[数学]三角形的五心之旁心

发布时间：2023年12月24日

三角形的五心之旁心

性质1

三角形的三个旁心和内心构成一组垂心组

在下图中，对于三角形BCD，可证A,E,G为三个旁心
I为内心，所以I在∠BDC的平分线上，G也是如此，因此BIG共线
而A显然在∠KBD平分线上，因此∠ABG=90°
故IG⊥AE。同理有另外两个垂直
故原命题得证

旁心

性质2

设 A I A AI_A AIA?的连线与 △ A B C △ABC △ABC的外接圆交于F，则 F I A = F B = F C FI_A=FB=FC FIA?=FB=FC，类似可得 B I B . C I C BI_B.CI_C BIB?.CIC?同样的结论

在内心的性质1.2中我们知道 I F = B F = C F IF=BF=CF IF=BF=CF
即 △ B I C △BIC △BIC的外心是F
欲证 F I A = F B = F C FI_A=FB=FC FIA?=FB=FC，只需证 I A I_A IA?在 △ B I C △BIC △BIC的外接圆上即可
在 △ B I I A △BII_A △BIIA?中，我们可以知道 ∠ I B I A = 90 ° ∠IBI_A=90° ∠IBIA?=90°
同理 ∠ I C I A = 90 ° ∠ICI_A=90° ∠ICIA?=90°
因此 I A , B , I , C I_A,B,I,C IA?,B,I,C四点共圆，故 F I A = F B = F C FI_A=FB=FC FIA?=FB=FC

旁心2

性质3

过旁心 I A I_A IA?的直线交 A B , A C AB,AC AB,AC所在直线于 P , Q P,Q P,Q，则 A B A P s i n B + A C A Q s i n C = ? s i n A + s i n B + s i n C \frac{AB}{AP}sinB+\frac{AC}{AQ}sinC=-sinA+sinB+sinC APAB?sinB+AQAC?sinC=?sinA+sinB+sinC

文章来源:https://blog.csdn.net/2301_79126184/article/details/135185029
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