微积分-第二章三角函数（合集）

第二章三角函数

在处理微积分问题时，我们不可避免的会遇到三角函数。学会三角函数对于微积分是非常重要的。

2.1基本知识

学习三角函数我们需要先学习一些基本知识。
首先要学习的是弧度的概念。弧度是一种角的度量单位，用于测量角的大小。它是根据角所对的弧长与该弧所在圆的半径之比来定义的。

单位为1的单位圆的圆心角的弧度就是$2\pi$。因为圆的周长公式是$2\pi r$，而单位圆的半径为1，所以圆心角的弧度是$2\pi$。

弧度和角度之间可以相互转换，有公式
$$弧度=角度\times \frac{\pi }{180}$$
$$角度=弧度\times \frac{180}{\pi }$$

下表是我们常用的角度和弧度的转换

角度	弧度
0°	0
30°	$\frac{\pi }{6}$
45°	$\frac{\pi }{4}$
60°	$\frac{\pi }{3}$
90°	$\frac{\pi }{2}$
180°	$\pi$
270°	$\frac{3\pi }{2}$
360°	$2\pi$

我们扩展了角的度量单位，现在来让我们从三角型中来学习三角函数。

知道如何从三角形中定义三角函数是非常重要的。让我们从直角三角形开始。

我们记除直角外的一角为θ，则三角函数的公式为
$$sin(\theta )=\frac{对边}{斜边}，cos(\theta )=\frac{邻边}{斜边}，tan(\theta )=\frac{对边}{邻边}$$
这三个是最常用的三角函数。有时我们也会用到其他三个函数,它们被定义为：
$$sec(\theta )=\frac{1}{cos(\theta )},csc(\theta )=\frac{1}{sin(\theta )},cot(\theta )=\frac{1}{tan(\theta )}$$

记住下表中的内容是很有必要的

	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$
sin	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	1	$\sqrt{3}$	无定义

虽然数学不是死记硬背，但是有些内容还是非常值得记忆的。

2.2 扩展三角函数

在上一节中，讨论了如何在直角三角形中定义三角函数，限制让我们扩展三角函数的定义域。
事实上我们可以取任意角的正弦和余弦，而不只是局限于$0$~$\frac{\pi }{2}$当中。
当然需要注意的是，正切函数对不是对任意角都成立。如$tan(\frac{\pi }{2})$就是无定义的。

我们先从$0$~$2\pi$之间的角开始。我们需要从坐标平面中来定义三角函数。

坐标轴将坐标平面分成了四个象限。分别称为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。我们可以看到象限标记的走向是逆时针。大家可能已经注意到了坐标轴上的数字了。我想大家已经猜出它们是什么了。它们表示的是标记表示的从原点出发射线与x正半轴的夹角的弧度。或者说是从原点出发射线在x轴正半轴逆时针转动的弧度。

如果顺时针转动则弧度是负的

让我们取某个角$\theta$，并在坐标平面中画出来

这里要注意，这里是将射线标记为θ，而不是角本身。我们在射线θ上选取一点$(x,y)并从该点画一条垂线至x。

图片中标记出了三个量。该点的x坐标和y坐标，以及该点到原点的距离r。有了这三个点我们便可以定义如下的三角函数：
$$sin(\theta )=\frac{y}{r},cos(\theta )=\frac{x}{r},tan(\theta )=\frac{y}{x}$$
这与上一节的公式是一样的。上图中我们构造了一个直角三角形，其中x、y、r分别是邻边、对比、斜边。

为了方便计算，我们常常假设$r=1$。这样得到的点$(x,y)$就会落在单位圆上。上述的公式也可以简化为
$$sin(\theta )=y,cos(\theta )=x,tan(\theta )=\frac{y}{x}$$
我们怎么求解三角函数呢？让我们来看一个具体的例子，求$sin(\frac{4\pi }{3})$。让我们画出它的图像。

我们知道$sin(\theta )=y$,所以求$sin(\frac{4\pi }{3})$就需要求出$y$多少。让我们把目光放在图像中构造出来三角形中。$y$的绝对值就是这个三角形θ角的对边的长度。上一节中我们说过$sin(\theta )=\frac{对边}{斜边}$，我们已经假设了$r=1$。所以$|y|=sin(\alpha )$。

$\alpha$是角$\frac{4\pi }{3}$的射线与x轴负半轴的夹角。所以我们有$\alpha =\pi ?\frac{4\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$。
我们有$|sin(\frac{4\pi }{3})|=sin(\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

我们怎么确定它的符号呢？很简单看象限就可以了。角$\frac{4\pi }{3}$在第三象限，所以$y<0$。最终我们可以得到$sin(\frac{4\pi }{3})=?sin(\frac{\pi }{3})=?\frac{\sqrt{3}}{2}$

这个小角称为参考角，一般来说参考角是角$\theta$的射线与x轴之间最小的角。它介于0~$2\pi$之间。角$\theta$的三角函数的绝对值与参考角的三角函数值一致。角$\theta$的三角函数值的符号取决于它射线所在的象限。

在第一象限中，x和y都是正的。所以射线位于第一象限中的任意角的正弦、余弦和正切都必定为正。

在第二象限中，x为负，y为正。所以射线位于第二象限的任意角的正弦为正；余弦和正切为负

第三象限中，x和y都为负。所以射线位于第三象限的任意角的正弦和余弦都为负；正切为正。

在第四象限中，x为正，y为负。所以射线位于第四象限的任意角的余弦为正；正弦和正切为负

为了方便大家记忆，我这里为大家总结为以下内容：第一象限全为正，第二象限sin为为正、第三象限tan为正、第四象限cos为正。其余全为负。

现在让我们做几个练习题。

求角$\frac{5\pi }{4}$的正弦、余弦和正切。

首先我们需要判断这个角的射线在第几象限，确认三角函数值的符号和参考角。因为$\pi \le \frac{5\pi }{4}\le \frac{3\pi }{2}$,所以射线位于第三象限。第二步求出它的参考角$\alpha$：$\alpha =\frac{5\pi }{4}?\pi =\frac{\pi }{4}$。第三步求出参考角的三角函数：$sin(\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$。结合上图中的第三象限三角函数的符号最终我们可以得到：
$$\begin{gathered} sin(\frac{5\pi }{4})=?sin(\frac{\pi }{4})=?\frac{1}{\sqrt{2}} \\ cos(\frac{5\pi }{4})=?cos(\frac{\pi }{4})=?\frac{1}{\sqrt{2}} \\ tan(\frac{5\pi }{4})=tan(\frac{\pi }{4})=1 \end{gathered}$$

求角$\frac{2\pi }{3}$的正弦值。

因为 $\frac{\pi }{2}\le \frac{2\pi }{3}\le \pi$ 。故角$\frac{2\pi }{3}$位于第二象限。它的参考角为:$\pi ?\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$。最终我们可以得到$sin(\frac{2\pi }{3})=sin(\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

我们来总结一下计算步骤

1. 判断这个角的射线在第几象限
2. 找出这个角的参考角
3. 求参考角的三角函数值
4. 根据角所在象限确认这个角的三角函数值的符号

考虑角$\frac{6\pi }{7}$，它的正弦值是多少？它位于第二象限，且它的参考角为$\frac{\pi }{7}$。所以$sin(\frac{6\pi }{7})=sin(\frac{\pi }{7})$。这是不适应近似可以得到的最简形式。在求解微积分问题的时候，不建议取近似值。除非有明确要求。

0 ~ $2\pi$之外的角

现在让我们考虑$[0,2\pi ]$之外的角。在坐标平面中角的弧度就是从原点出发，射线从x轴正半轴开始，逆时针转动到某个位置，这个位置到x轴正半轴的夹角。夹角并不会止步于$2\pi$，每转动一圈弧度便会增加$2\pi$。因为转动一周是$2\pi$弧度。当弧度超过$2\pi$时，意味着射线已经绕原点转动了一周以上。而旋转$2\pi$弧度后射线会回到原来的位置。所以弧度加上$2\pi$的整数倍不会改变其在平面上的方向。

大于$2\pi$或小于$0$的角与通过加上或减去$2\pi$的整数倍，最终得到位于$[0,2\pi ]$之间的角$\alpha$是等价的。

考虑角$\frac{9\pi }{4}$的正弦值。我想大家已经看出来$\frac{9\pi }{4}>2\pi$。让我们对$\frac{9\pi }{4}$减去$2\pi$整数倍得到位于$[0,2\pi ]$的等价角$\frac{\pi }{4}$。所以$sin(\frac{9\pi }{4})=sin(\frac{\pi }{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$。

让我们来总结一下：

• $\sin (\theta +2k\pi )=\sin (\theta )$，其中$k\in N$
• $\cos (\theta +2k\pi )=\cos \theta )$，其中$k\in N$
• $\tan (\theta +2k\pi )=\tan (\theta )$，其中$k\in N$

2.3三角函数的图像

掌握三角函数的图像是非常有必要的。从上一节末尾我们可以直到三角函数是具有周期性的。这意味着它们的图像是从左到右的反复的重复自己。

考虑$\sin (x)$的图像，画出它的图像很简单。我们先画出$[0,2\pi ]$上的图像。再“复制粘贴”就可以得到它的图像。

这里有四个关键点$(0,0)$、$(\frac{\pi }{2},1)$、$(\pi ,0)$、$(2\pi ,0)$。你应该记住这个图像。

$\sin (x)$是$x$的周期函数,它的周期为$2\pi$。我们可以通过重复这个模式对图像进行扩展。

大家有没有从图中看出一个关键信息呢？$\sin (x)$关于原点对称，所以它是奇函数。

$y=cos(x)$的图像与$y=sin(x)$的图像相似。$cos(x)$也是一个以$2\pi$为最小正周期的周期函数。

对图像进行扩展可以得到：

从图中可以看出$cos(x)$是一个关于y轴对称的偶函数。

$tan(x)$与$sin(x)$和$cos(x)$不同，它的定义域不是全体实数。这是因为$tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}$，它只有在$cos(x)$不为零时有定义。我们知道$cos(\frac{\pi }{2})=0$,$cos(\pi )=0$。而函数$cos(x)$具有周期性。所以$cos(x+k\pi )=0$，其中$k\in N$。最终我们有$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$，其中$k\in N$。

画$tan(x)$时考虑到它存在垂直渐近线（无定义的点），所以最好是先画出$?\frac{\pi }{2}$~$\frac{\pi }{2}$之间的点。

$y=tan(x)$并不是以$2\pi$为周期，而是以$\pi$为周期的周期函数。

$tan(x)$关于原点对称，是奇函数。

2.4三角恒等式

让我们来回顾一下三角函数
$$\begin{gathered} \sin (\theta )=\frac{y}{r},\cos (\theta )=\frac{x}{r},\tan (\theta )=\frac{y}{x} \\ \sec (\theta )=\frac{1}{\cos (\theta )}，\csc (\theta )=\frac{1}{\sin (\theta )},\cot =\frac{1}{\tan (\theta )} \end{gathered}$$
经过变化我们可以得到：
$$\tan (\theta )=\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )},\cot =\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}$$

还记得如何用直角三角形中描述三角函数吗？在直角三角形中$x$和$y$是直角边，$r$是斜边。根据勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）我们有$x^2+y^2=r^2$。通常我们假设$r=1$。所以我们有恒等式.
$${\sin }^2(\theta )+{\cos }^2(\theta )=1$$

对上式两边同时除以$\cos (\theta {)}^2$:
$$\frac{{\sin }^2(\theta )}{{\cos }^2(\theta )}+\frac{{\cos }^2(\theta )}{{\cos }^2(\theta )}=\frac{1}{co{s}^2(\theta )}$$
可以得到
$$1+{\tan }^2(\theta )=se{c}^2(\theta )$$
对上式同时除以$sin(\theta {)}^2$可以得到
$$1+co{t}^2(\theta )=cs{c}^2(\theta )$$

我们还有互补角公式。它们描述了在直角三角形中，一个角的正弦、正切和正割值与其互补角的余弦、余切和余割值之间的关系。具体来说：
$$sin(x)=cos(\frac{\pi }{2}?x)、tan(x)=cot(\frac{\pi }{2}?x)、sec(x)=csc(\frac{\pi }{2}?x)$$
同样的我们也有
$$cos(x)=sin(\frac{\pi }{2}?x)、cot(x)=tan(\frac{\pi }{2}?x)、csc(x)=sec(\frac{\pi }{2}?x)$$

最后还有加法公式和二倍角公式。

加法公式我们有：
$$\begin{gathered} \sin (A+B)=\sin (A)\cos (B)+\cos (A)\sin (B) \\ \cos (A+B)=\cos (A)\cos (B)?\sin (A)\sin (B) \end{gathered}$$
同样的对于$A?B$我们有
$$\begin{gathered} \sin (A?B)=\sin (A)\cos (B)?\cos (A)\sin (B) \\ \cos (A?B)=\cos (A)\cos (B)+\sin (A)\sin (B) \end{gathered}$$

令$A=B$,我们有$A+B=2A$。根据加法公式我们有
$$\sin (2A)=2\sin (A)\cos (A)$$
$$\cos (2A)={\cos }^2(A)?{\sin }^2(A)$$
对于第二个公式，我们可以使用勾股定理将它表示为
$$\cos (2A)=2{\cos }^2(A)?1$$
或
$$\cos (2A)=1?2{\sin }^2(A)$$

如有问题，恳请指正