人工智能基础部分23-利用Q-Learning解决“悬崖行走”与迷宫问题的案例

大家好，我是微学AI，今天给大家介绍一下人工智能基础部分23-利用Q学习解决“悬崖行走”与迷宫问题的案例。Q-Learning是一种无模型的强化学习算法，它通过Q表来评估在给定状态下采取某一动作的期望回报。Q表是一个表格，其行代表状态，列代表动作，每个单元格的值代表在某一状态下采取某一动作的Q值。

一、Q学习的介绍

Q学习（Q-Learning）是一种值迭代算法，用于求解马尔可夫决策过程（MDP）中的最优策略。Q学习的目标是学习一个动作值函数，即Q函数，它表示在给定状态下采取某一动作的期望回报。

Q函数和Q表

Q函数，记为$ Q(s, a) $，表示在状态$ s $下采取动作$ a $的期望回报，即：
$$Q(s,a)=\mathbb{E}[r+\gamma V(s^{\prime })]$$
其中，$r$是立即回报，$\gamma$ 是折现因子，$V(s^{\prime })$是下一状态$s^{\prime }$的值函数，即：
$$V(s^{\prime })=\underset{a^{\prime }}{\max }Q(s^{\prime },a^{\prime })$$
在Q学习中，我们通常使用一个表格来存储Q值，这个表格称为Q表。Q表的行表示状态，列表示动作，每个单元格存储了对应的Q值。

Q学习算法

Q学习算法通过迭代地更新Q值来逼近最优策略。更新规则如下：
$$Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha (r+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }Q(s^{\prime },a^{\prime })?Q(s,a))$$
其中，$ \alpha $是学习率，用于控制更新的幅度。

算法步骤

1. 初始化Q表，所有值设为0。
2. 对于每个episode：
   1. 初始化状态$s$。
   2. 对于每一步：
      1. 以某种策略（如epsilon-greedy策略）选择动作$a$。
      2. 执行动作$a$，观察奖励$r$和新状态$s^{\prime }$。
      3. 更新Q表：$Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha (r+\gamma {\max }_{a^{\prime }}Q(s^{\prime },a^{\prime })?Q(s,a))$。
      4. $s\leftarrow s^{\prime }$。
   3. 直到到达终止状态。
      

数学原理

Q学习的数学原理基于贝尔曼最优性原理，即一个策略是最优的，当且仅当对于所有状态$s$和所有动作$a$，该策略的Q值都达到了最大值。Q学习的目标是找到这样一个策略，使得Q表中的每个Q值都尽可能地接近最优值。
Q学习的更新规则可以写成递归形式：
$$Q(s,a)=\mathbb{E}[r+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }Q(s^{\prime },a^{\prime })]$$
这个递归关系可以用来证明Q学习的收敛性。在适当的条件下，随着迭代次数的增加，Q学习算法可以收敛到最优策略。

二、Q学习的应用一：“悬崖行走”

现在我将介绍“悬崖行走”（Cliff Walking）问题，在这个问题中，Agent需要在4x12的网格世界中从左下角走到右上角，同时避免走到悬崖区域。

import numpy as np
import random
# 定义悬崖行走的网格世界
world_height = 4
world_width = 12
start_state = [3, 0]
end_state = [3, 11]
cliff = [[3, i] for i in range(1, 11)]
# 定义动作空间
actions = ['up', 'down', 'left', 'right']
# 初始化Q表
Q = np.zeros((world_height, world_width, len(actions)))
# 定义学习参数
gamma = 0.9  # 折扣因子
alpha = 0.1  # 学习率
epsilon = 0.1  # 探索率
# 定义状态转移函数
def move(state, action):
    if action == 'up':
        return [max(state[0] - 1, 0), state[1]]
    elif action == 'down':
        return [min(state[0] + 1, world_height - 1), state[1]]
    elif action == 'left':
        return [state[0], max(state[1] - 1, 0)]
    elif action == 'right':
        return [state[0], min(state[1] + 1, world_width - 1)]
# 定义奖励函数
def reward(state):
    if state in cliff:
        return -100
    elif state == end_state:
        return 0
    else:
        return -1
# Q学习算法
def q_learning():
    state = start_state
    while True:
        if random.uniform(0, 1) < epsilon:
            action = random.choice(actions)
        else:
            action = actions[np.argmax(Q[state[0], state[1], :])]
        next_state = move(state, action)
        q_predict = Q[state[0], state[1], actions.index(action)]
        if next_state == end_state:
            q_target = reward(next_state)
        else:
            q_target = reward(next_state) + gamma * np.max(Q[next_state[0], next_state[1], :])
        Q[state[0], state[1], actions.index(action)] += alpha * (q_target - q_predict)
        state = next_state
        if state == end_state:
            break
# 训练Q学习算法
for episode in range(500):
    q_learning()
# 输出最终的Q表
print("Final Q-Table:")
print(Q)

这个代码样例中，我们定义了一个4x12的网格世界，其中包含一个悬崖区域。我们使用Q表来存储每个状态-动作对的Q值。在每次迭代中，我们根据Q学习算法更新Q表。最后，我们输出最终的Q表。

Q表的介绍：

上面代码生成的Q表是一个三维数组，其中两个维度表示状态（行和列），第三个维度表示在该状态下可以采取的动作。Q表的每个单元格存储了一个Q值，这个Q值表示在给定的状态下采取对应的动作，预期能获得的回报加上后续状态的最大预期回报的折现总和。
在上述的悬崖行走问题中，Q表的形状是(4, 12, 4)，因为有4行、12列，每个单元格有4个可能的动作（上、下、左、右）。Q表的每个单元格存储了一个浮点数，表示在该状态下采取对应动作的Q值。
Q表的原理基于贝尔曼最优性原理，即一个策略是最优的，当且仅当对于所有状态s和所有动作a，该策略的Q值都达到了最大值。Q学习的目标是找到这样一个策略，使得Q表中的每个Q值都尽可能地接近最优值。

在Q学习中，我们通过迭代地更新Q表来逼近最优策略。每次迭代包括以下几个步骤：
1.选择一个状态s。
2. 根据当前策略（通常是epsilon-greedy策略，即以概率epsilon随机选择一个动作，以概率1-epsilon选择当前Q值最高的动作）在状态s下选择一个动作a。
3. 执行动作a，观察奖励r和新状态s’。
4. 更新Q表中的Q值：$Q(s,a)=Q(s,a)+\alpha ?(r+\gamma ?ma{x}_a^{\prime }Q(s^{\prime },a^{\prime })?Q(s,a))$，其中$\alpha$是学习率，$\gamma$是折现因子。
重复这个过程足够多次，Q表就会收敛到最优策略的Q值。最终，我们可以通过观察Q表来找出最优策略：对于每个状态s，选择具有最高Q值的动作a，这样就可以得到一个最优策略。
在实际应用中，Q表可能会非常大，以至于无法存储在内存中。因此，人们通常使用函数近似方法（如深度学习）来估计Q值，而不是使用一个显式的Q表。这种方法被称为深度Q网络（DQN），它使用神经网络来近似Q函数，从而可以处理更复杂的问题。

三、Q学习的应用二：迷宫问题

下面我将利用Q学习算法来解决一个迷宫问题：

import numpy as np

# 定义迷宫环境
env = np.array([[-1, -1, -1, -1, 0, -1],
                [-1, -1, -1, 0, -1, 100],
                [-1, -1, -1, 0, -1, -1],
                [-1, 0, 0, -1, 0, -1],
                [0, -1, -1, 0, -1, 100],
                [-1, 0, -1, -1, 0, 100]])

# 初始化Q表
q_table = np.zeros((6, 6))

# 定义超参数
learning_rate = 0.8
discount_factor = 0.95
num_episodes = 1000

# Q学习算法
for episode in range(num_episodes):
    state = np.random.randint(0, 6)  # 随机选择起始状态

    while state != 5:  # 终止状态为5
        # 选择动作：使用ε-greedy策略
        if np.random.uniform() < 0.2:
            action = np.random.randint(0, 6)  # 探索
        else:
            action = np.argmax(q_table[state])  # 开发

        # 执行动作并观察新状态和奖励
        next_state = action
        reward = env[state, action]

        # 更新Q值
        q_table[state, action] += learning_rate * (reward + discount_factor * np.max(q_table[next_state]) - q_table[state, action])

        state = next_state

# 打印训练后的Q表
print("训练后的Q表:")
print(q_table)

以上代码中迷宫环境是一个6x6的矩阵，-1表示不可通行的位置，0表示可通行的位置，100表示目标位置。算法通过与环境交互并更新Q表来学习最佳行动策略。在每个episode中，代理根据当前状态选择一个动作，执行该动作并观察新状态和奖励，然后使用Q学习更新Q表。最终，训练完成后打印出训练后的Q表。