二分&半平面求交 - 洛谷 - P3222 [HNOI2012] 射箭

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题目大意

题目链接
https://www.luogu.com.cn/problem/P3222

在坐标系中有很多平行于Y轴的棍子。

现在需要求一条经过0点开口向下的抛物线，与棍子的交点越多越好且棍子的编号要从1开始连续。

问最多可以经过几根棍子。

解析

可以使用二分加判定的形式解决。

二分要求答案有单调性，显然这里的答案是满足要求的。

那问题就转化成判定问题。

即给定固定线段，问是否存在一条抛物线能够都经过线段。

设抛物线为 y=ax^2+bx (+c) , 由于抛物线经过0点，所以c=0。

根据题意初始方向(0到90)度, 可知，b>0, a<0

假设前n根棍子的坐标为
(x1, y1, y1’), (x2, y2, y2’), (x3, y3, y3’), … (xn, yn, yn’),

可以根据条件列出方程
$\begin{array}{c}a{x}_1^2+b{x}_1>=y_1\\ a{x}_1^2+b{x}_1<=y_1^{\prime }\\ a{x}_2^2+b{x}_2>=y_2\\ a{x}_2^2+b{x}_2<=y_2^{\prime }\\ a{x}_3^2+b{x}_3>=y_3\\ a{x}_3^2+b{x}_3<=y_3^{\prime }\\ ......\\ a{x}_n^2+b{x}_n>=y_n\\ a{x}_n^2+b{x}_n<=y_n^{\prime }\end{array}$

只要找到一组（a<0,b>0) 满足上述不等式，就可以。

上述不等式围成的区域就是a, b为坐标轴的半平面求交。

如果区域出现在第二象限则有可行解。

不等式到直线转化。

$a{x}_1^2+b{x}_1<=y_1^{\prime }$
可以理解为向量的点乘，即投影。

$(a,b)?(x_1^2,x_1)<=y_1^{\prime }$
推导一下与单位向量的关系

$(a,b)?\frac{(x_1,1)}{||(x_1,1)||}<=\frac{y_1^{\prime }}{x_1||(x_1,1)||}$

$P=\frac{y_1^{\prime }?(x_1,1)}{x_1?||(x_1,1)|{|}^2}$

用图像表示如下：

虚线为半平面分割线, 虚线以下为半平面。

特殊情况1 a<0, b>0, 需要判断最后凸包出现在第二象限。

极角排序要用整数。

为了得到一个封闭图形，可以在顶部加入一条直线。

代码

#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <list>
#include <cstring>
#include <set>


using namespace std;
const double EPS = 1e-12;

const int N = 2e5 + 10;

namespace FloatSys {
	int cmp(double d) {
		if (abs(d) < EPS)return 0;
		if (d > 0)return 1;
		return -1;
	}

	class Point {
	public:
		double x, y;
		int id;

		Point() {}
		Point(double a, double b) :x(a), y(b) {}
		Point(const Point& p) :x(p.x), y(p.y), id(p.id) {}

		void in() {
			scanf("%lf %lf", &x, &y);
		}
		void out() {
			printf("%.3f %.3f\n", x, y);
		}

		double dis() {
			return sqrt(x * x + y * y);
		}

		double dis2() {
			return x * x + y * y;
		}

		Point operator -() const {
			return Point(-x, -y);
		}

		Point operator -(const Point& p) const {
			return Point(x - p.x, y - p.y);
		}

		Point operator +(const Point& p) const {
			return Point(x + p.x, y + p.y);
		}
		Point operator *(double d)const {
			return Point(x * d, y * d);
		}

		Point operator /(double d)const {
			return Point(x / d, y / d);
		}


		void operator -=(Point& p) {
			x -= p.x;
			y -= p.y;
		}

		void operator +=(Point& p) {
			x += p.x;
			y += p.y;
		}
		void operator *=(double d) {
			x *= d;
			y *= d;
		}

		void operator /=(double d) {
			this ->operator*= (1 / d);
		}

		bool operator<(const Point& a) const {
			return x < a.x || (abs(x - a.x) < EPS && y < a.y);
		}

		bool operator==(const Point& a) const {
			return abs(x - a.x) < EPS && abs(y - a.y) < EPS;
		}
	};

	// 向量操作

	double cross(const Point& a, const Point& b) {
		return a.x * b.y - a.y * b.x;
	}


	double cross(const Point& a, const Point& b, const Point& c) {
		return cross(b - a, c - a);
	}

	double dot(const Point& a, const Point& b) {
		return a.x * b.x + a.y * b.y;
	}

	class Line {
	public:
		Point front, tail;
		double ang;
		int u, v;
		Line() {}
		Line(const Point& a, const Point& b) :front(a), tail(b) {
			ang = atan2(front.y - tail.y, front.x - tail.x);
		}
		void initAng() {
			ang = atan2(front.y - tail.y, front.x - tail.x);
		}
	};

	int cmp(const Line& a, const Line& b) {
		if (a.u == b.u && a.v == b.v)return 0;
		//if (a.ang < b.ang)return -1;
		if (a.u > b.u)return -1;
		if (a.u < b.u)return 1;
		if (a.u >= 0) {
			if (a.v < b.v)return -1;
			return 1;
		}
		if (a.v < b.v) return 1;
		return -1;
	}


	// 点在直线哪一边>0 左边，<0边
	double SideJudge(const Line& a, const Point& b) {
		return cmp(cross(a.front - a.tail, b - a.tail));
		//return cross(a.front - a.tail, b - a.tail);
	}


	int LineSort(const Line& a, const Line& b) {
		int c = cmp(a, b);
		if (c)return c < 0;
		return	cross(b.front - b.tail, a.front - b.tail) > 0;
	}

	/*
	点p 到 p+r 表示线段1
	点q 到 q+s 表示线段2
	线段1 上1点用 p' = p+t*r (0<=t<=1)
	线段2 上1点用 q' = q+u*s (0<=u<=1)
	让两式相等求交点 p+t*r = q+u*s
	两边都叉乘s
	(p+t*r)Xs = (q+u*s)Xs
	pXs + t*rXs = qXs
	t = (q-p)Xs/(rXs)
	同理，
	u = (p-q)Xr/(sXr) -> u = (q-p)Xr/(rXs)

	以下分4种情况：
	1. 共线，sXr==0 && (q-p)Xr==0, 计算 (q-p)在r上的投影在r长度上的占比t0，
	计算(q+s-p)在r上的投影在r长度上的占比t1，查看[t0, t1]是否与范围[0，1]有交集。
	如果t0>t1, 则比较[t1, t0]是否与范围[0，1]有交集。
	t0 = (q-p)*r/(r*r)
	t1 = (q+s-p)*r/(r*r) = t0 + s · r / (r · r)
	2. 平行sXr==0 && (q-p)Xr!=0
	3. 0<=u<=1 && 0<=t<=1 有交点
	4. 其他u, t不在0到范围内，没有交点。
	*/
	pair<double, double> intersection(const Point& q, const Point& s, const Point& p, const Point& r, bool& oneline) {
		// 计算 (q-p)Xr
		auto qpr = cross(q - p, r);
		auto qps = cross(q - p, s);

		auto rXs = cross(r, s);
		if (cmp(rXs) == 0) {
			oneline = true;
			return { -1, -1 }; // 平行或共线
		}
		// 求解t, u
		// t = (q-p)Xs/(rXs)
		auto t = qps / rXs;

		// u = (q-p)Xr/(rXs)
		auto u = qpr / rXs;

		return { u, t };
	}

	Point LineCross(const Line& a, const Line& b, bool& f) {
		Point dira = a.front - a.tail;
		Point dirb = b.front - b.tail;
		bool oneline = false;
		auto p = intersection(a.tail, dira, b.tail, dirb, oneline);
		if (oneline)f = false;
		return a.tail + dira * p.first;
	}


	class HalfPlane {
	public:
		vector<Line> lines;
		vector<int> q;
		vector<Point> t;
		int siz;

		void init(int n) {
			siz = 0;
			lines.resize(n);
			q.resize(n + 10);
			t.resize(n + 10);
		}
		void addLine(const Line& a) {
			lines[siz++] = a;
		}

		vector<Point> run() {
			sort(lines.begin(), lines.begin()+siz, LineSort);

			int l = -1, r = 0;
			q[0] = 0;
			for (int i = 1; i < siz; ++i) {
				if (cmp(lines[i], lines[i - 1]) == 0)continue;
				while (r - l > 1 && SideJudge(lines[i], t[r]) < 0)r--;
				while (r - l > 1 && SideJudge(lines[i], t[l + 2]) < 0)l++;
				q[++r] = i;
				bool f = true;
				t[r] = LineCross(lines[q[r]], lines[q[r - 1]], f);
			}
			while (r - l > 1 && SideJudge(lines[q[l + 1]], t[r]) < 0)r--;
			//return r - l > 2;
			if (r - l > 2) {
				bool f = true;
				t[r + 1] = LineCross(lines[q[l + 1]], lines[q[r]], f);
				r++;
				//if (!f)puts("xxx");
			}

			// 统计交点
			l++;
			vector<Point> ans(r - l);
			for (int i = 0; i < ans.size(); ++i) {
				ans[i] = t[i + l + 1];
			}

			return ans;
		}
	};
}

FloatSys::Line lines[N];

FloatSys::Line getLine(int x, int y, int dir) {
	FloatSys::Line l;
	FloatSys::Point d(x, 1);
	l.tail = d * y/x/d.dis2();
	d = FloatSys::Point(-1, x);
	l.front = l.tail+ d * dir;
	l.u = -dir;
	l.v = dir * x;
	l.initAng();
	return l;
}

FloatSys::HalfPlane hp;

bool judge(int n) {
	hp.siz = 0;
	hp.addLine({ FloatSys::Point (1,0), FloatSys::Point (0,0)});
	hp.lines[0].u = 1;
	hp.lines[0].v = 0;
	hp.addLine({ FloatSys::Point (0,1), FloatSys::Point (0,0)});

	hp.lines[1].u = 0;
	hp.lines[1].v = 1;

	double maxd = 1e19;

	hp.addLine({ FloatSys::Point(-1,maxd), FloatSys::Point(0,maxd) });

	hp.lines[2].u = -1;
	hp.lines[2].v = 0;

	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		hp.addLine(lines[i*2]);
		hp.addLine(lines[i*2+1]);
	}

	auto points = hp.run();
	if (points.size() < 3)return false;
	bool pp = false;

	for (auto& p : points) {
		if (FloatSys::cmp(p.x) < 0 && FloatSys::cmp(p.y) > 0) pp = true;
	}

	return pp;
}

void  solve() {
	using namespace FloatSys;
	int n;
	scanf("%d", &n);

	int a, b, c;
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		lines[i*2] = getLine(a, c, 1);
		lines[i*2+1] = getLine(a, b, -1);
	}
	if (n < 1) {
		printf("%d\n", n);
		return;
	}

	hp.init(N);
	int best = 0;
	int l = 1, r = n;
	while (l <= r) {
		int mid = (l + r) / 2;
		if (judge(mid)) {
			best = mid;
			l = mid+1;
		}
		else r = mid-1;
	}

	printf("%d\n", best);
}


int main() {
	solve();
	return 0;

}

/*
5
2  8 12
5  4 5
3  8 10
6  2 3
1  3 7

1
2 8 12

2
10000 1 2
20000 10 11


2
1 1 2
2 10 11


2
10000 1 2
10010 1 2

2
1 1 2
2 1 2

1
1000000000 1 2



5
10000 1 2
10010 1 2
10010 1 2
10010 1 2
10010 1 2

5
10000 1 2
10010 1 2
10010 3 4
10010 1 2
10010 1 2

5
100000000 2 3
100000200 2 3
100010200 2 3
100110200 2 3
110010200 2 3

5
10 2 3
100000200 2 3
100010200 2 3
100110200 2 3
110010200 2 3

5
1 2 3
100000200 2 3
100010200 1 2 
100110200 1 2
110010200 1 2

2
1 1 2
2 3 4

2
1 2 3
2 5 6

2
1 2 3
2 1 2

1

1 2 3


3
1 1 2
3 0 1
2 1 2

3
1 1 2
3 0 1
2 2 3
*/

---

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