算法基础之蒙德里安的梦想

蒙德里安的梦想

• 核心思想： 状态压缩dp

  • 总方案 = 横放的方案 剩下的地方竖着放是固定的了

  • 状态压缩 ： 将每一列的图(横终点 横起点 竖) 用一个二进制数存下

    • 向后凸的为1 反之为0
    • 

  • 状态计算： 所有 i – 1 列 不冲突的 都加和

    • f[i , j] = f[i - 1 , k] + …. + …
    • 

  • **不合法状态：**前两种合法 后两种不合法 单个格子不能竖放

    • 

  • 不冲突状态： ①j & k ==0 没重叠部分 ②j | k 必须是合法的

    • 

朴素版

•   #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    
    using namespace std;
    const int N = 12 , M = 1 << N ;  //M为图的最大数 2的N次方
    
    int n,m;
    long long f[N][M];  //开long long的f存
    bool st[M];  //标记该图是否合法
    
    int main()
    {
        while(cin>>n>>m , n || m)  //有输入 且均不为0
        {
            for(int i=0;i< 1 << n ; i++)  //i<2的n次方
                //一共n行 每个位置两种选择 共2的n次方
            {
                int cnt = 0;  //记录一张图连续的0有多少个
                st[i] = true;  //初始i图为true合法的
                for(int j=0;j<n;j++)  //遍历图中每位数
                {
                    if(i >> j & 1)  //取i图中第j个数 判断是否为1
                    {  //若为1 则判cnt是奇数偶数
                        if(cnt & 1)  //奇数则说明 图不合法
                        {
                            st[i] = false; //有奇数0 直接false 退出循环
                            break;
                        }
                        cnt = 0 ;  //清空cnt 重新开始
                    }
                    else cnt++;  //若为0 cnt++
                }
                if(cnt & 1) st[i] = false;  //判断后段0的个数 没有1 进不去上面的判断 
            }
            
            memset(f,0,sizeof f);  //初始化
            f[0][0] = 1;  //0列 不放方块 方案 = 1
            for(int i=1;i<=m;i++)  //遍历每一列
                for(int j=0;j< 1 << n; j++)  //每列2的n次方张图
                    for(int k=0;k< 1 << n;k++)  //前一列也是2的n次方张图
                        if((j & k) == 0 && st[j | k])  //不冲突的条件
                            f[i][j] += f[i-1][k];  //计算
            cout<<f[m][0]<<endl;  //输出前m-1列排好序 没有凸出来的方案数
        }
    }
  

优化版

•   #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<vector>
    
    using namespace std;
    const int N = 12 , M = 1 << N ;
    
    int n,m;
    long long f[N][M];
    bool st[M];
    vector<vector<int>> state(M);  //用二维数组将与 j 不冲突的k存下 不用去再遍历了
    
    int main()
    {
        while(cin>>n>>m , n || m)
        {
            for(int i=0;i< 1 << n ; i++)
            {
                int cnt = 0;
                st[i] = true;
                for(int j=0;j<n;j++)
                {
                    if(i >> j & 1)
                    {
                        if(cnt & 1)
                        {
                            st[i] = false;
                            break;
                        }
                        cnt = 0 ;
                    }
                    else cnt++;
                }
                if(cnt & 1) st[i] = false;
            }
            
            for(int j=0;j< 1<<n;j++)
            {
                state[j].clear();  //清空之前的
                for(int k=0;k< 1<<n;k++)
                {
                    if((j & k) == 0 && st[j | k])
                        state[j].push_back(k);  //不冲突放里头
                }
            }
            memset(f,0,sizeof f);
            f[0][0] = 1;
            for(int i=1;i<=m;i++)
                for(int j=0;j< 1 << n; j++)
                    for(auto k : state[j])  //不冲突的已经存起来了 取出
                        f[i][j] += f[i-1][k];
            cout<<f[m][0]<<endl;
        }
    }