线性代数——(期末突击)矩阵(上)-概念篇(矩阵的定义、矩阵的运算、特殊矩阵、初等变换)

发布时间:2024年01月04日

目录

矩阵的定义

矩阵的运算

相加

相乘?

数乘

与单位阵相乘

矩阵的幂

转置

特殊矩阵

数量矩阵

对称矩阵?

伴随矩阵

逆矩阵?

初等变换


矩阵的定义

m\times n个数a_{ij}(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排成的m行n列的数表,称为m行n列的矩阵,简称m\times n矩阵,记作:

A=\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... & a_{2n}\\ ... &... & &... \\ a_{m1} &a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix}

简记为:A=A_{m\times n}=(a_{ij})_{m\times n}=(a_{ij}).

m\times n个数a_{ij}称为矩阵A的(第i行第j列)元素.

矩阵只是由数字排列成的一个表格,其本身不包含任何运算规则

  • 行矩阵:只有一行
  • 列矩阵:只有一列
  • 负矩阵:所有元素取负数
  • 方阵:行数和列数相等?A_{nn}
  • 单位阵:主对角线全为?1?,其余元素全为?0?,记为?E
  • 同型矩阵:两矩阵行与列数 一致

矩阵的运算

相加

两个同型的矩阵才能进行相加,设两个m\times n矩阵A=(a_{ij})B=(b_{ij}),那A与B的和定义为(a_{ij}+b_{ij}),记作A+B,即

A+B=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} &a_{12}+b_{12} &... &a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} &a_{22}+b_{22} &... & a_{2n}+b_{2n}\\ ...& ...& ... &... \\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2} &... &a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix}

对应元素相加

相乘?

矩阵的乘积要牢记这个式子:

A_{m\times n}\times B_{n\times s}=C_{m\times s}

也就是相乘的两个矩阵中,要有一方的列数等于另一方的行数 。

注意

  • 矩阵运算中,AB\neq BA
  • AB=AC(A\neq 0),不能推出B=C
  • AB=0不能推出A=0,B=0

数乘

这个数乘矩阵的所有元素

K\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 & 1 &1 \\ 1 &1 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} K & K &K \\ K&K &K \\ K &K & K \end{bmatrix}

与单位阵相乘

AE=A\: \: \: \: \: EB=B

矩阵的幂

A^k=AA...A共K个,特别地,A^0=E

转置

与行列式的定义是一致的。

  1. (AB)^T=B^TA^T? (重点,顺序不能对换)
  2. (A+B)^T=A^T+B^T
  3. (kA)^T=kA^T
  4. \left | A^T \right |=\left | A \right |? (A的转置的值等于A的值)
  5. \left | kA \right |=k^n\left | A \right |?(重点
  6. \left | AB \right |=\left | A \right |\cdot \left | B \right |

特殊矩阵

数量矩阵

主对角线全为a,其余元素为0,则A=aE

数量矩阵(是方阵)用于伸缩变化,是特殊的对角型矩阵对角型矩阵(也是方阵)可以记作diag(a_1,a_2,...,a_n)

左乘数量矩阵是对行做伸缩变换,右乘是对列做伸缩变换.

对称矩阵?

是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如:

\begin{bmatrix} 2 &5 &6 \\ 5 & 0 & 7\\ 6& 7 & 3 \end{bmatrix}

对称矩阵的转置等于其自身,即:?

A^T=A?

定理:?假如A,B 是对称矩阵,且AB也对称,则AB可交换

证明:(AB)^T=B^TA^T=BA=AB

反对称矩阵?

主对角线全为0,有A^T=-A

伴随矩阵

针对方阵,求伴随矩阵的步骤:

  1. 求所有元素的代数余子式
  2. 将代数余子式的行按列排放;

这两步构成的矩阵,就是伴随矩阵,记为A^*

性质:?对任意方阵:AA^*=A^*A=\left | A \right |E

注意:

矩阵提公因子是提所有行,行列式提公因子是提一行

两边同时取行列式,可得\left | A^* \right |=\left | A \right |^{n-1}

只有一个元素的伴随矩阵为1

逆矩阵?

对于A的n阶方阵,存在n阶方阵B,AB=BA=E\: \: \: \: \: \: \: \: \: A^{-1}=B

  1. ?未必所有的方阵都可逆
  2. 如果方阵可逆,则逆矩阵唯一

如何判断可逆,如何求?

如果\left | A \right |\neq 0,称这个矩阵为非奇异、满秩矩阵,该矩阵可逆?。

定理?:A可逆的充要条件\left | A \right |\neq 0A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}A^*

相关概念:奇异矩阵 和秩

如果一个矩阵的行列式等于零,则该矩阵被称为奇异矩阵


非零子式的最高阶数就叫做秩,例如:

A=\begin{bmatrix} 1 &2 &3 &4 \\ 0& 1 &2 & 3\\ 0 &0 &0 & 0\\ \end{bmatrix}该矩阵的秩就为2,矩阵A的秩用r(A)rank(A)来表示。

初等变换

初等行变换、初等列变换(本质:对矩阵的一种变化,用箭头表示变换过程,不能用等号)

  • ?两行交换
  • k(不为0)乘以某一行
  • 某行k倍加到另一行

定理:?任给一个矩阵,都可以通过初等变化为标准型

标准形矩阵:每个非零行的第一个非零元素为1,每个非零行的第一个非零元素所在列的其他元素全为零,则是最简形矩阵。

等价:?由矩阵A初等变换为B,叫A\simeq B即,A等价于B

等价有自反性,对称性,传递性.

?初等变化不改变矩阵的秩。


END


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