Kruskal算法求最小生成树(kruskal算法)

题目描述

给定一个?n?个点?m?条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出?impossible。

给定一张边带权的无向图?G=(V,E)，其中?V?表示图中点的集合，E?表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由?V?中的全部?n?个顶点和?E?中?n?1 条边构成的无向连通子图被称为?G?的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图?G?的最小生成树。

输入格式

第一行包含两个整数?n?和?m。

接下来?m?行，每行包含三个整数?u,v,w，表示点?u?和点?v?之间存在一条权值为?w?的边。

输出格式

共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出?impossible。

数据范围

1≤n≤10^5,
1≤m≤2?10^5,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过?1000。

输入样例：

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例：

6

算法思路：

将所有边按照权值的大小进行升序排序，然后从小到大一一判断。

如果这个边与之前选择的所有边不会组成回路，就选择这条边分；反之，舍去。

直到具有 n 个顶点的连通网筛选出来 n-1 条边为止。

筛选出来的边和所有的顶点构成此连通网的最小生成树。

判断是否会产生回路的方法为：使用并查集。

在初始状态下给各个个顶点在不同的集合中。

遍历过程的每条边，判断这两个顶点的是否在一个集合中。

如果边上的这两个顶点在一个集合中，说明两个顶点已经连通，这条边不要。如果不在一个集合中，则要这条边。

当我们遍历完了所有的边，得到的生成树的边数是n-1，则满足最小生成树。

我们使用结构体存储每条边。并且在从小到大排序边权重时使用sort函数，这就要用到<运算符重载。

示例代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1e5+10,M=2e5+10,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m;
int p[N];

//思路：按权值从小到大排序边，如果这条边与之前的边不会形成回路就选择这条边，直到找到最小生成树：遍历了图里的n个顶点和n-1条边
//我们使用并查集来判断是否产生回路，一开始各顶点在不同的集合中，遍历每条边，判断它的两个顶点是否在一个集合里面，如果在的话说明两个点之前连通了（通过其他的点），如果不在就选择这条边
struct Edge
{
    int a,b,w;
    
    bool operator< (const Edge &W)const  //按权重排序，括号中的const表示参数W对象不会被修改，最后的const表明调用函数对象不会被修改
    {
        return w<W.w;  //w是调用的对象，W.w是和它比较的，比如K<J，就是K.w<J.w
    }
}edges[M];

int find(int x) //并查集找祖宗节点
{
    if(x!=p[x]) p[x]=find(p[x]); //路径压缩+找祖宗节点
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges,edges+m);  //所有边按权重从小到大排序,sort函数会用到重载的<
    
    for(int i=1;i<=n;i++) //初始化并查集
    {
        p[i]=i;
    }
    int res=0,cnt=0;
    for(int i=0;i<m;i++) //遍历所有边
    {
        int a=edges[i].a, b=edges[i].b, w=edges[i].w;
        
        a=find(a),b=find(b);  //找到两个点的祖宗节点
        if(a!=b) //两个点不在同一个集合中，说明它们还没有连通，这条边可以加入到生成树里面
        {
            p[a]=b; //把这两个点加入集合，要注意是p[b]=a或者p[a]=b，不要写成a=p[b]，因为后者是把p[b]赋值给a，无意义，我们要改变的是集合的祖宗节点也就是p[]
            res+=w; //这条边加入最小生成树
            cnt++;  //统计的边加一
        }
    }
    
    if(cnt!=n-1) return INF; //如果最小生成树的边不为n-1条边，则不能连通
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++) //输入所有边
    {
        int a,b,w;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        edges[i]={a,b,w};
    }
    
    int t=kruskal();
    if(t==INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n",t);
    
    return 0;
}

特别注意：

if(a!=b) //两个点不在同一个集合中，说明它们还没有连通，这条边可以加入到生成树里面
        {
            p[a]=b; //把这两个点加入集合，要注意是p[b]=a或者p[a]=b，不要写成a=p[b]，因为后者是把p[b]赋值给a，无意义，我们要改变的是集合的祖宗节点也就是p[]
            res+=w; //这条边加入最小生成树
            cnt++;  //统计的边加一
        }

这一段代码不要写成下面这样子：

if(a!=b) //两个点不在同一个集合中，说明它们还没有连通，这条边可以加入到生成树里面
        {
            b=p[a]; //把这两个点加入集合，要注意是p[b]=a或者p[a]=b，不要写成a=p[b]，因为后者是把p[b]赋值给a，无意义，我们要改变的是集合的祖宗节点也就是p[]
            res+=w; //这条边加入最小生成树
            cnt++;  //统计的边加一
        }

我们要做的是合并集合，也就是a的祖宗节点的父节点指向b的祖宗节点，如果颠倒了顺序，那么p[a]就不会发生改变，也就是说a的祖宗节点的父节点依然是它自己，没有完成和b的祖宗节点的合并。会报错的。?

参考：AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树---海绵宝宝来喽 - AcWing