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无线通信领域的MIMO可以等效成格密码中的解码问题,本文章将解释两者的关系。
MIMO?multi-input multi-ioutput 多天线输入多输出
假定某MIMO系统的发射端有根天线,接收端有根天线,如果该无线通信模型是平坦衰落的(flat fading),那么接收端Y可计算为:
(1)发射信号X
X代表发射信号,一共发射了T个时隙,所以:
发射信号X需要满足功率限制,比如可以将平均功率限定为1,那么可得:
(2)接受信号Y
Y代表接收信号,接收时隙也为T,所以:
(3)噪声N
噪声N的维度与Y永远是一样的,所以:
噪声矩阵中的每个元素都服从复高分布,均值为0,方差为。发射功率为1,所以可得信噪比SNR为:
(4)信道矩阵H
信道增益矩阵H的行代表接收天线,列代表发射天线,所以:
单独看信道矩阵的行和列,行满秩,列也满秩。在理想模型下,该矩阵中的元素均是独立同分布的,并且统计信息提前已知,为复高斯分布.要保证接收天线能译码出每个发射信号,则要求接收天线数大于发射天线数,也就是,从解方程的角度来看也就是方程个数不能少于变量的个数。
通常MIMO会采用空时分组码(space-time block code),发射信号X是如何从调制信号转变而来的呢?
假定调制方式为QAM,维度为,可以将其看成一个向量。接着有一个生成矩阵G,是方阵,阶数为,由此发射向量s可以计算为:
也就是将X进行向量化便可以得到s。
将MIMO模型中的每个矩阵都进行向量化,也就是矩阵的第二列叠加在第一列的下面,以此类推。对接收信号Y进行向量化:
对噪声N进行向量化:
由此MIMO系统模型可以变成:
如果发射时隙为1,也就是T=1且生成矩阵为单位阵,也就是:
那么MIMO通信模型就是常见的:
因为该模型中的每个元素都是复数,所以可以分成实部和虚部,由此可得:
如果将复数模型等效成实数模型的话,其实就相当于发射天线为,接收天线为。如果考虑时隙T的话,那么该模型为:
综上实数域的MIMO系统就出现了,维度为。同样的,也要求。该模型如下:
其中B为m行n列的矩阵,也就是,根据以上讨论我们知道:
其中a为功率归一化因子。该信道矩阵的维度满足:
x为发射数据向量,为n维,可以假定从有限子集中取得。
如果把以上过程反映在MIMO的星座图中,比如我们选择M-QAM调制方式,那么A的取值则是:
将发射信号x看成整数格点的子集,那么Hx就相当于对整数格点进行放缩(scaled),Hx+e将相当于对格点进行平移,所以最终的结果就是我们常说的QAM星座图:
该格为m维。在欧几里得空间内,对线性独立的向量进行整数倍组合则可以形成格的概念,如下:
其中Z代表整数,B代表格L的格基,也就是:
如果把格点写成矩阵的形式,则如下:
需要注意的是,格基是存在无数个的。把格基B做幺模矩阵变换则可以得到一个新的格基B',如下:
其中U为整数幺模矩阵,其行列式为正负1,
根据以上讨论可以把Bx看成一个格点,那么就可以利用格理论来进行MIMO系统的解码。例如,极大似然译码(ML)的本质是:
注意x的取值范围是在集合A内的,所以该问题相等于在格L的子集上解决最近向量问题(closest vector problem,CVP)。已有的知识告诉我们极大似然译码可以根据球形译码理论来解决,但是在固定信噪比SNR的情况下,球形译码的复杂度是指数的。
如何降低此复杂度?
可以暂时将以上有限的格点放宽到无限格上,那么就更好解决,如下:
现在就可以使用格基约化等辅助手段来解决,这个过程又被称之为无限格译码算法(infinite lattice decoding, ILD).需要注意的是,解出来的格点需要核对是否在星座图上。
格基约化算法主要是把一个格基B转化为正交性更加良好的向量,如下B':
其中U为幺模矩阵,于是可以得到如下等效信道模型:
接下来就可以直接使用迫零算法和串行干扰消除算法,来解码出x。接着运算:
其中B'可以看成等效信道。当发现时,则需要重新把映射到有限格中。
Babai最先提出格基约化算法,在这里我们把格密码理论和网络安全理论做一个联系:
格密码的舍入(round off)算法等效于无线通信中的迫零算法;
格密码的最近平面算法(nearest plane algorithm)等效于无线通信中的串行干扰消除(SIC);
串行干扰消除的第一步是对信道矩阵进行QR分解:
其中Q为正交阵,代表列向量互相正交;
R为上对角阵,且对角线处的元素均为正数。
原MIMO模型如下:
两边同时乘以矩阵Q的伪逆,可得:
串行干扰消除算法是先从最后一个元素开始计算的,也就是:
对于来讲,对应的项则为干扰项。所以可以将其带入中,从而估计出
以此类推直至解出n个变量,该迭代过程可总结为:
注意是逆向求解,所以