代码随想录算法训练DAY28|回溯4

发布时间：2024年01月24日

算法训练DAY28|回溯4

93.复原IP地址

力扣题目链接

给定一个只包含数字的字符串，复原它并返回所有可能的 IP 地址格式。

有效的 IP 地址正好由四个整数（每个整数位于 0 到 255 之间组成，且不能含有前导 0），整数之间用 '.' 分隔。

例如："0.1.2.201" 和 "192.168.1.1" 是有效的 IP 地址，但是 "0.011.255.245"、"192.168.1.312" 和 "192.168@1.1" 是无效的 IP 地址。

示例 1：

输入：s = "25525511135"
输出：["255.255.11.135","255.255.111.35"]

示例 2：

输入：s = "0000"
输出：["0.0.0.0"]

示例 3：

输入：s = "1111"
输出：["1.1.1.1"]

示例 4：

输入：s = "010010"
输出：["0.10.0.10","0.100.1.0"]

示例 5：

输入：s = "101023"
输出：["1.0.10.23","1.0.102.3","10.1.0.23","10.10.2.3","101.0.2.3"]

提示：

0 <= s.length <= 3000
s 仅由数字组成

#思路

切割问题可以抽象为树型结构，如图：

93.复原IP地址

#回溯三部曲

递归参数

startIndex一定是需要的，因为不能重复分割，记录下一层递归分割的起始位置。

本题我们还需要一个变量pointNum，记录添加逗点的数量。

所以代码如下：

vector<string> result;// 记录结果
// startIndex: 搜索的起始位置，pointNum:添加逗点的数量
void backtracking(string& s, int startIndex, int pointNum) {

递归终止条件

终止条件和131.分割回文串?情况就不同了，本题明确要求只会分成4段，所以不能用切割线切到最后作为终止条件，而是分割的段数作为终止条件。

pointNum表示逗点数量，pointNum为3说明字符串分成了4段了。

然后验证一下第四段是否合法，如果合法就加入到结果集里

代码如下：

if (pointNum == 3) { // 逗点数量为3时，分隔结束
 ? ?// 判断第四段子字符串是否合法，如果合法就放进result中
 ? ?if (isValid(s, startIndex, s.size() - 1)) {
 ? ? ? ?result.push_back(s);
 ?  }
 ? ?return;
}

单层搜索的逻辑

在for (int i = startIndex; i < s.size(); i++)循环中 [startIndex, i] 这个区间就是截取的子串，需要判断这个子串是否合法。

如果合法就在字符串后面加上符号.表示已经分割。

如果不合法就结束本层循环，如图中剪掉的分支：

93.复原IP地址

然后就是递归和回溯的过程：

递归调用时，下一层递归的startIndex要从i+2开始（因为需要在字符串中加入了分隔符.），同时记录分割符的数量pointNum 要 +1。

回溯的时候，就将刚刚加入的分隔符. 删掉就可以了，pointNum也要-1。

代码如下：

for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
 ? ?if (isValid(s, startIndex, i)) { // 判断 [startIndex,i] 这个区间的子串是否合法
 ? ? ? ?s.insert(s.begin() + i + 1 , '.'); ?// 在i的后面插入一个逗点
 ? ? ? ?pointNum++;
 ? ? ? ?backtracking(s, i + 2, pointNum); ? // 插入逗点之后下一个子串的起始位置为i+2
 ? ? ? ?pointNum--; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? // 回溯
 ? ? ? ?s.erase(s.begin() + i + 1); ? ? ? ? // 回溯删掉逗点
 ?  } else break; // 不合法，直接结束本层循环
}

#判断子串是否合法

最后就是在写一个判断段位是否是有效段位了。

主要考虑到如下三点：

段位以0为开头的数字不合法
段位里有非正整数字符不合法
段位如果大于255了不合法

代码如下：

// 判断字符串s在左闭又闭区间[start, end]所组成的数字是否合法
bool isValid(const string& s, int start, int end) {
 ? ?if (start > end) {
 ? ? ? ?return false;
 ?  }
 ? ?if (s[start] == '0' && start != end) { // 0开头的数字不合法
 ? ? ? ? ? ?return false;
 ?  }
 ? ?int num = 0;
 ? ?for (int i = start; i <= end; i++) {
 ? ? ? ?if (s[i] > '9' || s[i] < '0') { // 遇到非数字字符不合法
 ? ? ? ? ? ?return false;
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?num = num * 10 + (s[i] - '0');
 ? ? ? ?if (num > 255) { // 如果大于255了不合法
 ? ? ? ? ? ?return false;
 ? ? ?  }
 ?  }
 ? ?return true;
}

根据关于回溯算法，你该了解这些！?给出的回溯算法模板：

void backtracking(参数) {
 ?  if (终止条件) {
 ? ? ?  存放结果;
 ? ? ?  return;
 ?  }
?
 ?  for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
 ? ? ?  处理节点;
 ? ? ?  backtracking(路径，选择列表); // 递归
 ? ? ?  回溯，撤销处理结果
 ?  }
}

可以写出如下回溯算法C++代码：

class Solution {
private:
 ? ?vector<string> result;// 记录结果
 ? ?// startIndex: 搜索的起始位置，pointNum:添加逗点的数量
 ? ?void backtracking(string& s, int startIndex, int pointNum) {
 ? ? ? ?if (pointNum == 3) { // 逗点数量为3时，分隔结束
 ? ? ? ? ? ?// 判断第四段子字符串是否合法，如果合法就放进result中
 ? ? ? ? ? ?if (isValid(s, startIndex, s.size() - 1)) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?result.push_back(s);
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ? ?return;
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
 ? ? ? ? ? ?if (isValid(s, startIndex, i)) { // 判断 [startIndex,i] 这个区间的子串是否合法
 ? ? ? ? ? ? ? ?s.insert(s.begin() + i + 1 , '.'); ?// 在i的后面插入一个逗点
 ? ? ? ? ? ? ? ?pointNum++;
 ? ? ? ? ? ? ? ?backtracking(s, i + 2, pointNum); ? // 插入逗点之后下一个子串的起始位置为i+2
 ? ? ? ? ? ? ? ?pointNum--; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? // 回溯
 ? ? ? ? ? ? ? ?s.erase(s.begin() + i + 1); ? ? ? ? // 回溯删掉逗点
 ? ? ? ? ?  } else break; // 不合法，直接结束本层循环
 ? ? ?  }
 ?  }
 ? ?// 判断字符串s在左闭又闭区间[start, end]所组成的数字是否合法
 ? ?bool isValid(const string& s, int start, int end) {
 ? ? ? ?if (start > end) {
 ? ? ? ? ? ?return false;
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?if (s[start] == '0' && start != end) { // 0开头的数字不合法
 ? ? ? ? ? ? ? ?return false;
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?int num = 0;
 ? ? ? ?for (int i = start; i <= end; i++) {
 ? ? ? ? ? ?if (s[i] > '9' || s[i] < '0') { // 遇到非数字字符不合法
 ? ? ? ? ? ? ? ?return false;
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ? ?num = num * 10 + (s[i] - '0');
 ? ? ? ? ? ?if (num > 255) { // 如果大于255了不合法
 ? ? ? ? ? ? ? ?return false;
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?return true;
 ?  }
public:
 ? ?vector<string> restoreIpAddresses(string s) {
 ? ? ? ?result.clear();
 ? ? ? ?if (s.size() < 4 || s.size() > 12) return result; // 算是剪枝了
 ? ? ? ?backtracking(s, 0, 0);
 ? ? ? ?return result;
 ?  }
};

时间复杂度: O(3^4)，IP地址最多包含4个数字，每个数字最多有3种可能的分割方式，则搜索树的最大深度为4，每个节点最多有3个子节点。
空间复杂度: O(n)

78.子集

力扣题目链接

给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例: 输入: nums = [1,2,3] 输出: [ [3], [1], [2], [1,2,3], [1,3], [2,3], [1,2], [] ]

#思路

如果把子集问题、组合问题、分割问题都抽象为一棵树的话，那么组合问题和分割问题都是收集树的叶子节点，而子集问题是找树的所有节点！

其实子集也是一种组合问题，因为它的集合是无序的，子集{1,2} 和子集{2,1}是一样的。

那么既然是无序，取过的元素不会重复取，写回溯算法的时候，for就要从startIndex开始，而不是从0开始！

有同学问了，什么时候for可以从0开始呢？

求排列问题的时候，就要从0开始，因为集合是有序的，{1, 2} 和{2, 1}是两个集合，排列问题我们后续的文章就会讲到的。

以示例中nums = [1,2,3]为例把求子集抽象为树型结构，如下：

78.子集

从图中红线部分，可以看出遍历这个树的时候，把所有节点都记录下来，就是要求的子集集合。

#回溯三部曲

递归函数参数

全局变量数组path为子集收集元素，二维数组result存放子集组合。（也可以放到递归函数参数里）

递归函数参数在上面讲到了，需要startIndex。

代码如下：

vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {

递归终止条件

从图中可以看出：

78.子集

剩余集合为空的时候，就是叶子节点。

那么什么时候剩余集合为空呢？

就是startIndex已经大于数组的长度了，就终止了，因为没有元素可取了，代码如下:

if (startIndex >= nums.size()) {
 ? ?return;
}

其实可以不需要加终止条件，因为startIndex >= nums.size()，本层for循环本来也结束了。

单层搜索逻辑

求取子集问题，不需要任何剪枝！因为子集就是要遍历整棵树。

那么单层递归逻辑代码如下：

for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
 ?  path.push_back(nums[i]); ?  // 子集收集元素
 ?  backtracking(nums, i + 1);  // 注意从i+1开始，元素不重复取
 ?  path.pop_back(); ? ? ? ? ?  // 回溯
}

void backtracking(参数) {
 ?  if (终止条件) {
 ? ? ?  存放结果;
 ? ? ?  return;
 ?  }
?
 ?  for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
 ? ? ?  处理节点;
 ? ? ?  backtracking(路径，选择列表); // 递归
 ? ? ?  回溯，撤销处理结果
 ?  }
}

可以写出如下回溯算法C++代码：

class Solution {
private:
 ? ?vector<vector<int>> result;
 ? ?vector<int> path;
 ? ?void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
 ? ? ? ?result.push_back(path); // 收集子集，要放在终止添加的上面，否则会漏掉自己
 ? ? ? ?if (startIndex >= nums.size()) { // 终止条件可以不加
 ? ? ? ? ? ?return;
 ? ? ?  }
 ? ? ? ?for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
 ? ? ? ? ? ?path.push_back(nums[i]);
 ? ? ? ? ? ?backtracking(nums, i + 1);
 ? ? ? ? ? ?path.pop_back();
 ? ? ?  }
 ?  }
public:
 ? ?vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
 ? ? ? ?result.clear();
 ? ? ? ?path.clear();
 ? ? ? ?backtracking(nums, 0);
 ? ? ? ?return result;
 ?  }
};

时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)

在注释中，可以发现可以不写终止条件，因为本来我们就要遍历整棵树。

有的同学可能担心不写终止条件会不会无限递归？

并不会，因为每次递归的下一层就是从i+1开始的。

#总结

相信大家经过了

洗礼之后，发现子集问题还真的有点简单了，其实这就是一道标准的模板题。

但是要清楚子集问题和组合问题、分割问题的的区别，子集是收集树形结构中树的所有节点的结果。

而组合问题、分割问题是收集树形结构中叶子节点的结果。

90.子集II

力扣题目链接

给定一个可能包含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。

示例:

输入: [1,2,2]
输出: [ [2], [1], [1,2,2], [2,2], [1,2], [] ]

#思路

剧透一下，后期要讲解的排列问题里去重也是这个套路，所以理解“树层去重”和“树枝去重”非常重要。

用示例中的[1, 2, 2] 来举例，如图所示：（注意去重需要先对集合排序）

90.子集II

从图中可以看出，同一树层上重复取2 就要过滤掉，同一树枝上就可以重复取2，因为同一树枝上元素的集合才是唯一子集！

C++代码如下：

lass Solution {
private:
 ? ?vector<vector<int>> result;
 ? ?vector<int> path;
 ? ?void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex, vector<bool>& used) {
 ? ? ? ?result.push_back(path);
 ? ? ? ?for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
 ? ? ? ? ? ?// used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
 ? ? ? ? ? ?// used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
 ? ? ? ? ? ?// 而我们要对同一树层使用过的元素进行跳过
 ? ? ? ? ? ?if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?continue;
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ? ?path.push_back(nums[i]);
 ? ? ? ? ? ?used[i] = true;
 ? ? ? ? ? ?backtracking(nums, i + 1, used);
 ? ? ? ? ? ?used[i] = false;
 ? ? ? ? ? ?path.pop_back();
 ? ? ?  }
 ?  }
?
public:
 ? ?vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
 ? ? ? ?result.clear();
 ? ? ? ?path.clear();
 ? ? ? ?vector<bool> used(nums.size(), false);
 ? ? ? ?sort(nums.begin(), nums.end()); // 去重需要排序
 ? ? ? ?backtracking(nums, 0, used);
 ? ? ? ?return result;
 ?  }
};

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

时间复杂度: O(n * 2^n)
空间复杂度: O(n)

使用set去重的版本。

class Solution {
private:
 ? ?vector<vector<int>> result;
 ? ?vector<int> path;
 ? ?void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
 ? ? ? ?result.push_back(path);
 ? ? ? ?unordered_set<int> uset;
 ? ? ? ?for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
 ? ? ? ? ? ?if (uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
 ? ? ? ? ? ? ? ?continue;
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ? ?uset.insert(nums[i]);
 ? ? ? ? ? ?path.push_back(nums[i]);
 ? ? ? ? ? ?backtracking(nums, i + 1);
 ? ? ? ? ? ?path.pop_back();
 ? ? ?  }
 ?  }
?
public:
 ? ?vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
 ? ? ? ?result.clear();
 ? ? ? ?path.clear();
 ? ? ? ?sort(nums.begin(), nums.end()); // 去重需要排序
 ? ? ? ?backtracking(nums, 0);
 ? ? ? ?return result;
 ?  }
};

#补充

本题也可以不使用used数组来去重，因为递归的时候下一个startIndex是i+1而不是0。

如果要是全排列的话，每次要从0开始遍历，为了跳过已入栈的元素，需要使用used。

代码如下：

class Solution {
private:
 ? ?vector<vector<int>> result;
 ? ?vector<int> path;
 ? ?void backtracking(vector<int>& nums, int startIndex) {
 ? ? ? ?result.push_back(path);
 ? ? ? ?for (int i = startIndex; i < nums.size(); i++) {
 ? ? ? ? ? ?// 而我们要对同一树层使用过的元素进行跳过
 ? ? ? ? ? ?if (i > startIndex && nums[i] == nums[i - 1] ) { // 注意这里使用i > startIndex
 ? ? ? ? ? ? ? ?continue;
 ? ? ? ? ?  }
 ? ? ? ? ? ?path.push_back(nums[i]);
 ? ? ? ? ? ?backtracking(nums, i + 1);
 ? ? ? ? ? ?path.pop_back();
 ? ? ?  }
 ?  }
?
public:
 ? ?vector<vector<int>> subsetsWithDup(vector<int>& nums) {
 ? ? ? ?result.clear();
 ? ? ? ?path.clear();
 ? ? ? ?sort(nums.begin(), nums.end()); // 去重需要排序
 ? ? ? ?backtracking(nums, 0);
 ? ? ? ?return result;
 ?  }
};

#总结

其实这道题目的知识点，我们之前都讲过了，如果之前讲过的子集问题和去重问题都掌握的好，这道题目应该分分钟AC。

当然本题去重的逻辑，也可以这么写

if (i > startIndex && nums[i] == nums[i - 1] ) {
    continue;
}

文章来源:https://blog.csdn.net/XIAOHAIYOU/article/details/135800099
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