = ( x m ? x 0 ) exp ? ( ? a t x m ) . x_{m}-x=(x_{m}-x_0)\exp{\left(-\frac{at}{x_{m}}\right)}. xm??x=(xm??x0?)exp(?xm?at?).
因此可得
x = f ( t ) = x m ? ( x m ? x 0 ) exp ? ( ? a x m t ) . (167.4.3) x=f(t)=x_{m}-(x_{m}-x_0)\exp{\left(-\frac{a}{x_{m}}t\right)}. \tag{167.4.3} x=f(t)=xm??(xm??x0?)exp(?xm?a?t).(167.4.3)
代入 ( 167.4.2 ) (167.4.2) (167.4.2) 求积分可得
g ′ ( t ) = λ ? b ( x m ? x 0 ) x m exp ? ( ? a t x m ) ? g ( t ) = λ t + b ( x m ? x 0 ) a exp ? ( ? a t x m ) + C . \begin{align} g'(t)&=\lambda-\frac{b(x_m-x_0)}{x_m}\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)} \notag \\ \Rightarrow\quad g(t)&=\lambda t+\frac{b(x_m-x_0)}{a}\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}+C. \tag{167.4.4} \end{align} g′(t)?g(t)?=λ?xm?b(xm??x0?)?exp(?xm?at?)=λt+ab(xm??x0?)?exp(?xm?at?)+C.?(167.4.4)?
C C C 可令 g ( 0 ) = c 0 x 0 g(0)=c_0x_0 g(0)=c0?x0? 求得，
C = c 0 x 0 ? b ( x m ? x 0 ) a . C=c_0x_0-\frac{b(x_m-x_0)}{a}. C=c0?x0??ab(xm??x0?)?.
因此，
g ( t ) = λ t ? b ( x m ? x 0 ) a [ 1 ? exp ? ( ? a t x m ) ] + c 0 x 0 . g(t)=\lambda t-\frac{b\left(x_m-x_0\right)}{a}\left[1-\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}\right]+c_0x_0. g(t)=λt?ab(xm??x0?)?[1?exp(?xm?at?)]+c0?x0?.
综上，可得猪仔长到 x s x_{s} xs? 需要时间
x s = x m ? ( x m ? x 0 ) exp ? ( ? a t x m ) x m ? x 0 = ( x m ? x 0 ) exp ? ( ? a t x m ) ? t s = x m a ln ? ( x m ? x 0 x m ? x s ) . \begin{align} x_{s}&=x_{m}-(x_{m}-x_0)\exp{\left(-\frac{at}{x_{m}}\right)} \notag \\ x_{m}-x_0&=(x_{m}-x_0)\exp{\left(-\frac{at}{x_{m}}\right)} \notag \\ \Rightarrow\quad t_{s}&=\frac{x_{m}}{a}\ln\left(\frac{x_{m}-x_0}{x_{m}-x_{s}}\right). \tag{167.4.5} \end{align} xs?xm??x0??ts??=xm??(xm??x0?)exp(?xm?at?)=(xm??x0?)exp(?xm?at?)=axm??ln(xm??xs?xm??x0??).?(167.4.5)?
若卖猪的利润为 p ( t ) p(t) p(t)，有
p ( t ) = c f ( t ) ? g ( t ) = c [ x m ? ( x m ? x 0 ) exp ? ( ? a t x m ) ] ? [ λ t ? b ( x m ? x 0 ) a [ 1 ? exp ? ( ? a t x m ) ] + c 0 x 0 ] = exp ? ( ? a t x m ) [ ? c ( x m ? x 0 ) ? b ( x m ? x 0 ) a ] + [ c x m ? λ t + b ( x m ? x 0 ) a ? c 0 x 0 ] = b + a c a [ exp ? ( ? a t x m ) ( x 0 ? x m ) + x m ] ? λ t ? b x 0 a ? c 0 x 0 , \begin{align} p(t)=&cf(t)-g(t) \notag \\ =&c\left[x_m-(x_m-x_0)\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}\right] \notag \\ &-\left[\lambda t-\frac{b\left(x_m-x_0\right)}{a}\left[1-\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}\right]+c_0x_0\right]\notag \\ =&\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}\left[-c(x_m-x_0)-\frac{b(x_m-x_0)}{a}\right]\notag\\ &+\left[cx_m-\lambda t+\frac{b(x_m-x_0)}{a}-c_0x_0\right]\notag \\ =&\dfrac{b+ac}{a}\left[\exp\left(-\dfrac{at}{x_{m}}\right)\left(x_{0}-x_{m}\right)+x_{m}\right]-\lambda t-\dfrac{bx_{0}}{a}-c_{0}x_{0}, \tag{167.4.6} \end{align} p(t)====?cf(t)?g(t)c[xm??(xm??x0?)exp(?xm?at?)]?[λt?ab(xm??x0?)?[1?exp(?xm?at?)]+c0?x0?]exp(?xm?at?)[?c(xm??x0?)?ab(xm??x0?)?]+[cxm??λt+ab(xm??x0?)??c0?x0?]ab+ac?[exp(?xm?at?)(x0??xm?)+xm?]?λt?abx0???c0?x0?,?(167.4.6)?
可得 p ( t ) p(t) p(t) 最大值
d p d t = x m ? x 0 x m ( c a + b ) exp ? ( ? a t x m ) ? λ . (167.4.7) \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\frac{x_m-x_0}{x_m}(ca+b)\exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}-\lambda.\tag{167.4.7} dtdp?=xm?xm??x0??(ca+b)exp(?xm?at?)?λ.(167.4.7)
令 d p / d t = 0 \mathrm{d}p/\mathrm{d}t=0 dp/dt=0，
exp ? ( ? a t x m ) = λ x m ( x m ? x 0 ) ( c a + b ) . (167.4.8) \exp{\left(-\frac{at}{x_m}\right)}=\frac{\lambda x_m}{(x_m-x_0)(ca+b)}.\tag{167.4.8} exp(?xm?at?)=(xm??x0?)(ca+b)λxm??.(167.4.8)
由 ( 167.4.8 ) (167.4.8) (167.4.8) 得
t = x m a ln ? ( x m ? x 0 ) ( c a + b ) λ x m , (167.4.9) t=\frac{x_m}{a}\ln\frac{(x_m-x_0)(ca+b)}{\lambda x_m}, \tag{167.4.9} t=axm??lnλxm?(xm??x0?)(ca+b)?,(167.4.9)
即为最佳卖猪时间。
苏醒了，猎杀时刻。——《屠猪英雄传》
? Conmajia, 2016